Методы решения линейных уравнений конспект

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Системы линейных уравнений
план-конспект занятия

Системы линейных уравнений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Перед тем, как перейти к написанию лекции . ОБЯЗАТЕЛЬНО посмотрите видеоурок. для того, чтобы понимать способы решения ЛУ.

Системы линейных уравнений

Определение 1. Системой линейных уравнений , содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a ij – называются коэффициентами системы, числа b ij – свободными членами.

Определение 2. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет ни одного решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

В последенем случае каждое решение системы называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если совместна, найти ее общее решение.

1.2 Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Матрица А = , составленная из коэффициентов при неизвестных х i (i = 1,2,…n), называется матрицей системы .

Матрица B = , составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, называется расширенной матрицей .

Определение 4. Матрица А называется матрицей треугольного вида , если все ее элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю.

Например, А = или В = — матрицы треугольного вида.

Метод Гаусса удобно использовать при решении систем с большим количеством уравнений. Этот метод заключается в последоваетльном исключении неизвестных. Систему линейных уравнений приводят к системе с треугольной матрицей с помощью эквивалентных преобразований. Затем из полученной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.

К эквивалентным преобразованиям относят следующие :

• умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число, отличное от нуля.
• Сложение и вычитание уравнений.
• Перестановка уравнений.
• Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты равны нулю.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Для упрощения вычислений поменяем первую и вторую строки местами:

Умножим первую строку на –3 и сложим ее со второй строкой. Первую строку умножим на –4 и сложим с третьей сторокой, получим эквивалентную матрицу:

Умножим вторую строку на –1:

Умножим вторую строку на 5 и сложим с третьей строкой:

Разделим третью строку на –11:

Получили матрицу треугольного вида (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Выпишем систему уравнений треугольного вида:

Ответ: х = -1, у = 3, z = 2

1.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Для решения систем линейных уравнений с большим количеством уравнений применяют метод Гаусса. Если же уравнений в системе не так много, то удобнее использовать метод Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Составим определитель матрицы системы:

Заменим в определителе Δ первый столбик, соответствующий переменной х 1 , на столбец свободных членов b 1 , b 2 , …,b n , получим определитель Δ х1 :

Заменим в определителе Δ второй столбик, соответствующий переменной х 2 , на столбец свободных членов b 1 , b 2 , …,b n , получим определитель Δ х2 :

Аналогично поступаем с третьим, четвертым, …, n –ым столбцами определителя Δ . В итоге получим n+1 определитель. Для того, чтобы найти неизвестные х 1 , х 2 , …, х n используем формулы Крамера:

, , …,

При вычислении определителей могут возникнуть следующие случаи:

• если определитель матрицы системы Δ отличен от 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение;
• если определитель матрицы системы Δ равен 0, а среди определителей Δ х1 , Δ х2 , …, Δ хn есть хотя один отличный от 0, то система линейных уравнений не имеет решений;
• если определитель матрицы системы Δ равен 0 и все определители Δ х1 , Δ х2 , …, Δ хn равны 0, то система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:

Так как Δ 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ х :

Заменим в определителе Δ второй столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ у :

Найдем значения переменных х и у по формулам Крамера:

,

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:

Так как Δ 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ х :

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ у :

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ z :

Найдем значения переменных х , у и z по формулам Крамера:

, ,

Конспект урока «Линейные уравнения. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Способы их решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Линейные уравнения. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Способы их решения»

Тип урока: обобщающий урок.

· повторение знаний учащихся по теме “ Линейные уравнения. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Способы их решения», закрепление умений решения систем уравнений различными способами, а именно: способом подстановки, способом сложения (вычитания), графическим способом;

• развитие познавательного интереса.

• образовательная: выработать прочные навыки решения систем двух уравнений с двумя неизвестными, способствовать совершенствованию полученных знаний по данной теме;
• развивающая: развитие внимания и логического мышления, памяти, активизация самостоятельной деятельности;

воспитательная: воспитывать культуру математического мышления, чувство коллективизма, честность, взаимопомощь, умение проверять себя и анализировать свои ошибки, повышение мотивации к изучению математики.

• Оборудование: мел, доска, раздаточный материал.

I. Организационный момент (3мин)

II. Устная работа с классом (10 мин)

III. Работа по теме урока (15 мин)

IV. Домашнее задание (2 мин)

V. Проверочная работа в виде теста. Подведение итогов.(15 мин)

I. Организационный момент (3 мин)

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, фиксирование отсутствующих.

Сегодня мы повторим тему «Линейные уравнения. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Способы их решения». Давайте повторим, что мы изучили по данной теме.

II. Устная работа с классом (10 мин).

· Что такое линейное уравнение с двумя переменными?

Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах + ву = с, где х и у переменные, а, в и с некоторые числа.Например,2х-5у=6; а=2, в=-5, с = 6

· Решение линейного уравнения с двумя переменными

решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, которые обращают это уравнение в верное равенство. Например, 3х-у= 5(2;1) является решением данного уравнения так как 3*2-1=5, 5=5

называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.

1. Какая из пар является решением системы:

а) (4; −5) б) (2; 1) в) (3; −2) Ответ: в

Учитель. Что называется решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными?

Ответ учащихся. Пару значений ( x ; y ), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы.

2. На координатной плоскости построены графики функций y =− x −3 и y =4 x +2. Используя эти графики, решите систему уравнений

Учитель: Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными, от чего это зависит?

Ответ учащихся: единственное решение (прямые пересекаются), множество решений (прямые совпадают), не иметь решений (прямые параллельны).

Учитель. Какие методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными существуют?

Ответ учащихся: Метод подстановки, м етод алгебраического сложения, графический метод

III. Работа по теме урока (15 мин).

Два ученика решают у доски. Остальные в тетрадях самостоятельно.

Вариант 1. Решить систему методом подстановки:

Вариант 2. Решить систему методом сложения:

Учащиеся у доски комментируют решения.

Учитель. Есть ли другие ответы? Все ли согласны с решением?

1) Две прямые пересекаются в точке А. Вычислите координаты точки А.