Методы решений показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Разработка обобщающего урока по теме «методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств» , конспект + презентация.

Просмотр содержимого документа
«Рефлексия»

На уроке я работал

Своей работой на уроке я

доволен / не доволен

Урок для меня показался

не устал / устал

стало лучше / стало хуже

Материал урока мне был

понятен / не понятен

Домашнее задание мне кажется

интересно / не интересно

На уроке я работал

Своей работой на уроке я

доволен / не доволен

Урок для меня показался

не устал / устал

стало лучше / стало хуже

Материал урока мне был

понятен / не понятен

Домашнее задание мне кажется

интересно / не интересно

Просмотр содержимого документа
«диагностическая карта»

Этапы работы на уроке

1. Решение простейших логарифмических уравнений и неравенств

2. Теоретические сведения о решении логарифмических уравнений и неравенств

4. Работа в группах

Этапы работы на уроке

1. Решение простейших логарифмических уравнений и неравенств

2. Теоретические сведения о решении логарифмических уравнений и неравенств

4. Работа в группах

Этапы работы на уроке

1. Решение простейших логарифмических уравнений и неравенств

2. Теоретические сведения о решении логарифмических уравнений и неравенств

4. Работа в группах

Этапы работы на уроке

1. Решение простейших логарифмических уравнений и неравенств

2. Теоретические сведения о решении логарифмических уравнений и неравенств

4. Работа в группах

Этапы работы на уроке

1. Решение простейших логарифмических уравнений и неравенств

2. Теоретические сведения о решении логарифмических уравнений и неравенств

4. Работа в группах

Просмотр содержимого документа
«домашнее задание»

Просмотр содержимого документа
«конспект урока»

Тема урока: Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Цели урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.

создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»;

активизировать деятельность учащихся по применению комплекса знаний и умений на практике;

подготовка к ЕГЭ.

развивать способности применять теоретические знания на практике;

развивать навыки работы с тестовыми заданиями;

развивать навыки самоконтроля , логическое мышление, память, внимание.

воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Оборудование урока: презентация, компьютер, проектор, интерактивная доска, карточки с тестовыми заданиями, диагностические карты.

Организация начала урока (Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ).

Девиз сегодняшнего урока: “Нельзя изучать математику глядя на то, как это делает сосед”.

Только свой труд в изучении математики может принести результаты. Перед нами стоит задача: повторить типы, методы и особенности решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств и применить их на практике.

Наши знания должны работать и дать положительный результат на экзамене. Сегодня каждый из вас проведет диагностику своих знаний по данной теме, для этого у каждого диагностические карты, в которых вы оцените свои знания и возможности по каждому из разделов. В соответствии с этой оценкой на индивидуальных консультациях мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.

Актуализация знаний учащихся

а) Показательные уравнения и неравенства и методы их решения (Приложение 1).

б) Логарифмические уравнения и неравенства и методы их решения (Приложение 2)

Комплексное применение знаний на практике.

1. Применение теоретического материала к решению задач.

Одновременно у доски работают двое учащихся. Один решает показательное уравнение и неравенство, второй логарифмическое уравнение и неравенство.

а)

б)

а) 49 x -8∙7 x + 7 = 0

б)

1. Тестовая работа

Оцените свои умения решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. У каждого из вас есть индивидуальная карточка с тестовыми заданиями. Шесть заданий этого теста взяты из открытого банка заданий по математике (http://mathege.ru) и являются прототипами задания В3 ЕГЭ. Ответы записывайте в специальных полях и обращайте внимание на образец написания цифр. На выполнение теста отводим 15 минут. По окончании вы в соответствии оцениваете свою работу и выставляете соответствующую отметку в диагностическую карту.

Критерии оценивания: 8 заданий – «5»; 6,7 заданий – «4»; 4, 5 заданий – «3» и менее 4 заданий –«2».

В1. Найдите корень уравнения

В2. найдите корень уравнения

В3. Найдите корень уравнения

В4. Найдите корень уравнения

В5 Найдите корень уравнения

В6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них

Методы решения показательных и логарифмических неравенств

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методы решения показательных уравнений.

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени (к тому же, переменная может быть и в основании степени).

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

— безошибочно решать простейшие показательные уравнения.

— не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать «посторонних» корней, а тем более, — не терять решений уравнения.

— чётко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования

— знать методы решения задач. Для этого:

определить тип уравнения;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Три разных основания степеней

Разложение оснований на множители и сведение к двум основаниям степени

Два разных основания степеней-

степени одного числа

Приведение к одинаковым показателям степеней

Приведение к одинаковым основаниям степеней

Два разных основания степеней-

Одинаковые основания степеней — разные показатели

Деление на меньшее основание в степени уравнения

Приведение к одинаковым показателям степеней

Одинаковые основания степеней — одинаковые показатели степеней

Приведение к одному основанию степени

Простейшие показательные уравнения

Методы решения показательных неравенств.

Показательным неравенством называется неравенство, содержащее переменную в показателе степени (к тому же, переменная может быть и в основании степени).

Для успешного решения показательных неравенств необходимо:

— безошибочно решать простейшие показательные неравенства.

