Методы решения дифференциальных уравнений на эвм

Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

Для того, чтобы описать динамику различных процессов, протекающих в природных и в технических системах, составляют, опираясь на физические законы, дифференциальные уравнения. Так, в частности, приходится поступать при исследовании функционирования автоматических систем; работы судовых энергетических комплексов, электрических агрегатов, судовых вспомогательных механизмов, систем навигации и т.д. В ряде случаев эти уравнения допускают линеаризацию и могут быть записаны в виде:

,

где y(t) – неизвестная функция, a₀, a₁. a_n – постоянные коэффициенты, а j(x) – некоторая известная функция независимого аргумента t, которая обычно выражает внешнее воздействие, оказываемое на систему.

1. Цель контрольной работы

Приобретение навыков алгоритмизации и программирования задач численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с последующим моделированием результатов на персональном компьютере и представлением их в виде таблиц и графиков.

В результате выполнения контрольной работы студент обязан:

1. Научиться решать линейные дифференциальные уравнения численными и символьными методами в рамках пакета компьютерной математики MathCAD.

2. Ознакомиться с основными алгоритмами существующих компьютерных методов.

3. Определить точность этих методов путем сравнения результатов, получаемых путем приближенного и аналитического решений.

2. Аналитические методы

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка – неизвестная функция y(t) – содержит n произвольных постоянных. Их можно определить, зная начальные условия, накладываемые на неизвестную функцию и на ее производные вплоть до (n-1)-порядка включительно. Аналитически (в символьном виде) такие уравнения решают классическим и операционным методами.

2.1 Классический метод

В ограниченном числе случаев вида левой части (1) допускает такое преобразование, которое позволяет найти решение путем непосредственного интегрирования, однако в общем случае порядок решения – иной.

Решение неоднородного дифференциального уравнения (с ненулевой правой частью) является суммой общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения y₁(t) и частного решения y₂(t) неоднородного дифференциального уравнения (1).

Решение однородного уравнения ищем в виде: . Подстановка его в дифференциальное уравнение приводит к характеристическому алгебраическому уравнению n-ного порядка:

,

которое имеет n корней – . В частном случае отсутствия кратных корней общее решение может быть записано в виде:

,

где С_i – произвольные постоянные, которые находятся из начальных условий.

Имеются правила, позволяющие определить вид y₂(t) частного решения в зависимости от вида правой части – функции j(t). Последующая подстановка общего решения в исходное дифференциальное уравнение позволяет найти неопределенные константы C_i в выражении для y₁(t).

«Классический» метод анализа процессов в настоящее время используется только в случае простейших систем, поскольку необходимость нахождения частного решения часто приводит к сложным преобразованиям, а также, кроме решения характеристического уравнения дополнительно необходимо составить и решить n уравнений для определения постоянных интегрирования.

2.2 Метод операционного исчисления

Суть метода состоит в проведении интегрального преобразования Лапласа функции, входящей в состав дифференциального уравнения, по правилу:

,

где s = a+ j×b – комплексная переменная величина.

Это преобразование сопоставляет функции действительного переменного функцию комплексного переменного. При этом для линейных дифференциальных уравнений существует изоморфизм (взаимно-однозначное соответствие) между функциями-оригиналами, входящими в уравнение, и их изображениями (образами Лапласа).

Преобразование Лапласа можно выполнить, используя блок символьных вычислений MathCAD. Этот же блок позволяет выполнить и обратное преобразование Лапласа, в соответствии с соотношением:

,

где , т. е. интегрирование проводится по прямой, лежащей в плоскости комплексного переменного s и проходящей параллельно мнимой оси jw на расстоянии s от нее, при этом Лаплас образ Y(s) должен иметь особенности слева от этой линии.

Преобразование Лапласа сводит дифференцирование функции оригинала к умножению ее образа на комплексную переменную s, поэтому решение дифференциального уравнения в пространстве оригиналов сводится к решению алгебраического уравнения в пространстве изображений.

