Приближённые методы решения уравнений Метод половинного деления. — презентация
Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемФёдор Рачинский
Похожие презентации
Презентация на тему: » Приближённые методы решения уравнений Метод половинного деления.» — Транскрипт:
1 Приближённые методы решения уравнений Метод половинного деления
2 Какими способами мы умеем решать уравнения? С помощью формул Угадать (подставить) Графически Найдите решение уравнения х^3+х^2-1=0. с точностью до
3 Угадай число от 0 до 20 Ведущий загадывает Угадываем способом больше-меньше Другой способ? А нельзя ли этим способом решить уравнение?
4 Этапы метода половинного деления 1. Отделение корня: Записать уравнение в каноническом виде: f(x)=0; Найти отрезок (a;b), для которого выполняются следующие условия: функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b) и на концах отрезка имеет разные знаки; 2. Поиск корня.
0 x y» title=»a 0 b F(a) 0 x y» > 5 a 0 b F(a) 0 x y 0 x y»> 0 x y»> 0 x y» title=»a 0 b F(a) 0 x y»>
0 F(b) 0 F(b) 6 a 0 b F(a)>0 F(b) 0 F(b) 0 F(b) 0 F(b) 0 F(b)
7 Поиск корня Делим исходный отрезок на две половины (a;x) и (x;b), где x=(a+b)/2; Определяем, на какой из частей теперь находится корень уравнения, и берем соответствующую половинку в качестве нового исходного отрезка; Далее повторяем те же действия до тех пор, пока длина полученного отрезка, на котором находится корень, не будет меньше заданной точности |b-a|
9 Найти решение уравнения х^3+х^2-1=0. 1)Графическим методом найдём отрезок, на котором находится корень.
11 Точка пересечения находится на отрезке [0; 1]. Проверим принимает ли функция на этом отрезке разные по знаку значения: у(0)= Верно. 2) Найдём середину отрезка [0; 1], с=(а+b)/2, с=0,5. 3) Из двух получившихся отрезков выбираем то, на котором функция принимает разные по знаку значения: у(0,5)= -5/8
13 Самостоятельно решить уравнение методом половинного деления предварительно найдите корень графически: 1) (х-1)^3-(х-2)^2=0. Ответ: 2) 3 х^5+х^3-2=0. Ответ: 3) 1/(х-2)-(х-3)^3=0. Ответ: 4) Ответ: 5) x^2-sin x=0 Ответ: 6) 2^x=|x| Ответ: Задания и ответы запишите в тетрадь Задания 5-6 дополнительные
14 Домашнее задание: Найти решение уравнения графическим методом и методом половинного деления: х^3+(х-1)^2=0.
Презентация по вычислительной математике на тему «Приближенные методы решения уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Приближенное решение уравнений
Нелинейный уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцидентные Определение: Уравнение f(x)=0, называется алгебраическим, если функция f(x) является алгебраической. (содержит переменную х в различной степени) Трансцендентное уравнение – уравнение не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнение, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические; обратные тригонометрические функции. Более строгое определение таково: Трансцендентное уравнение – это равнение вида , где функции f и g являются аналитическим функциями, и по крайне мере одна из них не является алгебраической.
Определите тип уравнения: 1) 2) 3) 4)
Если уравнение не решается точными методами, то находим крни уравнения численными методами: . Определение x0 называется корнем уравнения f(x)=0, если при подстановке x0 в это уравнение получаем верное равенство f(x0)=0. Приближенный метод решения уравнения состоит из 2-х этапов 1)Отделение корней, т.е определение таких отрезов, в каждом из которых содержится только один корень. Используются а) графический метод б) аналитический метод 2) Уточнение корней, т.е. доведение их до заданной степени точности
а) Графический метод: Корнем уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции y=f(x) с осью ox. (рис.1 точки x1, x0, x2).
Если построение графика функции y=f(x) вызывает затруднение, то уравнение y=f(x) нужно представить в виде f1(x)=f2(x), та чтобы построить графики функций y=f1(x); y= f2(x) было легко. Корнями уравнения f(x)=0 будут являться абсциссы точек пересечения графиков функций y=f1(x) и y= f2(x).
ПРИМЕР 1 f(x)=x2-sin x. x2=sin x Cтроим графики функций y= x2 и y= sin x
Отделяющий отрезок [a;b] достаточно малой длинны следует выбрать так, чтобы значения f(a) и f(b) были разных знаков, т.е. f(a)•f(b) 0 – есть корень – один действительный. Сузим промежуток. Найдем значения функции при х=2 f(2)>0 то есть корень уравнения лежит в интервале [1;2] Таким образом корень исходного уравнения x0 (1;2)
Уточнение корней Метод простых итераций Метод Ньютона (касательных) Метод секущих Метод хорд Комбинированный метод Метод половинного деления
Метод простых итераций Идея метода: корень уравнения — это такое число, при подстановке которого в уравнение, оно обращается в верное равенство. Если переписать исходное уравнение в виде x=g(x), то при подстановке значения корня равенство сохранится. Такой вид уравнения называется генерирующим соотношением. Пусть x0 будет исходным приближенным значением корня уравнения x=g(x). Тогда в качестве следующего приближения примем: x1=g(x0), второе приближение получим, подставив в правую часть уравнения первое приближение: x2=g(x1) и т.д. В общем виде: xn=g(xn-1). Процесс получения последовательных приближений значения корня называется итерационным, а метод – методом простых итераций. Для определения достижения точности пользуются неравенством или .
Пример1 1) 2x + lg(2x + 3)=l; Найдем приближенные значения корней графически; для этого уравнение удобно представить в виде lg(2x + 3) = 1 -2х (рис.4). Из графика видно, что уравнение имеет один корень, лежащий в промежутке [0; 0,5]. Для уточнения его методом итераций приведем уравнений к виду х = φ(х). Функцию φ (х) будем искать из соотношения считая, что ,где ;число k имеет тот же знак, что и в промежутке [0; 0,5]. Находим f(x )=2х + lg (2х + 3) — 1; при
За начальное приближение возьмем x0 = 0, все детальные приближения, будем определять из равенства Вычисления удобно располагать в таблице Ответ: х 0,230 nxn2xn+3 0030,47710,2386 10,26143,52280,54690,2734 20,22663,45320,53820,2691 30,23093,46180,53940,2697 40,23033,46060,53920,2696 50,2304—
Метод Ньютона (касательных) Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке (x0, f(x0)). Она пересечет ось Ох в некоторой точке х1. Так как тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке (x0, f(x0)) равен производной функции в этой точке, можно найти расстояние между точками х0 и х1, обозначим это расстояние
Тогда координату точки х1 можно определить следующим образом: Аналогично можно найти точки х2, х3, …, хn, … Таким образом, для расчета приближений в методе Ньютона используется формула: Счет прекращается при достижении достаточного малого значения . Это самый быстрый метод. Скорость сходимости в большей мере зависит от удачного выбора исходной точки. Если в процессе вычислений на каком-то шаге тангенс угла наклонной касательной обращается в нуль, т.е. f`(x)=0, то применение метода усложняется.
Сходимость метода обеспечивается при следующих условиях: x0 выбрано достаточно близко к корню уравнения f(x)=0; Вторая производная не становится очень большой; Первая производная не слишком близко к нулю. Последнее условие означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. Пример1 1) tg(0,55x+0,l) = x2; Выше мы установили, что уравнение имеет действительный корень, принадлежащий промежутку [-1,0]. Уточним этот корень методом касательных. Так как и ,то за начальное приближение принимаем x0=-1. Для вычисления применяем формулу
Находим Для вычислений используем таблицу: Ответ: . nxn 0-11-1-0,23,9-0,051 1-0,9490,9006-1,8547-0,00933,5814-0,0026 2-0,94640,8957-1,8477-0,00043,5657-0,00001
Метод секущих недостатком метода Ньютона состоит в том, что приходится дифференцировать функцию f(x). Заменим производную, используемую в методе Ньютона, отношением разностей: Тогда формула примет вид:
Рассмотрим графическую интерпретацию метода. Выберем начальное приближение х0 и рядом с ним достаточно близко возьмем точку х1. Нередко в качестве точки х1 берут значение . f(b)
Через точки f(х0) и f(х1) проведем прямую – секущую. Она пересекает ось Oх в некоторой точке х2. Вычислим координаты этой точки. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: Т.к. искомая точка лежит на оси Oх, то ордината этой точки, т.е. y равна нулю. Следовательно, получим следующую формулу: это и есть формула метода секущих. f(b)
Последующие приближения будем получать, используя эту же формулу до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, т.е. . Метод секущих, так же, как и метод касательных, сходится не всегда. Причины сходимости – те же, что и у метода касательных.
