Методы решения функциональных уравнений и неравенств 11 класс

Дидактическое пособие для учащихся по математике : Функциональный метод решения уравнений.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Пособие для учащихся 11 классов при повторении темы:»Функциональный метод решения уравнений».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа» пгт. Кожва

Применение свойств функции при решении уравнений

(практическое пособие для учащихся старших классов)

Пособие составила Бритвак Г.А.

Цель данной работы – помощь учащимся при подготовке к итоговому экзамену по математике за курс средней школы. В небольшом сборнике разобран функциональный метод решения уравнений. Указаны основные теоремы, на которые опирается данный метод решения. Разобраны 15 различных примеров, предложены задачи для самостоятельного решения и закрепления материала. Пособие предназначено для учащихся старших классов для самостоятельного решения, но может быть использовано для факультативных занятий по данной теме.

1 ..Использование области определения и области значений функции.

б. Задачи для самостоятельного решения.

в). Ответы к задачам для самостоятельного решения.

2 .Сойство ограниченности или метод оценки.

б). Задачи для самостоятельного решения.

в). Ответы к задачам для самостоятельного решения.

3 . Свойство монотонности функции.

б). Задачи для самостоятельного решения.

в). Ответы к задачам для самостоятельного решения.

5. Список использованной литературы.

Школьный курс математики предполагает обучение учащихся различным методам решения уравнений. Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений, но и теми «нестандартными», которые будут рассмотрены.

Как правило, суть нестандартных методов – реализовать другой взгляд на задачу, что позволяет, не выходя за рамки школьной программы , существенно упростить решение некоторых задач, применяя хорошо известные утверждения , но в ситуациях, где ими пользуются довольно редко.

Одним из таких методов является функциональный, основанный на использовании таких свойств функций, как ограниченность, монотонность, периодичность и др. Этот метод, в отличие от графического, позволяет находить точные корни уравнений, при этом не требуется построение графиков функций.

Использование свойств функций позволяет рационализировать решения, сложных на первый взгляд, уравнений. В данной работе будут рассмотрены применение трех свойств :

Необходимость данной работы заключается в том, что в базовом учебнике данная тема представлена небольшим количеством упражнений в главе 10 § 56, что недостаточно при подготовке к ЕГЭ для ребят, поступающих в технические ВУЗы с высокими проходными баллами. При изучении функций в течение всего курса 7-11 рассматриваются лишь простейшие задачи на применение данных свойств. Поэтому данный материал можно использовать как на уроках, так и на факультативных занятиях как дополнительный, поскольку на уроки повторения по методам решения уравнений выделяется всего 3 часа, что недостаточно для рассмотрения данной темы.

Использование понятия области определения функции

и области значений функции.

Иногда при решении уравнения необходимо исследовать области определения и области значения функции. Рассматривается метод, когда при рассмотрении уравнения или неравенства выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел .

Областью определения функции у=f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Областью значений функции у=f(x) называется множество значений переменной у при допустимых значениях переменной х.

а). Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить уравнение.

ОДЗ: решений нет.

Решение. Найдем пересечение областей определения в правой и левой частях уравнения: D ( ) = , D(х 2 + х – 6) = ( ; ). Пересечением областей является промежуток . Т.к. левая часть уравнения неотрицательна, то и левая часть тоже должна быть неотрицательна, т.е. х 2 + х – 6 0.

Решением этого неравенства является множество ( — ; — ; + ). Значит уравнение достаточно рассмотреть на множестве . Подстановкой убеждаемся, что оба числа служат решением уравнения.

Пример 2 . Решить уравнение — = 1

Заметим, что х ≥ 0 и 0, значит, х х + и . Поэтому равенство — = 1 невозможно.

Ответ: нет корней.

Пример 3. Решить уравнение = .

Решение. 1. ≥ – иначе левая часть уравнения не определена.

0 – т.к. левая часть уравнения неотрицательна.

Пример 4. Решить уравнение :

+ 0, значит, решений нет.

ОДЗ : + ,значит решений нет.

Левая часть уравнения принимает только положительные значения, а правая часть только отрицательные значения ( а = -2, D = 36 – 72 0).

Множества значений левой и правой частей не имеют общих элементов, значит исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 5 . + = х – 2.

Решение . 4 — 4х + х 2 = (х – 2) 2 , получим | х – 2 | + = х – 2.

Т.к. левая часть уравнения неотрицательна, то х – 2 0, х , значит | х – 2 | = х – 2.

