Методы решения квадратных уравнений алгебра 8 класс

Факультативный курс по алгебре в 8 классе «Методы решения квадратных уравнений»
элективный курс по алгебре (8 класс) на тему

Данный факультатив по математике для учащихся 8-ого класса относится к группе факультативов, которые предназначены как для дополнения знаний учащихся, полученных на уроках, так и для их углубления. В школьной программе рассматриваются подробно пять способов решения квадратных уравнений, а в математической науке их больше. На факультативе школьники знакомятся с новыми способами решения уравнений и заглядывают в будущее, где это может пригодиться. Материал факультатива «Методы решения квадратных уравнений» содержит страницы истории математики, а также теоретические выкладки для способов решения квадратных уравнений, алгоритмы, показано практическое применение решения квадратных уравнений различными способами.

Скачать:

ВложениеРазмер
Факультативный курс по алгебре в 8 классе «Методы решения квадратных уравнений»70.5 КБ

Предварительный просмотр:

Факультативный курс по алгебре в 8 классе «Методы решения квадратных уравнений»

§1. Программа факультативного курса

1. Пояснительная записка

Математика есть часть общего образования, которое признано содействовать гармоническому развитию личности, формировать ее интеллект и должно дать опору в будущей профессиональной деятельности. Среди предметов, формирующих интеллект, вне всякого сомнения, на первом месте находится математика.

Математическое образование должно способствовать тому, чтобы каждый человек:

  • освоил навыки логического и алгоритмического мышления (научился анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, понимать смысл поставленной задачи, схематизировать, отчетливо выражать свои мысли и т.п.), а также развил воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения и т.п.);
  • овладел многими конкретными математическими знаниями, необходимыми для ориентации в окружающем мире и для подготовки к будущей профессиональной деятельности;
  • осознал этические принципы человеческого общежития (интеллектуальную честность, объективность, стремление к постижению истины; эти принципы закладываются и другими предметами, но роль математики в осознании их очень велика и не может быть заменена ничем другим);
  • развил в себе эстетическое восприятие мира (постижение красоты интеллектуальных достижений, идей и концепций, познал радость творческого труда).

Предлагаемый факультативный курс по алгебре в 8-ом классе «Методы решения квадратных уравнений» отвечает вышеизложенным требованиям, предъявляемым к математическому образованию. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся и воспитания у них математической культуры, культуры устной и письменной математической речи. Учащиеся учатся моделировать реально происходящие процессы, т.е. создавать математическую модель задачи, а также находить способы и применять различные методы для решения задачи. Факультативный курс посвящен одной из самых важных тем – «Квадратные уравнения».

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида, которые представляют собой большой и важный класс уравнений.

При решении многих задач на старшей ступени обучения, например, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, приходиться обращаться к нахождению корней квадратного трехчлена, области значений квадратичной функции, разложению квадратного трехчлена на множители, определению знака квадратного трехчлена. В последнее время в материалах итоговой аттестации, ЕГЭ по математике и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения предлагаются уравнения и неравенства второй степени или уравнения и неравенства, сводящиеся к ним.

Данный факультатив по математике для учащихся 8-ого класса относится к группе факультативов, которые предназначены как для дополнения знаний учащихся, полученных на уроках, так и для их углубления. В школьной программе рассматриваются подробно пять способов решения квадратных уравнений, а в математической науке их больше. На факультативе школьники знакомятся с новыми способами решения уравнений и заглядывают в будущее, где это может пригодиться.

К истории математики на уроках обращаемся очень редко, часто учащиеся не знают ученых, которые внесли свой вклад в развитие математической науки. Материал факультатива «Методы решения квадратных уравнений» содержит страницы истории математики, а также теоретические выкладки для способов решения квадратных уравнений, алгоритмы, показано практическое применение решения квадратных уравнений различными способами.

Факультативный курс по алгебре в 8 классе «Методы решения квадратных уравнений» поможет учащимся подготовиться к итоговой аттестации за курс основной школы, оценить свои способности к математике на повышенном уровне и не исключено, что поможет сделать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения. То есть, можно отметить, что данный факультативный курс является курсом обобщения и систематизации знаний учащихся по названной теме, а также пропедевтическим и предпрофильным курсом.

2. Цели и задачи факультативного курса

Главной задачей курса является более широкое и углубленное рассмотрение различных видов квадратных уравнений, выходящих своей сложностью за рамки школьной программы; выработка умения выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений, а также составлять алгоритмы для способов решения квадратных уравнений. Познакомить с историческими сведениями о квадратных уравнениях – задача факультатива.

