Методы приближенных вычислений при решении уравнений доклад

Исследование методов приближенного решения уравнений

Работа посвящена исследованию методов приближенного решения уравнений. Рассмотрены следующие методы приближенногорешения уравнений: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, комбинированный метод, построены компьютерные модели всех изученных методов на языке программирования Free Pascal. Модели позволили провести сравнительный анализ изученных методов и выбрать среди них оптимальный.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Городская научно – практическая конференция

Исследование методов приближенного решения уравнений

Секция: современное программирование

Автор: Сергеева Мария Сергеевна,

11 «Б» класс, МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 27»

Руководитель: Сергеева Светлана Александровна

Учитель информатики 1 категории,

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 27»

1. Теоретическая часть 4

1. Метод половинного деления 5
2. Метод хорд 7
3. Метод касательных 8
4. Комбинированный метод хорд и касательных 9

1. Практическая часть 11

1. Компьютерная модель построения графика функции на языке программирования Free Pascal 11
2. Компьютерная модель метода половинного деления 13
3. Компьютерная модель метода хорд 14
4. Компьютерная модель метода касательных 15
5. Компьютерная модель комбинированного метода хорд и касательных 16
6. Сравнительный анализ методов 17

С термином «уравнение» мы знакомимся еще в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, является наиболее часто встречающейся задачей не только на уроках математики.

На уроке алгебры при решении уравнений возникают ситуации, когда путем алгебраических преобразований уравнение решить невозможно. Для решения данной проблемы, существуют методы приближенного решения уравнений.

Актуальность темы обоснована тем, что с развитием компьютерной техники методы решения уравнений, основанные на большом количестве повторов, получают возможность широкого применения.

Цель : нахождение оптимального метода приближенного решения уравнения.

1. Изучить методы приближенного решения уравнения:

1. метод половинного деления
2. метод хорд
3. метод касательных
4. комбинированный метод

1. Создать компьютерные модели приближенного решения уравнений с помощью всех методов на языке программирования Free Pascal.
2. Провести сравнительный анализ методов.

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса — алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы;
2. итерационные методы (за счет последовательных приближений получить решение уравнения с необходимой точностью).

Точные методы решения уравнений основываются на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, например, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, деление обеих частей уравнения на одинаковое число не равное 0, а также точные способы решений позволяют записать корни уравнения в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Точные решения существуют только для некоторых уравнений определенного вида (линейные, квадратные, тригонометрические и др.), поэтому для большинства уравнений приходится использовать методы приближенного решения с заданной точностью (графические или численные). В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение выше четвертой степени.

Точные методы решения Приближенные методы решения

Например, уравнение x3+cos x=0 нельзя решить путем равносильных алгебраических преобразований. Но это уравнение можно решать приближенно графическими и численными методами.

Решение уравнения проводят численно в два этапа. На первом этапе производится отделение корней — поиск интервалов, на которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня на выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью). Далее будут рассмотрены несколько численных методов и приведены алгоритмы нахождения корней уравнений.

Отделение корней уравнения может проводиться графически, т.е. путем построения графика функции y=f(x). Для уравнения вида f (x) = 0 , где f(x) – некоторая непрерывная функция, корень (или корни) этого уравнения являются точкой (или точками) пересечения графика функции с осью абсцисс.

Решение уравнений с заданной точностью

Метод половинного деления

f(x)=0,
где f(x) — непрерывная функция

Отделение корней уравнения можно осуществить путем построения компьютерных моделей:

1. построение графика функции с помощью одного из языков программирования (в данном случае Free Pascal);
2. построение графика функции в электронных таблицах Microsoft Excel путем построения диаграммы типа График .

При построении графика функции корни уравнения можно получить лишь с небольшой степенью точности. Поэтому, чтобы эти значения получить с любой заданной степенью точности, необходимо применять методы, которые позволяют «уточнять» найденные значения.

Рассмотрим методы уточнения корней и их основные идеи. Отметим следующий момент: при прочих равных условиях, тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден за меньшее число раз вычисления функции f(x).

1.1. Метод половинного деления

Самый простой из них – метод половинного деления, или иначе метод дихотомии. Метод дихотомии получил свое название от древнегреческого слова διχοτομία, что в переводе означает деление надвое. Его мы используем довольно часто. Допустим, играя в игру «Угадай число», где один игрок загадывает число от 1 до 100, а другой пытается его отгадать, руководствуясь подсказками «больше» или «меньше». Логично предположить, что первым числом будет названо 50, а вторым, в случае если оно меньше — 25, если больше — 75. Таким образом, на каждом этапе неопределенность неизвестного уменьшается в 2 раза. Т.е. даже самый невезучий в мире человек отгадает загаданное число в данном диапазоне за 7 предположений вместо 100 случайных утверждений.

Алгоритм метода половинного деления основан на теореме Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции и следствии из неё.

Теорема Больцано — Коши: если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает любое значение между ними.

Следствие (теорема о нуле непрерывной функции): если непрерывная функция принимает на концах отрезка положительное и отрицательное значения, то существует точка, в которой она равна 0.

Приближённые вычисления в математике

Содержание:

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде , число в виде Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись

3. Если

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10 3 — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью (омега) приближённости х величины называется отношением абсолютной погрешности этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть

Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:

Число называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле:

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа

Решение: Имеем

Следовательно

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что .

Решение:

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — исходные данные; пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Презентация по вычислительной математике на тему «Приближенные методы решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Приближенное решение уравнений

Нелинейный уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцидентные Определение: Уравнение f(x)=0, называется алгебраическим, если функция f(x) является алгебраической. (содержит переменную х в различной степени) Трансцендентное уравнение – уравнение не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнение, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические; обратные тригонометрические функции. Более строгое определение таково: Трансцендентное уравнение – это равнение вида , где функции f и g являются аналитическим функциями, и по крайне мере одна из них не является алгебраической.

Определите тип уравнения: 1) 2) 3) 4)

Если уравнение не решается точными методами, то находим крни уравнения численными методами: . Определение x0 называется корнем уравнения f(x)=0, если при подстановке x0 в это уравнение получаем верное равенство f(x0)=0. Приближенный метод решения уравнения состоит из 2-х этапов 1)Отделение корней, т.е определение таких отрезов, в каждом из которых содержится только один корень. Используются а) графический метод б) аналитический метод 2) Уточнение корней, т.е. доведение их до заданной степени точности

а) Графический метод: Корнем уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции y=f(x) с осью ox. (рис.1 точки x1, x0, x2).

Если построение графика функции y=f(x) вызывает затруднение, то уравнение y=f(x) нужно представить в виде f1(x)=f2(x), та чтобы построить графики функций y=f1(x); y= f2(x) было легко. Корнями уравнения f(x)=0 будут являться абсциссы точек пересечения графиков функций y=f1(x) и y= f2(x).

ПРИМЕР 1 f(x)=x2-sin x. x2=sin x Cтроим графики функций y= x2 и y= sin x

Отделяющий отрезок [a;b] достаточно малой длинны следует выбрать так, чтобы значения f(a) и f(b) были разных знаков, т.е. f(a)•f(b) 0 – есть корень – один действительный. Сузим промежуток. Найдем значения функции при х=2 f(2)>0 то есть корень уравнения лежит в интервале [1;2] Таким образом корень исходного уравнения x0 (1;2)

Уточнение корней Метод простых итераций Метод Ньютона (касательных) Метод секущих Метод хорд Комбинированный метод Метод половинного деления

Метод простых итераций Идея метода: корень уравнения — это такое число, при подстановке которого в уравнение, оно обращается в верное равенство. Если переписать исходное уравнение в виде x=g(x), то при подстановке значения корня равенство сохранится. Такой вид уравнения называется генерирующим соотношением. Пусть x0 будет исходным приближенным значением корня уравнения x=g(x). Тогда в качестве следующего приближения примем: x1=g(x0), второе приближение получим, подставив в правую часть уравнения первое приближение: x2=g(x1) и т.д. В общем виде: xn=g(xn-1). Процесс получения последовательных приближений значения корня называется итерационным, а метод – методом простых итераций. Для определения достижения точности пользуются неравенством или .

Пример1 1) 2x + lg(2x + 3)=l; Найдем приближенные значения корней графически; для этого уравнение удобно представить в виде lg(2x + 3) = 1 -2х (рис.4). Из графика видно, что уравнение имеет один корень, лежащий в промежутке [0; 0,5]. Для уточнения его методом итераций приведем уравнений к виду х = φ(х). Функцию φ (х) будем искать из соотношения считая, что ,где ;число k имеет тот же знак, что и в промежутке [0; 0,5]. Находим f(x )=2х + lg (2х + 3) — 1; при

За начальное приближение возьмем x0 = 0, все детальные приближения, будем определять из равенства Вычисления удобно располагать в таблице Ответ: х 0,230 nxn2xn+3 0030,47710,2386 10,26143,52280,54690,2734 20,22663,45320,53820,2691 30,23093,46180,53940,2697 40,23033,46060,53920,2696 50,2304—

Метод Ньютона (касательных) Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке (x0, f(x0)). Она пересечет ось Ох в некоторой точке х1. Так как тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке (x0, f(x0)) равен производной функции в этой точке, можно найти расстояние между точками х0 и х1, обозначим это расстояние

Тогда координату точки х1 можно определить следующим образом: Аналогично можно найти точки х2, х3, …, хn, … Таким образом, для расчета приближений в методе Ньютона используется формула: Счет прекращается при достижении достаточного малого значения . Это самый быстрый метод. Скорость сходимости в большей мере зависит от удачного выбора исходной точки. Если в процессе вычислений на каком-то шаге тангенс угла наклонной касательной обращается в нуль, т.е. f`(x)=0, то применение метода усложняется.

Сходимость метода обеспечивается при следующих условиях: x0 выбрано достаточно близко к корню уравнения f(x)=0; Вторая производная не становится очень большой; Первая производная не слишком близко к нулю. Последнее условие означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. Пример1 1) tg(0,55x+0,l) = x2; Выше мы установили, что уравнение имеет действительный корень, принадлежащий промежутку [-1,0]. Уточним этот корень методом касательных. Так как и ,то за начальное приближение принимаем x0=-1. Для вычисления применяем формулу

Находим Для вычислений используем таблицу: Ответ: . nxn 0-11-1-0,23,9-0,051 1-0,9490,9006-1,8547-0,00933,5814-0,0026 2-0,94640,8957-1,8477-0,00043,5657-0,00001

Метод секущих недостатком метода Ньютона состоит в том, что приходится дифференцировать функцию f(x). Заменим производную, используемую в методе Ньютона, отношением разностей: Тогда формула примет вид:

Рассмотрим графическую интерпретацию метода. Выберем начальное приближение х0 и рядом с ним достаточно близко возьмем точку х1. Нередко в качестве точки х1 берут значение . f(b)

Через точки f(х0) и f(х1) проведем прямую – секущую. Она пересекает ось Oх в некоторой точке х2. Вычислим координаты этой точки. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: Т.к. искомая точка лежит на оси Oх, то ордината этой точки, т.е. y равна нулю. Следовательно, получим следующую формулу: это и есть формула метода секущих. f(b)

Последующие приближения будем получать, используя эту же формулу до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, т.е. . Метод секущих, так же, как и метод касательных, сходится не всегда. Причины сходимости – те же, что и у метода касательных.

Метод хорд Метод хорд легко получается из метода секущих. Если в качестве начальных приближений выбрать не две рядом лежащие точки, а концы отрезка, содержащего искомый корень (мы его получили на этапе отделения корней), можно избежать существенного недостатка предыдущих методов – возможную расходимость метода. Метод хорд сходится всегда. Но алгоритм метода становится сложнее. Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода.

Хорда, проходящая через точки (a, f(a)) и (b, f(b)), пересекает ось Ох в точке с. Координату точки с можно определить, используя уравнение прямой, проходящей через две точки: .

Формула метода хорд такая же, как и в методе секущих. Но, в отличие от метода секущих, где все получаемые приближения лежат по одну сторону от корня, в методе хорд получаемое приближение всегда лежит между двумя предыдущими! Следовательно, необходимо проверять на каком отрезке — [a, c] или [c, b] лежит искомый корень. Для этого достаточно проверить произведение значений функции на концах получившихся отрезков (см. отделение корней): корень есть, если данное произведение меньше нуля. Далее выбираем тот из отрезков, на котором содержится корень. В нашем случае – это отрезок [c, b].

Переименуем один из концов отрезка так, чтобы опять получился отрезок [a, b]. Найдем новое значение с и буде повторять процесс до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Пример 1 Находим: Составим таблицу знаков функции f(x): x—10+ Signf(x)—++

Уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1,0]. Чтобы уточнить корень, находим вторую производную в промежутке [-1,0] выполняется неравенство Для вычисления применяем формулу где Вычисление располагаем в таблице: nxn 000000 1-0,882-0,6861-0,7779-0,1556-0,441 2-0,934-0,8386-0,8892-0,1778-0,4715 3-0,946-0,8466-0,8949-0,1790-0,473 4-0,946

Ответ: x≈-0,946 n 01,51,71-0,118 10,21730,41730,118-0,057 20,01210,21210,057-0,054 30,00140,20140,054-0,054

Для f’(x);f’’(x) возможны следующие комбинации:

Замечание: условимся через a1 обозначать тот конец отрезка [a1,b1] где совпадают знаки f’(x) и f’’(x).

Метод хорд заключается в следующем: Заменим дугу кривой y=f(x) хордой AB. Определив точку пересечения хорды AB с осью Ox находим 1-ое приближение b2 корня x0. Точка b2 разобьет [a1,b1] на [b1,b2] и [b2,a1] причем x0є[b2;a1]. На полученном отрезке [b2;a1] опять заменим дугу хордой, получим второе приближение b3 и т.д.(см.рис.).

Выведем формулу для n-го приближения. Уравнение прямой, проходящей через две точки A(a1;f(a1)) и Bn(вn;f(вn)) имеет вид: Найдем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс, полагая y=0, x=bn+1 имеем n=1;2;3.

Метод касательных отличается от метода хорд тем, что дугу заменяют не хордой, а касательной. В точке проведем касательную к дуге. Точка пересечения касательной и оси Ох – будет первым приближением корня Затем проведем касательную в точке и получим второе приближенное значение и т.д.

Выведем формулу для n –го приближения: Уравнение касательной в точке будет иметь вид: где n=1,2,3… Пологая, что и , имеем (2) где n=1,2,3… Процесс сходится, если и , непрерывна и сохраняет свои знаки на

Комбинированный метод Суть приближения по методу хорд будет располагаться с одной стороны, а по методу касательных — с другой т.е. в результате мы придем к следующему где найдено по формуле (3)

Последний из полученных интервалов дает абсолютную величину погрешности приближенного значения корня. Пусть , где — заданная точность приближенного значения корня за приближенное значение можно взять в частности . Погрешность этого приближения Замечание За берем ту точку где и имеют одинаковые знаки.