х – 2 + = х – 2, = 0, х 1 = 1 , х 2 = 4.

Т.к. х , корнем уравнения является х = 4.

в). Задачи для самостоятельного решения : решить уравнения, либо доказать, что уравнения не имеют решений.

2. 2х 2 – 3х — 5| + = 0

9. arcsin (x+2) + = х – 2

3. х 2 – 2х | + | = 0

16. х 2 – 2х | + = 0

17. Sin 2 + + х)) 2 = 0.

Ответы: 1.Ø ; 2. Ø ; 3. Ø ; 4. Ø ; 5. Ø ; 6. Ø ; 7. Ø ; 8. Ø ; 9. Ø ; 10.1; 11. 0;

12. – 0,5; 13. Ø; 14. Ø ; 15. 4,25 ; 16. 2 ; 17. -1.

2. Свойство ограниченности или метод оценки.

Иногда уравнение (неравенство) устроено так, что левая и правая части представляют из себя ограниченные функции. В этом случае можно (а иногда и единственно возможно) применить метод «оценивания» правой и левой частей. Особенно этот метод полезен при решении так называемых «смешанных» уравнений и неравенств. Метод оценки основывается на утверждении: если некоторое число n является наибольшим значением функции f(x) и одновременно наименьшим значением функции g(x), то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе двух уравнений

Теорема 1. Если f(x) А и g(x) А, то f(x) = g(x)

Решение. Выделим полные квадраты под корнем, получим +

Т.к. + 5 и 5 – ( х + 1 ) 2 5, то данное уравнение равносильно системе уравнений х = — 1.

Пример 7. Cos + = 2.

Решение . Т.к. . | Cos | и | | ≤ 1 , то исходное уравнение Cos + = 2 равносильно системе уравнений

Решением первого уравнения является х = 2 к , к Z, а решением второго = 2 n , х = 4 2 n 2 , где n Z, n 0.

Следовательно, 2 к = 4 2 n 2 , откуда к = 2 n 2 . Т.к. – иррациональное число, то равенство возможно при n = k = 0. Значит х=0 – единственное решение исходного уравнения.

Решение. Оценим левую часть уравнения.

Х 2 ≥ 0; Х 2 + 9 ≥ 9; ≥ ; ≥ 2.

Оценим правую часть уравнения.

|х| ≥ 0; — | х | ≤ 0; 4 — |х| ≤ 4; ≤ 2.

Равенство возможно, если обе части равны 2.

Решим систему: Х=0.

Пример 9 . arcсos (х – 1) = 3 + .

Решение. По определению 0 ≤ arcсos (х – 1) ≤ для допустимых значений х, следовательно , 0 ≤ arcсos (х – 1) 3.

3 + 3 для допустимых значений х. Равенство достигается , если

Решим первое уравнение системы: arcсos (х – 1)= , х – 1 = — 1, х = 0.

При х = 0 второе уравнение обращается в верное числовое равенство. Значит х = 0 решение системы и уравнения.

Пример 10 . 25 х 2 + 60х + 39 = ( – cos )( ( + cos ).

Решение. 25 х 2 + 60х + 39 = 3 – (cos ) 2 .

Графиком функции f(x) = 25 х 2 + 60х + 39 является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке : (- ; 3), значит f(x) ≥ 3.

g(x) = 3 – (cos ) 2 , 0 ≤ (cos ) 2 1 , 2 3 — (cos ) 2 3.

Равенство достигается , если

Из первого уравнения системы имеем х = — . Подстановкой во второе уравнение системы убеждаемся, что х = — является решением системы.

б). Задачи для самостоятельного решения.

4 х 2 – 25 2 | + 17

2 + 12х + 12 = ( sin + )( — sin ).

в). : 1. -3; 2. – 1; 3. ; 4. Ø; 5. 6. -1,5.

Теорема 2. Пусть у= f(x) – функция, возрастающая ( убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение f(x) = а имеет на промежутке I не более одного корня .

Теорема 3. Пусть у= f(x) – функция, возрастающая на некотором промежутке I. А функция y = g(x) – убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке I не более одного корня.

Решение . Функция f(x) = — возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций у 1 = и у 2 = — .

Значит уравнение f(x) = 2 имеет не более одного корня. Проверкой убеждаемся, что f(1) = 0.

Пример 12. х 2 – 2х + 2 = — .

Решение. Перепишем уравнение в виде : х 2 – 2х + 2 = .