Порядок решения дифференциального уравнения с помощью операционного исчисления представляется следующим:

— выполняя преобразование Лапласа левой и правой части дифференциального уравнения, учитываем начальные условия и переходим от дифференциального уравнения для функции оригинала y(t) к алгебраическому уравнению для Лаплас образа – Y(s) ;

— решая алгебраическое уравнение, находим в пространстве изображений в явном виде выражение для Y(s);

— выполняя обратное преобразование мы находим неизвестную функцию y(t).

Все этапы этой процедуры могут быть автоматизированы и выполнены в рамках пакета MathCAD (пример 1).

Следует заметить, что пакет MathCAD далеко не всегда способен выполнить в символьной форме результат обратного Лаплас преобразования. Дело в том, что в блок символьных преобразований пакета заложены правила выполнения данной процедуры для выражений записанных в виде элементарных дробей. Поэтому Лаплас образ предварительно разлагается на элементарные дроби. Однако, если корни полинома в знаменателе представляются в виде комбинации сложных радикалов, то MathCAD «отказывается» работать. В этом случае ему необходимо «помочь» врукопашную выполнив разложения полинома в знаменателе в соответствии с соотношением:

,

где s₁, s₂,…s_n – корни уравнения . В примере 1 рассмотрено выполнение обратного преобразования Лапласа и для такого случая.

Рассмотренная методика нахождения аналитического решения дифференциальных уравнений может быть распространена на задачу решения системы дифференциальных уравнений. В этом случае необходимо решить не одно алгебраическое уравнение для Лаплас-образов, а систему алгебраических уравнений с помощью той же процедуры блока решений Given – Find. Отметим, что в отличие от систем компьютерной математики Mathematica 2.2.2 и Maple V R3/R4, которые легко позволяют аналитически решить линейное дифференциальное уравнение с помощью встроенных средств. Система MathCAD предполагает «ручные процедуры» запуска прямого преобразования Лапласа, составления по его результатам алгебраического уравнения и, после его решения, запуска процедуры обратного преобразования Лапласа.

Методы решения дифференциальных уравнений на эвм

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у’)=0 или у’=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у’=f(x,y).

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

Численное решение математических моделей объектов заданных системами дифференциальных уравнений

Введение:

При математическом моделировании ряда технических устройств используются системы дифференциальных нелинейных уравнений. Такие модели используются не только в технике, они находят применение в экономике, химии, биологии, медицине, управлении.

Исследование функционирования таких устройств требуют решения указанных систем уравнений. Поскольку основная часть таких уравнений являются нелинейными и нестационарными, часто невозможно получить их аналитическое решение.

Возникает необходимость использовать численные методы, наиболее известным из которых является метод Рунге — Кутты [1]. Что касается Python, то в публикациях по численным методам, например [2,3], данных по применение Рунге — Кутты крайне мало, а по его модификации — методу Рунге-Кутта-Фельберга вообще нет.

В настоящее время, благодаря простому интерфейсу, наибольшее распространение в Python имеет функцию odeint из модуля scipy.integrate. Вторая функция ode из этого модуля реализует несколько методов, в том числе и упомянутый пятиранговый метод Рунге-Кутта-Фельберга, но, вследствие универсальности, имеет ограниченное быстродействие.

Целью настоящей публикации является сравнительный анализ перечисленных средств численного решения систем дифференциальных уравнений с модифицированным автором под Python методом Рунге-Кутта-Фельберга. В публикации так же приведены решения по краевым задачам для систем дифференциальных уравнений (СДУ).

Краткие теоретические и фактические данные по рассматриваемым методам и программным средствам для численного решения СДУ

Для одного дифференциального уравнения n – го порядка, задача Коши состоит в нахождении функции, удовлетворяющей равенству:

и начальным условиям

Перед решением эта задача должна быть переписана в виде следующей СДУ

(1)

с начальными условиями

Модуль имеет две функции ode() и odeint(), предназначенные для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с начальными условиями в одной точке (задача Коши). Функция ode() более универсальная, а функция odeint() (ODE integrator) имеет более простой интерфейс и хорошо решает большинство задач.

