Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен:
Пример №42.4.
Решить уравнение: .
Решение:
Найдем дискриминант: .
Тогда .
Ответ: .
Видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение имеет решения на множестве комплексных чисел. В ответе получаются два сопряженных комплексных числа. Это очень важный результат: теперь мы знаем, что абсолютно любое квадратное уравнение имеет два корня на множестве комплексных чисел.
Подобное утверждение, известное под названием «основная теорема алгебры», было доказано Гауссом в конце XVIII века: любое алгебраическое уравнение -й степени имеет комплексных корней (при этом некоторые корни являются кратными). Эти результаты подчеркивают ту исключительную роль, которую играют комплексные числа в теории алгебраических уравнений.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Как найти дискриминант квадратного уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.
Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
Что делать если дискриминант отрицательный?
Можно ли извлечь отрицательный дискриминант?
Если дискриминант отрицателен
В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т. к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.
Что делать если дискриминант меньше нуля?
1. Если дискриминант больше нуля ( ), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. . Если дискриминант меньше нуля ( ), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем.
Как решить квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом?
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
- как найти дискрининант: D = b2 − 4ac;
- если дискриминант отрицательный — зафиксировать, что действительных корней нет;
- если дискриминант равен нулю — вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b2/2a;
30 нояб. 2020 г.
В каком случае дискриминант не имеет корней?
Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. . Если D 0, корней будет два.
Что делать если отрицательный корень?
Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.
Как искать комплексные корни?
Для решения квадратного трехчлена необходимо вычислить дискриминант (D): D = b2 — 4ac, затем найти корни, которые зависят от знака D.
.
Комплексные корни
- если D больше 0, уравнение имеет 2 вещественных корня;
- при D = 0 у уравнения 1 корень х = -b / 2а;
- при D меньше 0 — 2 мнимых корня (вещественных корней нет).
В каком случае уравнение не имеет корней?
Если уравнение не имеет корней, то обычно так и пишут «уравнение не имеет корней», или применяют знак пустого множества ∅. Если уравнение имеет корни, то их записывают через запятую, или записывают как элементы множества в фигурных скобках.
Как решить уравнение ax2 bx c 0?
Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:
- вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b2−4ac;
- если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
- если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b2/2a;
30 нояб. 2020 г.
Чему равны корни квадратного уравнения?
Теорема Виета гласит, что если $x_1 и x_2$– корни квадратного уравнения, то их сумма равняется –в, а произведение с. Это не совсем то, что нужно для решения, но обратная теорема говорит о том, что, если сумма двух чисел равняется –в, а произведение числу с, то эти числа и есть корни уравнения.
Что делать если в Дискриминанте отрицательное число?
Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D. . Если дискриминант отрицательное число (D Как решать квадратные уравнения?
В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней. Чтобы решить квадратное уравнение нужно: привести квадратное уравнение к общему виду «ax2 + bx + c = 0».
Почему Дискриминант так называется?
Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-diskriminant-kvadratnogo-uravneniya
http://topobzor10.ru/chto-delat-esli-diskriminant-otritsatelnyi