Методы решения алгебраических уравнений метод хорд

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Метод хорд ( метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось — Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.

Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

или .

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

.

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ) .

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:

— если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить , ;

— если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:

— если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

— если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений методом хорд

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения ( False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1: 0,

f»(a)>0″ width=»158″ height=»20″ border=»0″ />

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .

Случай №2: 0″ width=»158″ height=»20″ border=»0″ />

Из второго условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона b .

В общем виде, для выявления неподвижного конца можно записать следующее условие: 0″ width=»122″ height=»20″ border=»0″ /> , где или .

Рис. 3. Примеры убывающей или возрастающей функции

Таким образом, в зависимости от вида функции получаются два выражения для упрощения поиска корня функции:

— если функция соответствует первому случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

— если функция соответствует второму случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

Случай сводится к рассматриваемому , если уравнение записать в форме: .

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Метод хорд

Метод хорд — итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

Немного теории о методе хорд под калькулятором.

Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд можно рассматривать как комбинацию метода секущих (Метод секущих) и метода дихотомии — отличие от метода секущих состоит в том, что если в методе секущих в качестве точек следующей итерации выбираются последние рассчитанные точки, то в методе хорд выбираются те точки, в которых функция имеет разный знак, и соответственно, выбранный интервал содержит корень.

Вывод итерационной формулы аналогичен выводу формулы для метода секущих:

Положим, что у нас есть две точки, x0 и x1, в которых значения функции равны соответственно f(x0) и f(x1). Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки, будет

Для точки пересечения с осью абсцисс (у=0) получим уравнение

Но в отличие от метода секущих, после расчета следующего приближения в качестве второй точки выбирается не последняя, а та, в которой функция имеет разный знак со значением функции в вычисленной точке. Проиллюстрировано это ниже.

Метод хорд является двухшаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями. Поэтому необходимо задавать два начальных приближения корня.
Метод требует, чтобы начальные точки были выбраны по разные стороны от корня (то есть корень содержался в выбранном интервале), при этом величина интервала в процессе итераций не стремится к 0.

В качестве критерия останова берут один из следующих:

— значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.

— изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε. При этом имеется в виду не интервальные значения, а два вычисленных значения, так как величина интервала не стремится к 0.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ — Тема: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных.

— применить умения отделять корни алгебраических уравнений;

— применить умения решать алгебраические уравнений приближенными методами (метод хорд и касательных);

1. Рабочая тетрадь в клетку.

2. Раздаточный материал: инструкционные карты-20шт.

3. Калькулятор простой.

1. Методом хорд с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

2. Методом касательных с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

3. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до 0,01.

1. Методом хорд с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

2. Методом касательных с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

3. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до 0,01.

1. Внимательно прочитать тему и цель практической работы .

2. Изучить учебный материал по теме.

3. Ответить на вопросы.

4. Выполнить задания.

5. Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Предположим, что удалось найти достаточно малый промежуток , содержащий ровно один действительный корень уравнения (1).

Тогда, согласно теореме 5, непрерывная и дифференцируемая функция принимает на его концах значения разных знаков, т.е. .

Предположим, также, что промежуток столь мал, что во всех его точках сохраняют постоянный знак.

На рис. 1 – 4 изобразим схематические графики четырёх типов расположения дуги кривой.

Отдельно рассмотрим и опишем два случая.

Случай 1. на , т.е. либо и на , либо и на

Случай 2. на , т.е. либо и на , либо и на

Приведем алгоритм решения задачи в первом случае:

а) через точки и кривой проведем хорду AB . Ее уравнение имеет вид:

или ;

б) найдём абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох. Положив , получим ;

в) подставив значение в уравнение кривой , получим . Точка имеет координаты ;

г) через точки и кривой проведем хорду . Ее уравнение имеет вид:

или

д) найдем абсциссу точки пересечения хорды с осью . Положив , будем иметь:

;

е) в результате получим последовательность значений , , ,…, сходящуюся к .

После выполнения неравенства , где — выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Итак, в первом случае вычисления производятся по формулам:

;

(2)

Приведем алгоритм решения задачи во втором случае:

а) значения и находятся так же, как и в первом случае. Точка имеет координаты ;

б) через точки и кривой проведем хорду . Ее уравнение имеет вид: или ;

в) найдем абсциссу точки пересечения хорды с осью Ox . Положив , будем иметь: ;

г) дальнейшие действия такие же, как и в первом случае. Итак, во втором случае вычисления производятся по формулам:

Метод касательных (метод Ньютона).

При тех же предложениях, что и в методе хорд на рис. 5 и 8, изобразим схематически графики четырех типов расположения дуги кривой.

Отдельно рассмотрим и опишем два случая.

Случай 1. . на (см. рис. 5 и 8), т.е. либо и на , либо и на .

Случай 2. на (см. рис. 6 и 7), т.е. либо и на , либо и на .

Приведем алгоритм решения задачи в первом случае:

а) через точку проведем касательную к кривой . Ее уравнение имеет вид:

или ;

б) найдём абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox . Положив , получим ;

в) подставив значение в уравнении кривой получим: . Точка имеет координаты ;

г) через точку проведем касательную к кривой . Ее уравнение имеет вид:

или ;

д) найдём абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox . Положив , получим ;

е) в результате получим последовательность значений , , …, сходящуюся к .

После выполнения неравенства , где — выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Итак, в первом случае вычисления производятся по формулам:

Алгоритм решения задачи во втором случае будет таким же, как и в первом случае, только первая касательная будет проводиться через точку .

Итак, во втором случае вычисления проводятся по формулам:

Комбинированный метод хорд и касательных.

Пусть требуется найти действительный корень уравнения изолированный на отрезке . Предполагается, что и имеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке такую точку что и (при x, принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки.

Воспользуемся формулами методов хорд и касательных:

Величины и принадлежат промежутку изоляции, причем и

Построим новую пару приближений к корню:

.

Точки и на числовой оси расположены между точками и , причем и имеют разные знаки.

Вычислим теперь значения

и т.д.

Каждая из последовательностей

…, …; …, …

стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая – монотонно убывает. Пусть, например, тогда . Задав заранее достаточно малое мы можем, увеличивая добиться выполнения неравенства следовательно, при этом же значении будет выполняться неравенство Таким образом, является приближенным значением корня вычисленным с погрешностью, не превышающей

Так, например, для нахождения приближенного значения с точностью до 0,001 нужно определить таким образом, чтобы значения и вычисленные с точностью до 0,001, совпадали.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Методом хорд найти положительный корень уравнения

С точностью

Прежде всего, отделяем корень. Так как

и

То искомый корень х лежит в интервале . Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

и

То искомый корень х лежит в интервале . Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

то

Так как при и , то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:

следовательно , продолжаем вычисления;

Таким образом, можно принять с точностью .

Заметим, что точный корень уравнения .

С помощью графического метода отделить корни трансцендентного уравнения и уточнить их методом Ньютона с точностью е=0,00001.

.

Решение. Запишем наше уравнение в виде . Строим графики данных функций.

Из рис. 3 видно, что данное уравнение имеет два корня: первый корень принадлежит отрезку [0,1; 1], а второй [1,1; 2].

Уточним корни методом касательных. Для этого вычислим производные.

Итерационная формула метода Ньютона в данном случае принимает вид.

Результаты вычислений представим в виде таблиц