Функция odeint() имеет три обязательных аргумента и много опций. Она имеет следующий формат odeint(func, y0, t[,args=(), . ]) Аргумент func – это имя Python функции двух переменных, первой из которых является список y=[y1,y2. yn], а второй – имя независимой переменной.

Функция func должна возвращать список из n значений функций при заданном значении независимого аргумента t. Фактически функция func(y,t) реализует вычисление правых частей системы (1).

Второй аргумент y0 функции odeint() является массивом (или списком) начальных значений при t=t0.

Третий аргумент является массивом моментов времени, в которые вы хотите получить решение задачи. При этом первый элемент этого массива рассматривается как t0.

Функция odeint() возвращает массив размера len(t) x len(y0). Функция odeint() имеет много опций, управляющих ее работой. Опции rtol (относительная погрешность) и atol (абсолютная погрешность) определяют погрешность вычислений ei для каждого значения yi по формуле

Они могут быть векторами или скалярами. По умолчанию

Вторая функция модуля scipy.integrate, которая предназначена для решения дифференциальных уравнений и систем, называется ode(). Она создает объект ОДУ (тип scipy.integrate._ode.ode). Имея ссылку на такой объект, для решения дифференциальных уравнений следует использовать его методы. Аналогично функции odeint(), функция ode(func) предполагает приведение задачи к системе дифференциальных уравнений вида (1) и использовании ее функции правых частей.

Отличие только в том, что функция правых частей func(t,y) первым аргументом принимает независимую переменную, а вторым – список значений искомых функций. Например, следующая последовательность инструкций создает объект ODE, представляющий задачу Коши.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

При численном решении задачи Коши

(2)

(3)

по известному решению в точке t =0 необходимо найти из уравнения (3) решение при других t. При численном решении задачи (2),(3) будем использовать равномерную, для простоты, сетку по переменной t с шагом т > 0.

Приближенное решение задачи (2), (3) в точке обозначим . Метод сходится в точке если при . Метод имеет р-й порядок точности, если , р > 0 при . Простейшая разностная схема для приближенного решения задачи (2),(3) есть

(4)

При имеем явный метод и в этом случае разностная схема аппроксимирует уравнение (2) с первым порядком. Симметричная схема в (4) имеет второй порядок аппроксимации. Эта схема относится к классу неявных — для определения приближенного решения на новом слое необходимо решать нелинейную задачу.

Явные схемы второго и более высокого порядка аппроксимации удобно строить, ориентируясь на метод предиктор-корректор. На этапе предиктора (предсказания) используется явная схема

(5)

а на этапе корректора (уточнения) — схема

В одношаговых методах Рунге—Кутта идеи предиктора-корректора реализуются наиболее полно. Этот метод записывается в общем виде:

(6),

Формула (6) основана на s вычислениях функции f и называется s-стадийной. Если при имеем явный метод Рунге—Кутта. Если при j>1 и то определяется неявно из уравнения:

(7)

О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном. Параметры определяют вариант метода Рунге—Кутта. Используется следующее представление метода (таблица Бутчера)

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге—Кутта четвертого порядка

(8)

Метод Рунге—Кутта— Фельберга

Привожу значение расчётных коэффициентов метода

(9)

С учётом(9) общее решение имеет вид:

(10)

Это решение обеспечивает пятый порядок точности, остаётся его адаптировать к Python.

Вычислительный эксперимент по определению абсолютной погрешности численного решения нелинейного дифференциального уравнения с использованием обеих функций def odein(),def oden() модуля scipy.integrate и адаптированного к Python методов Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга

Адаптированные к Python методы Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга имеют меньшую абсолютную, чем решение с применением функции odeint, но большую, чем с использованием функции edu. Необходимо провести исследование быстродействия.

Численный эксперимент по сравнению быстродействия численного решения СДУ при использовании функции ode с атрибутом dopri5 (метод Рунге – Кутты 5 порядка) и с использованием адаптированного к Python метода Рунге—Кутта— Фельберга

Сравнительный анализ проведём на примере модельной задачи, приведенной в [2]. Чтобы не повторять источник, приведу постановку и решение модельной задачи из [2].

Решим задачу Коши, описывающую движение тела, брошенного с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. В векторной форме уравнение движения имеет вид

где – радиус вектор движущегося тела, – вектор скорости тела, – коэффициент сопротивления, вектор силы веса тела массы m, g – ускорение свободного падения.

Особенность этой задачи состоит в том, что движение заканчивается в заранее неизвестный момент времени, когда тело падает на землю. Если обозначить , то в координатной форме мы имеем систему уравнений:

К системе следует добавить начальные условия: (h начальная высота), . Положим . Тогда соответствующая система ОДУ 1 – го порядка примет вид:

Для модельной задачи положим . Опуская довольно обширное описание программы, приведу только листинг из комментариев к которому, думаю, будет ясен принцип её работы. В программу добавлен отсчёт времени работы для сравнительного анализа.

Flight time = 1.2316 Distance = 5.9829 Height =1.8542
Flight time = 1.1016 Distance = 4.3830 Height =1.5088
Flight time = 1.0197 Distance = 3.5265 Height =1.2912
Flight time = 0.9068 Distance = 2.5842 Height =1.0240
Время на модельную задачу: 0.454787

Для реализации средствами Python численного решения СДУ без использования специальных модулей, мною была предложена и исследована следующая функция:

def increment(f, t, y, tau
k1=tau*f(t,y)
k2=tau*f(t+(1/4)*tau,y+(1/4)*k1)
k3 =tau *f(t+(3/8)*tau,y+(3/32)*k1+(9/32)*k2)
k4=tau*f(t+(12/13)*tau,y+(1932/2197)*k1-(7200/2197)*k2+(7296/2197)*k3)
k5=tau*f(t+tau,y+(439/216)*k1-8*k2+(3680/513)*k3 -(845/4104)*k4)
k6=tau*f(t+(1/2)*tau,y-(8/27)*k1+2*k2-(3544/2565)*k3 +(1859/4104)*k4-(11/40)*k5)
return (16/135)*k1+(6656/12825)*k3+(28561/56430)*k4-(9/50)*k5+(2/55)*k6

Функция increment(f, t, y, tau) обеспечивает пятый порядок численного метода решения. Остальные особенности программы можно посмотреть в следующем листинге:

Время на модельную задачу: 0.259927

Предложенная программная реализация модельной задачи без использования специальных модулей имеет почти в двое большее быстродействие, чем с функцией ode, однако нельзя забывать, что ode имеет более высокую точность численного решения и возможности выбора метода решения.

Решение краевой задачи с поточно разделёнными краевыми условиями

Приведем пример некоторой конкретной краевой задачи с поточно разделенными краевыми условиями:

(11)

Для решения задачи (11) используем следующий алгоритм:

1. Решаем первые три неоднородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

2. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

3. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

4. Общее решение краевой задачи (11) при помощи решений задач Коши записывается в виде линейной комбинации решений:

где p2, p3 — некоторые неизвестные параметры.

5. Для определения параметров p2, p3, используем краевые условия последних двух уравнений (11), то есть условия при x = b. Подставляя, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных p2, p3:
(12)
Решая (12), получим соотношения для p2, p3.

По приведенному алгоритму с применением метода Рунге—Кутта—Фельберга получим следующую программу:

y0[0]= 0.0
y1[0]= 1.0
y2[0]= 0.7156448588231397
y3[0]= 1.324566562303714
y0[N-1]= 0.9900000000000007
y1[N-1]= 0.1747719838716767
y2[N-1]= 0.8
y3[N-1]= 0.5000000000000001
Время на модельную задачу: 0.070878

Вывод

Разработанная мною программа отличается от приведенной в [3] меньшей погрешностью, что подтверждает приведенный в начале статьи сравнительный анализ функции odeint с реализованным на Python метода Рунге—Кутта—Фельберга.

3. Н.М. Полякова, Е.В. Ширяева Python 3. Создание графического интерфейса пользователя (на примере решения методом пристрелки краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений). Ростов-на-Дону 2017.