Метод хорд Метод хорд легко получается из метода секущих. Если в качестве начальных приближений выбрать не две рядом лежащие точки, а концы отрезка, содержащего искомый корень (мы его получили на этапе отделения корней), можно избежать существенного недостатка предыдущих методов – возможную расходимость метода. Метод хорд сходится всегда. Но алгоритм метода становится сложнее. Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода.
Хорда, проходящая через точки (a, f(a)) и (b, f(b)), пересекает ось Ох в точке с. Координату точки с можно определить, используя уравнение прямой, проходящей через две точки: .
Формула метода хорд такая же, как и в методе секущих. Но, в отличие от метода секущих, где все получаемые приближения лежат по одну сторону от корня, в методе хорд получаемое приближение всегда лежит между двумя предыдущими! Следовательно, необходимо проверять на каком отрезке — [a, c] или [c, b] лежит искомый корень. Для этого достаточно проверить произведение значений функции на концах получившихся отрезков (см. отделение корней): корень есть, если данное произведение меньше нуля. Далее выбираем тот из отрезков, на котором содержится корень. В нашем случае – это отрезок [c, b].
Переименуем один из концов отрезка так, чтобы опять получился отрезок [a, b]. Найдем новое значение с и буде повторять процесс до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.
Пример 1 Находим: Составим таблицу знаков функции f(x): x—10+ Signf(x)—++
Уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1,0]. Чтобы уточнить корень, находим вторую производную в промежутке [-1,0] выполняется неравенство Для вычисления применяем формулу где Вычисление располагаем в таблице: nxn 000000 1-0,882-0,6861-0,7779-0,1556-0,441 2-0,934-0,8386-0,8892-0,1778-0,4715 3-0,946-0,8466-0,8949-0,1790-0,473 4-0,946
Ответ: x≈-0,946 n 01,51,71-0,118 10,21730,41730,118-0,057 20,01210,21210,057-0,054 30,00140,20140,054-0,054
Для f’(x);f’’(x) возможны следующие комбинации:
Замечание: условимся через a1 обозначать тот конец отрезка [a1,b1] где совпадают знаки f’(x) и f’’(x).
Метод хорд заключается в следующем: Заменим дугу кривой y=f(x) хордой AB. Определив точку пересечения хорды AB с осью Ox находим 1-ое приближение b2 корня x0. Точка b2 разобьет [a1,b1] на [b1,b2] и [b2,a1] причем x0є[b2;a1]. На полученном отрезке [b2;a1] опять заменим дугу хордой, получим второе приближение b3 и т.д.(см.рис.).
Выведем формулу для n-го приближения. Уравнение прямой, проходящей через две точки A(a1;f(a1)) и Bn(вn;f(вn)) имеет вид: Найдем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс, полагая y=0, x=bn+1 имеем n=1;2;3.
Метод касательных отличается от метода хорд тем, что дугу заменяют не хордой, а касательной. В точке проведем касательную к дуге. Точка пересечения касательной и оси Ох – будет первым приближением корня Затем проведем касательную в точке и получим второе приближенное значение и т.д.
Выведем формулу для n –го приближения: Уравнение касательной в точке будет иметь вид: где n=1,2,3… Пологая, что и , имеем (2) где n=1,2,3… Процесс сходится, если и , непрерывна и сохраняет свои знаки на
Комбинированный метод Суть приближения по методу хорд будет располагаться с одной стороны, а по методу касательных — с другой т.е. в результате мы придем к следующему где найдено по формуле (3)
Последний из полученных интервалов дает абсолютную величину погрешности приближенного значения корня. Пусть , где — заданная точность приближенного значения корня за приближенное значение можно взять в частности . Погрешность этого приближения Замечание За берем ту точку где и имеют одинаковые знаки.
Презентация на тему «Приближенные методы вычислений»
Презентация на тему: «Приближенные методы вычислений». Автор: Саня. Файл: «Приближенные методы вычислений.ppt». Размер zip-архива: 166 КБ.
Приближенные методы вычислений
| № | Слайд | Текст |
| 1 |  |