Функция у = убывает на промежутке ; + ∞ ), а у = х 2 – 2х + 2 возрастает на этом промежутке, поскольку ветви соответствующей параболы направлены вверх, а вершина х 0 = 1.

Число 2 – корень уравнения.

Разделим обе части на . Получим ( +( = 1. Левая часть уравнения является убывающей функцией, значит, она может принимать значение 1 не более чем в одной точке (Т.2). Подбором находим, что х = 2.

Пример 14. х 2 + = 18.

1. ОДЗ уравнения : х ≤ 0.

2. Функция у(х) = х 2 + убывает на промежутке ( — ; 0], а g(x) = 18 – постоянная функция.

Подбором находим, что х = — 4.

По Т.2 х=-4 — единственный.

Задачи для самостоятельного решения .

1. = 4 – х
2. = х – 1.
3. х 2 + х| +2х = 30
4. + + = 9
5. + )( – 3) = 4
6. 0,25 х+4 =
7. = 0,25 х – 35
8. = 21 +
9. (х+3) 2 + (х+5) 2 = 16

Ответ: 1. 1; 2. 3; 3. -2; 4. 4; 5. 3; 6. 7; 7 . -5; 8. -2,5; 9. 5. 10. -5; -3.

Урок по теме «Решение показательных уравнений и неравенств». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Тема: Математический марафон. Решение показательных уравнений и неравенств. (Слайд 1)

(Учебник под редакцией А. Н. Колмогорова, базовый уровень)

Цели урока:

• образовательная цель – рассмотреть способы решения показательных уравнений и неравенств; подготовка к ЕГЭ – решать показательные уравнения, включенные в «Открытый банк заданий по математике»;
• развивающая цель – способствовать выработке навыков решения показательных уравнений и неравенств, навыков самостоятельной работы
• воспитательная цель – способствовать воспитанию чувства ответственности, организованности, формирование умений работать в команде.

Тип урока: обобщение и систематизации знаний.

Форма проведения: групповая.

Оборудование: оценочные листы, карточки с самостоятельной работой, компьютер, проектор, презентация (Приложение 1).

Девиз: «Лучше думать перед тем, как действовать, чем после» Демокрит. (Заранее на доске)

Ход урока

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая, сделать его немного занимательным» Паскаль.

I. Организационный момент. Сообщение темы, постановка цели, сообщение этапов урока.

Сегодня мы и будем продолжать закреплять умения решать показательные уравнения и неравенства, включенные в «Открытый банк заданий по математике». Задания с использованием показательных функций и уравнений встречаются во всех вариантах ЕГЭ. Таких заданий всегда не менее 2 разделе В (В5, В13), не менее одного в разделе С (причем это часто С3, т.е. вполне доступное многим школьникам задание, а также С5 наиболее сложное задание повышенной трудности). Показательное уравнение в разделе С – это верный шанс на «пятерку». Следует заметить, что число заданий на эту тему остается практически постоянным. Поэтому вы должны иметь четкое представление о том, что все показательные уравнения, какой бы степени сложности они ни были, решаются по единым алгоритмам. Их немного: всего пять. Если их освоить, то решение показательного уравнения или неравенства из раздела С становятся вполне посильной задачей для многих в вашем классе. Мы знаем, что правильно выбранный метод, часто позволяет существенно упростить решение. Поэтому все изученные методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.

Урок проведем в форме игры «Математический марафон». [2] Знаете ли вы, что такое марафон? Это дисциплина легкой атлетики, представляющий собой забег на определенную дистанцию (около 42 км). Чтобы пробежать такое расстояние, спортсмену необходимы хорошие физические данные. Сегодня мы тоже проведем марафон, но марафон математический. Чтобы его преодолеть, вам понадобиться сила воли, упорство в достижении цели и, конечно, ваши знания. В марафоне участвуют три команды. На старт, внимание марш!

Пояснение. Участники «марафона» получают индивидуальный номер члена своей команды. За верные ответы им выдают жетоны, имитирующие электронные чипы спортсменов. Команда, набравшая максимальное число баллов, является победителем «марафона»).

(Слайд 2) «Уравнения будут существовать вечно» Энштейн.

I. Актуализация знаний учащихся.

I этап: «Старт дан!»

Начало марафона – очень важный этап. От того, какой тем вы возьмете, зависят ваши результаты.

1) Устная работа. (Задания трем командам предлагают по очереди)

1. (Слайд 4) Какая функция называется показательной?

Ответ: Функция, заданная формулой у = ах (где а>0, а ≠ 1), называется показательной функцией с основанием а

2. (Слайд 6) Перечислите основные свойства показательной функции.

Ответ: Область определения показательной функции – множество всех действительных чисел.

– Область значений показательной функции – множество всех положительных действительных чисел.

– При а>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 1 и 0 19.04.2013

Конспект урока математики 11 класс по теме» Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.

создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»;

активизировать деятельность учащихся по применению комплекса знаний и умений на практике; подготовка к ЕГЭ.

развивать способности применять теоретические знания на практике;

развивать навыки работы с тестовыми заданиями;

развивать навыки самоконтроля , логическое мышление, память, внимание.

воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Оборудование урока: презентация, компьютер, проектор, интерактивная доска, карточки с тестовыми заданиями, диагностические карты.

Организация начала урока ( Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ).

Девиз сегодняшнего урока: “Нельзя изучать математику глядя на то, как это делает сосед”.

Только свой труд в изучении математики может принести результаты. Перед нами стоит задача: повторить типы, методы и особенности решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств и применить их на практике.

Наши знания должны работать и дать положительный результат на экзамене. Сегодня каждый из вас проведет диагностику своих знаний по данной теме, для этого у каждого диагностические карты, в которых вы оцените свои знания и возможности по каждому из разделов. В соответствии с этой оценкой на индивидуальных консультациях мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.

Актуализация знаний учащихся

а) Показательные уравнения и неравенства и методы их решения (Приложение 1).

б) Логарифмические уравнения и неравенства и методы их решения (Приложение 2)

Комплексное применение знаний на практике.

1. Применение теоретического материала к решению задач.

Одновременно у доски работают двое учащихся. Один решает показательное уравнение и неравенство, второй логарифмическое уравнение и неравенство.

а)

б)

а) 49 x -8 ∙ 7 x + 7 = 0

б)

1. Т естовая работа

Оцените свои умения решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. У каждого из вас есть индивидуальная карточка с тестовыми заданиями. Шесть заданий этого теста взяты из открытого банка заданий по математике ( http://mathege.ru ) и являются прототипами задания В5 ЕГЭ. Ответы записывайте в специальных полях и обращайте внимание на образец написания цифр. На выполнение теста отводим 15 минут. По окончании вы в соответствии оцениваете свою работу и выставляете соответствующую отметку в диагностическую карту.

Критерии оценивания: 8 заданий – «5»; 6,7 заданий – «4»; 4, 5 заданий – «3» и менее 4 заданий –«2».

В1. Найдите корень уравнения

В2. найдите корень уравнения

В3. Найдите корень уравнения

В4. Найдите корень уравнения

В5 Найдите корень уравнения

В6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них

В1. Найдите корень уравнения

В2. Найдите корень уравнения

64

В3. Найдите корень уравнения

В4. Найдите корень уравнения

В5. Найдите корень уравнения

В6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них

3. Дифференцированная работа в парах (отработка решения заданий 2 части )

Учащимся предлагаются на выбор задания прототипы заданий 13 и 15.

Двое учащихся выполняют задания у доски, остальные работают на местах .

Затем производим проверку решения.

13. Решите уравнение

ОДЗ: или

№ 15. решите неравенство

Подведение итогов урока.

Учащиеся по диагностическим картам подсчитывают средний балл и выставляют себе оценку за урок. Диагностические карты сдают руководителю группы, а он учителю.

Домашнее задание. По учебнику №27.3 (а.б), №27.9(а,б)

Задания на индивидуальных карточках (задания уровня 13 и 15)

Учащиеся заполняют таблицу. Они должны подчеркнуть соответствующее слово. Далее некоторые высказывают свое мнение об уроке.

Мордкович А.Г., Л.О. Денищева., и др.« Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных организаций(базовый и углубленный уровень)

Корянов А. Г., Прокофьев А. А. «Математика ЕГЭ – 2011 (типовые задания С – 3) . Методы решения неравенств с одной переменной»

Шестаков С. А., Захаров П. И. «Математика задача №13».

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 583 931 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

§ 27. Общие методы решения уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 07.07.2020
• 134
• 0

• 14.06.2020
• 106
• 5

• 12.06.2020
• 130
• 2

• 02.06.2020
• 155
• 11

• 01.06.2020
• 485
• 32

• 25.03.2020
• 214
• 2

• 27.12.2019
• 314
• 14

• 27.11.2019
• 223
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.07.2020 217
• DOCX 802 кбайт
• 6 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Абдрашитова Рита Сайфулловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 1461
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.