В ходе изучения названного курса преследуются следующие цели:

  • расширение и углубление знаний и умений учащихся по математике;
  • развитие способностей и интересов учащихся;
  • развитие математического мышления;
  • формирование активного познавательного интереса к предмету;
  • обучение самостоятельному анализу учебной деятельности;
  • формирование коммуникативных навыков и волевых качеств личности.

В результате изучения курса учащиеся должны:

  • научиться решать квадратное уравнение различными способами;
  • правильно применять основные понятия при решении задач;
  • уметь работать с дополнительной литературой;
  • создавать алгоритм и действовать по нему;
  • закрепить навык индивидуальной работы, работы в группах.

Кроме того, одна из главных задач факультатива в том, чтобы довести требования обязательных результатов до сознания каждого ученика. С этой целью необходимо использовать разнообразные формы и методы обучения.

3. Методические рекомендации

Перед учителем математики стоит задача – так управлять учебной деятельностью, чтобы помочь учащимся как можно полнее проявить свои способности, развить самостоятельность, инициативу, творческий потенциал.

Материал подобран таким образом, чтобы в нем реализовались задачи курса. В начале каждой темы рассматривается необходимый теоретический материал. Имеется достаточное количество упражнений различной сложности, есть задания для самостоятельной работы.

При проведении занятий планируется использовать различные формы работы с учащимися. Это и работа в группах, парах, индивидуально.

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности на факультативе являются: изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, дискуссии, решение задач, доклады учащихся и т.д.

Динамика интереса учащихся к курсу будет осуществляться в виде теста на первом занятии, во время выступлений учащихся на текущих занятиях, защиты задач, решенных индивидуально. На последнем занятии планируется контроль в виде индивидуальных заданий, защита проектов и рефератов учащихся.

Отметки ставить не планируется.

Критерии и способы отслеживания результатов:

  • знания и практические навыки учащихся;
  • рефлексивные способности;
  • самостоятельность, креативность, инициативность.

способы отслеживания результатов:

  • самоанализ учащимися собственных умений, навыков;
  • наблюдение за процессом деятельности;
  • анализ самостоятельных работ учащихся.

Так же предусмотрен список литературы, как для учителя, так и для учащихся.

4. Учебно-тематическое планирование факультативного курса

Факультатив «Методы решения квадратных уравнений» предполагает 16 занятий по одному часу в неделю.

Реализация программы осуществляется за счет часов, отводимых на выполнение школьного компонента.

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

  • x 2 — 2x + 6 = 0
  • x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

  • 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax 2 + c = 0, при b = 0;
  • ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
  • разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

  • не имеет корней при — c/а 0.
В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

  • В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

    • Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

    Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

    Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

    Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

    Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

    Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

    Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

    Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

  • Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
  • Решить линейное уравнение:

    0,5x = 0,125,
    х = 0,125/0,5

  • Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

    • Ответ: х = 0 и х = 0,25.

    Как разложить квадратное уравнение

    С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

    Формула разложения квадратного трехчлена

    Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

    Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

    Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

    где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

    Эта запись означает:

    Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

    Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

    Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

    В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

    Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

    • вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
    • если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
    • если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
    • если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

    Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

    Примеры решения квадратных уравнений

    Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

    Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

    1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
    2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
    3. Найдем корень

    Ответ: единственный корень 3,5.

    Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

      Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

    Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 3 и — 3.

    Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

      Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

    Ответ: два корня 0 и 1.

    Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

      Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 7 и −7.

    Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

      Найдем дискриминант по формуле

    D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

  • Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

    • Ответ: корней нет.

    В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

    Формула корней для четных вторых коэффициентов

    Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

    Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

    2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

    Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

    где D1 = n 2 — ac.

    Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

    Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

    • вычислить D1= n 2 — ac;
    • если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

    Формула Виета

    Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

    Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

    Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

    Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

    Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

    Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

    Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

    Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

    Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

    Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

    Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

    Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

    Обратная теорема Виета

    Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

    Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

    Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

      Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

    2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

    Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

    Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

    Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

    Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

    Упрощаем вид квадратных уравнений

    Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

    Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

    Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

    Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

    Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

    А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

    умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

    Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

    Связь между корнями и коэффициентами

    Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

    Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

    Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

    Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

    Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

    Квадратные уравнения (8 класс)

    Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).

    В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.

    Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.

    Виды квадратных уравнений

    Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

    Как решать квадратные уравнения

    В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .

    Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:

      Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

      Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
      Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

      Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).

      Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
      Решение:

      Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.

      Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

      Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

      Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_2=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

      Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
      Решение:

      Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

      Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

      Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_1=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

      В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

      Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
      Решение:

      Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

      Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

      Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_1=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

      Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

      Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).

      Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.

      Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
      Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
      Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

      Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).


      источники:

      http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

      http://cos-cos.ru/math/121/

      © 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут