Методы решения интегральных уравнений фредгольма первого рода

Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода

На правах рукописи

Каденова Зууракан Ажимаматовна

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА

01.01.02 –дифференциальные уравнения

на соискание ученой степени кандидата

Новосибирск, Ош – 2006

Работа выполнена в Ошском технологическом университете

доктор физико-математических наук, профессор Асанов Авыт

доктор физико-математических наук,

Институт математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург)

Защита состоится «_19_» _декабря_2006 г. в 16-00 на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу:

Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан «____» __________2006 г.

Общая характеристика работы

Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов регуляризации и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Актуальность работы. Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, принадлежат к классу некорректно поставленных задач. Один из классов таких некорректных задач составляют интегральные уравнения Фредгольма первого рода.

Новое понятие корректности в работах [6], [4] и [3], отличное от классического, дало средство для исследования некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.

К ним приводится большое число прикладных задач, в том числе, задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, используются решения, получаемые методом регуляризации.

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Цель работы. Построение регуляризирующих операторов для решения интегральных уравнений и систем уравнений Фредгольма первого рода, доказательство теорем единственности и получение оценки устойчивости для таких уравнений в разных семействах множеств корректностей.

— Доказаны теоремы единственности интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

— Построены регуляризирующие уравнения в пространстве .

— Получены оценки устойчивости в разных семействах множеств корректностей.

— С помощью разложения в ряд Фурье ядра интегрального уравнения Фредгольма первого рода типа свертки доказана теорема единственности и построены регуляризирующие операторы в пространстве .

Методы исследования. Для получения сформулированных в диссертации результатов используются методы функционального анализа и метод Фурье.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Их достоверность устанавливается доказательствами, иллюстрируются примерами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные теоретические результаты могут быть применены в различных областях науки и техники.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международных и российских конференциях: Международная научная конференция «Проблемы математики и информатики в XXI веке», г. Бишкек (2000), Международная конференция «Актуальные проблемы современной науки», г. Самара (2004), Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара (2004).

Результаты диссертации доложены также на семинарах: Ошского технологического университета «Проблемы и задачи математики» под руководством д. ф.-м. н., профессора (2004), Ульяновского государственного университета (семинар Ульяновского филиала Средневолжского математического общества) под руководством д. ф.-м. н., профессора (2004), Института гидродинамики им. СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» под руководством академика , чл.-корр. РАН (2005) , Института математики им. СО РАН «Условно-корректные задачи» под руководством академика (2005).

Материалы диссертации опубликованы в следующих изданиях:

1. Об одном классе интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Труды межд. научно-практ. конф.: «Проблемы образования, науки и культуры в начале XXI века». Вестник ОшГУ, серия ф-м. н.-Ош: Билим, 2001.-№4.-С.59-67.

2. Об одном классе систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.-Бишкек: Илим, 2002.- Вып.31.- С.172-182.

3. О единственности решения для одного класса интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: СамГТУ, 2004.-Ч.3.-С.122-126.

4. О единственности решения для одного класса линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода типа свертки. // Труды межд. научной конф.- «Проблемы математики и информатики в ХХI веке».- Бишкек: КГНУ. 2000.- Вестник КГНУ.-Вып.4.-С.123-127.

5. Каденова уравнение Фредгольма первого рода типа свертки с двумя независимыми переменными. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.- Бишкек: Илим, 2000.-Вып.-29.-С.143-147.

6. О единственности решения для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды межд. научн.-теортической конф. «Проблемы экономики, мат.-мод. и авт. инф. процессов»-Ош: Вестник ОшГУ.-2003.-Вып.№7.-С.75-79.

7. О единственности решений систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». — Самара: СамГТУ.-2004.-Ч.1,2.-С.61-66.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы и списка литературы.

Работа изложена на 93 страницах машинописного текста. Перечень литературы содержит 81 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д. ф.-м. н., профессору А. Асанову за постановку задач и внимание к работе.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор литературы, изложено краткое содержание диссертационной работы.

В первой главе изучаются вопросы регуляризации и единственности решения линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

В §1.1. рассматривается линейное интегральное уравнение вида

, (1)

(2)

данные функции, искомая функция. С помощью метода, примененного в работе [1], доказывается теорема единственности решения уравнения (1) в классе .

Введём новую функцию следующим образом

(3)

, (4)

где характеристические числа ядра , расположенные в порядке возрастания их модуля, исоответствующие ортонормированные собственные функции.

Теорема 1.1.1. Пусть — полное ядро и . Тогда решение уравнения (1) в пространстве единственно.

При доказательстве единственности решения уравнения (1) рассматриваются вопросы о регуляризации решения и построении регуляризирующих уравнений в пространстве .

Случай 1. Семейство множеств корректностей , зависящее от параметра ,

где .

Будем предполагать, что . Тогда уравнение (1) имеет решение и справедлива оценка

. (5)

Таким образом доказана

Теорема 1.1.2. Пусть ядро положительно определено,

— образ при отображении . Тогда на множестве оператор , обратный к K, равномерно непрерывен с гёльдеровым показателем , т. е. справедливо (5).

При этом решение уравнения

(6)

будет регуляризирующим для уравнения (1) на множестве .

Если — решение уравнения (1), то получена оценка

. (7)

Таким образом, доказана

Теорема 1.1.3. Пусть ядро положительно определено, , — решения уравнения (1) решение уравнения (6). Тогда справедлива оценка (7).

Замечание. Если , то в силу неравенства

можно улучшить оценку (7), тогда при получим:

Случай 2. Будем считать, что ядро положительно определено. Семейство множеств корректностей выделено следующим образом:

где

Предположим, что . Тогда уравнение (1) имеет решение и справедлива оценка

. (8)

Таким образом, доказана

Теорема 1.1.4. Пусть ядро положительно определено, — образ при отображении . Тогда на множестве существует равномерно непрерывный оператор , обратный к K, т. е. справедлива оценка (8).