— не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать «посторонних» решений, а тем более, — не терять решений неравенств.

— чётко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования

— знать методы решения задач. Для этого:

определить тип неравенств;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Три разных основания степеней

Разложение оснований на множители и сведение к двум основаниям степени

Два разных основания степеней-

степени одного числа

Приведение к одинаковым показателям степеней

Приведение к одинаковым основаниям степеней

Два разных основания степеней-

Одинаковые основания степеней — разные показатели

Деление на меньшее основание в степени уравнения

Приведение к одинаковым показателям степеней

Одинаковые основания степеней — одинаковые показатели степеней

Приведение к одному основанию степени

Простейшие показательные неравенства

Логарифмирование и использование монотонности показательной функции

Методы решения логарифмических уравнений.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма и/или в основании логарифма.

, a>0, a 1 , x>0.

Для успешного решения логарифмических уравнений необходимо:

— безошибочно решать простейшие логарифмические уравнения.

— не только активно знать все логарифмические тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать «посторонних» корней, а тем более, — не терять решений уравнения.

— чётко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования

— знать методы решения задач. Для этого:

определить тип уравнения;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Разные основания логарифмов

Приведение к одинаковым основаниям логарифмов

Одинаковые основания логарифмов — разные выражения под логарифмами

Приведение к одинаковым выражениям под логарифмами

Одинаковые основания логарифмов – одинаковые выражения под логарифмами

Сворачивание в один логарифм

Простейшие логарифмические уравнения

Необходимо всегда помнить, что логарифм определён при выполнении трёх условий:

— выражение под логарифмом больше нуля;

— основание логарифма больше нуля

— основание логарифма не равно единице.

Методы решения логарифмических неравенств.

Логарифмическим неравенством называется неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма и/или в основании логарифма.

, a >0, a 1, x >0.

Для успешного решения логарифмических неравенств необходимо:

— безошибочно решать простейшие логарифмические неравенства.

— не только активно знать все логарифмические тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать «посторонних» корней, а тем более, — не терять решений уравнения.

— чётко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования

— знать методы решения задач. Для этого:

определить тип неравенства;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Разные основания логарифмов

Приведение к одинаковым основаниям логарифмов

Одинаковые основания логарифмов — разные выражения под логарифмами

Приведение к одинаковым выражениям под логарифмами

Одинаковые основания логарифмов – одинаковые выражения под логарифмами

Сворачивание в один логарифм

Простейшие логарифмические уравнения

Потенцирование и использование монотонности логарифмической функции

Необходимо всегда помнить, что логарифм определён при выполнении трёх условий:

— выражение под логарифмом больше нуля;

— основание логарифма больше нуля

— основание логарифма не равно единице.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 371 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 17.12.2015
• 1483
• 1

• 17.12.2015
• 606
• 0

• 17.12.2015
• 361
• 0

• 17.12.2015
• 2842
• 28

• 17.12.2015
• 415
• 1

• 17.12.2015
• 857
• 0

• 17.12.2015
• 1882
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.12.2015 4187
• DOCX 75 кбайт
• 45 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сатцаева Нонна Ефимовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 12267
• Всего материалов: 3

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Разделы: Математика

Цель урока:

1. систематизировать знания о некоторых нестандартных способах решения, умение применять свойства функций, правила при решении уравнений и неравенств;
2. развивать умение видеть, умение распознавать рациональность применения того или иного способа;
3. прививать интерес к математике, воспитывать математическую грамотность ученика, как при устной, так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. Орг. момент.
2. Устная работа.
3. Работа в группах
4. Защита решений.
5. Сам. работа.
6. Задание на дом
7. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

• знакомство с целью урока; задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.
• использование при решении задач:
  – монотонности функций;
  – «правила знаков»;
  – метода оценки;
  – освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

а)	а) да;
б)	б) нет, т.к.
в)	в) нет, т.к. а
г)	г) да;
д)	д) нет, т.к.

2. Решить уравнение:

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

/ :

(Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на

следовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

– Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

– Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

– Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого разделим на

– Можем ли мы угадать хоть один корень?

(Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

точка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

2 группа. Решить неравенство:

– Применим теорему для функции f(f(x)).

Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ:

– Выполним некоторые преобразования:

– вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

– приведем к общему знаменателю:

т.к. , а , тогда

функция принимает вид , где — возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

– Учитывая ОДЗ, получим:

3 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

;

–Заметим, что .

;

– Разделим обе части уравнения на положительное выражение , получим:

;

– Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

– Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

– Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

4 группа. Решить уравнение:

;

– Решим уравнение методом оценки;

– Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

– Преобразуем логарифмы в левой части;

;

;

Выделим полный квадрат в правой части;

– Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

– В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

– левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

– Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

– Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Решение: Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов освободиться по правилу знаков:

– Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

найдем нули функции: нули функции

функция f(x) > 0 при учитывая ОДЗ, получим:

Ответ:

IV. Защита проектов.

– От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение на доске кратко записать, пояснения по ходу решения, либо записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.

– Проверим решение уравнений по готовым записям на доске: