Методы решения линейных уравнений курсовая

Методы решения линейных уравнений курсовая

Системы линейных уравнений

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений

1.1.1 Критерий совместности общей системы линейных уравнений

1.1.2 Однородная система п линейных уравнений с n неизвестными

1.1.3 Структура общих решений однородной и неоднородной системы уравнений

1.2 Основные методы решения систем линейных уравнений

1.2.1 Матричный метод решения систем линейных уравнений

1.2.2 Метод Крамера

1.2.3 Метод Гаусса

1.4 Ответы на теоретические вопросы

Курс «Алгебра и геометрия» занимает особенное место в системе математической дисциплины, которая изучается студентами специальностей ПМ, САУ и IНФ, как базовый курс. Наверное, нет ни одной математической дисциплины, в которой бы не применялись понятия алгебры и геометрии.совая работа должна способствовать более углубленному изучению курса «Алгебра и геометрия», осмыслению его и применению для решения задачи практического содержания.

Данная работа содержит раскрытие вопроса решения систем линейных алгебраических уравнений, способы получения результата и применение систем для решения экономических задач.

Работа состоит из двух частей — теоретической и практической. В теоретической части приведены определения таких понятий, как система линейных уравнений, общее и частное решения, совместность и несовместность систем, однородные и неоднородные системы, рассмотрены различные методы решения систем уравнений. Также даны ответы на теоретические вопросы.

В практической части решены системы линейных уравнений, а также рассмотрены экономические задачи, решение которых сводится к решению соответствующей системы.

система линейное уравнение

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2;

где х1, х2, …, хn — неизвестные, значения которых подлежат нахождению. В общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а11, а12, …, аmn называются коэффициентами системы, а b1, b2, …, bm — её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы аij (i = 1, 2. m; j = 1, 2. n) и свободные члены bi (i=1, 2. m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов аij соответствует номеру уравнения, а второй индекс — номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел ?1, ?2, ?n, которая будучи поставлена в систему на место неизвестных х1, х2, …, хn, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений.

. И третий случай, когда система вообще не имеет решения.

.1.1 Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему, в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы составим матрицу

которую назовем основной матрицей системы, и матрицу

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 … a2n b2

B = ……………………… ……,am2 … amn bm

которую назовем расширенной матрицей системы.

Теорема (Теорема Кронекера — Капелли) Для того чтобы система линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Пусть система совместна и c1, c2. сп — некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn = b1;

а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn = b2;

аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn = bm

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2. сп. Согласно предложению, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz. сп — решение системы уравнении, то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.

b1 = а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn;= а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn;

где c1, c2. сп — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе удовлетворяют значения x1 = c1. хп = сп, следовательно, она совместна. Теорема доказана.

1.1.2 Однородная система п линейных уравнений с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = 0;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = 0;

аn1х1 + аn2х2 + …+ аnnхn = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений имеет нулевое решение: х1 = 0, х2 = 0. хп = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений всегда совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

В самом деле, пусть D = 0. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все D xi = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (bi = 0). Поэтому система, равносильная системе, будет иметь вид D x1= 0, D x2=0;., D xn= 0

Из этой системы следует, что однородная система имеет единственное нулевое решение, если ? 0; если же D = 0, то из условий следует, что она имеет бесчисленное множество решений.

Теорема. Для заданной однородной системы уравнений , для которой , где — число неизвестных, существует линейно независимых решений и любое решение системы представляется в виде линейной комбинации этих решений.

Максимальное число линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений этой системы уравнений.

— фундаментальная система решений однородной системы уравнений (Ф.С. Р.). Она содержит решений и получается с общего решения, если свободным переменным придавать последовательно значения: . Полученная таким образом фундаментальная система называется нормированной.

Обратим внимание, что решение однородных систем осуществляется теми же методами, что и неоднородных.

1.1.3 Структура общих решений однородной и неоднородной системы уравнений

Теорема 1. Общие решения однородной системы уравнений

, где , — число неизвестных, представляется в виде:

где — свободные постоянные, , — фундаментальная система решений.

Теорема 2. Общие решения неоднородной системы уравнений

представляется в виде:

где — некоторое частное решение неоднородной системы, — общее решение соответствующей однородной системы.

.2 Основные методы решения систем линейных уравнений

1.2.1 Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы

и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ? 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E?X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ? ? 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение — на A21 и 3-е — на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы ? ? 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Метод Гаусса основывается на следующей теореме: элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы отвечает превращение этой системы в эквивалентную.

С помощью элементарных преобразований строки расширенной матрицы, а также перемены местами столбцов, что отвечает перепозначенню переменной, матрица сводится к ступенчатой (или трапециевидной) форме. Этой матрице ставится в соответствие система, эквивалентная исходной. Это прямой ход метода Гаусса. Решение полученной системы осуществляется снизу вверх (обратный ход метода Гаусcа).

Более детально этот процесс выглядит так: матрица в результате элементарных преобразований принимает такой вид:

Тогда возможны несколько случаев:

. Хотя б одно с чисел отличное от нуля, тогда і система несовместная.

а) , система совместная, имеет единственное решение;

б) , система совместная, имеет бесконечное множество решений.

В случае совместимости системы, ставим последней матрице в соответствие систему уравнений вида

Эту систему переписываем, оставляя базисные переменные слева, свободные — справа

Именно эту систему решаем, начиная снизу вверх.

В результате получаем или единственное решение, или множество решений, которые записываются в виде общего решения.

Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения переменной. Вычислительная процедура гауссових исключений может быть формализирована с помощью простых правил.

Назовем переменную, которая исключалась, разрешающей, коэффициент при ней — разрешающим элементом, строку и столбец матрицы, в которой размещен разрешающий элемент — разрешающими.

Перечисление элементов расширенной матрицы при выполнении элементарных преобразований выполняется по таким правилам:

) элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк остаются неизменными;

) элементы разрешающего столбца, которые расположены ниже разрешающего элемента, обращаются в нуль;

) все другие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразовываемый элемент равняется разности произведений элементов главной и побочной диагонали.

Тут — разрешающий элемент, — преобразуемый элемент. Обозначим — элемент, который получен вычислением по правилу прямоугольника. Тогда

Модификацией метода Гаусса является метод полного исключения или метод Жордана — Гаусса.

Метод полного исключения (метод Жордана-Гаусса) заключается в том, что в результате преобразований расширенной матрицы в ней выделяется диагональная подматриця и тогда решение исходной системы выписывается просто.

Метод полного исключения работает за такими правилами:

) назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при неизвестной, которая исключается;

) элементы разрешающей строки остаются неизменными;

) все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются такими до конца преобразований;

) все другие элементы матрицы пересчитываются по правилу прямоугольника.

Метод полного исключения может быть использован для обращения матрицы (известен также под названием метод элементарных превращений).

Для данной матрицы -го порядка строится прямоугольная матрица размера , к которой применяется преобразование по алгоритму полного исключения, в результате чего матрица сводится к виду , где . Это всегда возможно, если матрица невырожденная.

Обобщим знания о системах уравнений с помощью таблицы 1.1.

Понятия Или соотношенияФормулаОбщая система линейных алгебраических уравненийОсновная матрица системыМатрица-столбец свободных членовМатрица-столбец неизвестныхМатричная форма записи системыРасширенная матрица системыУсловие совместимости системыСистема имеет единственное решениеСистема имеет бесконечное множество решенийСистема несовместнаяКвадратная система линейных алгебраических уравненийКвадратная система имеет единственное решениеКвадратная система бесконечное множество решений, Квадратна система несовместная, Однородная система уравненийОднородная система имеет только нулевое решениеОднородная система имеет нетривиальные решенияКвадратная однородная система имеет только нулевое решениеКвадратная однородная система имеет нетривиальные решенияСтруктура общего решения однородной системы,

— произвольные числа; , — число неизвестных. Структура общего решения неоднородной системы,

где — некоторое частное решение неоднородной системы, — общее решение соответствующей однородной системы.

1.4 Ответы на теоретические вопросы

1. Теорема Кронекера-Капелли: для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы

2. Система имеет единственное решение, если ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы и равен количеству неизвестных системы.

3. Система имеет бесконечное множество решений, если ранг матрицы меньше количества неизвестных системы.

. Свободные переменные — те переменные, которые задаются произвольными значениями, а базисные переменные — те, которые выражаются через свободные.

5. Количество базисных переменных равняется рангу матрицы системы.

. Если ранг матрицы равен r, а количество неизвестных равняется n, то система может иметь (n-r) свободных переменных.

. Система называется однородной, если она имеет вид: АХ=0, т.е. все свободные члены равны нулю.

. Решение называется ненулевым, если все переменные одновременно не принимают значение 0.

. Для того, чтобы однородная система имела только тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся количеству неизвестных системы.

. Для того, чтобы однородная система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше количества неизвестных системы.

. Максимальное число линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений.

. Однородная система уравнений имеет фундаментальную систему решений, если ранг матрицы системы не равен количеству переменных системы.

. Фундаментальная система решений однородной системы содержит (n-r) решений, где n — число неизвестных системы, r-ранг матрицы системы.

. Однородная система уравнений может иметь от 0 до (n-1) фундаментальных систем решений, где n — число неизвестных системы.

. Если свободным переменным поочередно придавать значения: 1, 0,0…0; 0, 1, 0…0; …; 0, 0, …, 1, то полученная фундаментальная система решений называется нормированной.

Kypсовая работа посодействовала более углубленному изучению курса «Алгебра и геометрия», осмыслению его и применению для решения задач практического содержания.

Данная работа раскрыла вопрос решения систем уравнений, а также определила, как на практике использовать знания из курса «Алгебра и геометрия» для решения задач различного типа.

В теоретической части были полностью раскрыты значения тех понятий, которые приводились во вступлении, а именно система линейных уравнений, общее и частное решения, совместность и несовместность систем, однородные и неоднородные системы, рассмотрены различные методы решения систем уравнений. Также даны ответы на теоретические вопросы.

В практической части были решены все поставленные задачи, а именно: решены предложенные системы, выполнена проверка, решены экономические задачи, сводящиеся к системам уравнений.

1. Апатенок Р.Ф. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — Минск: Вышейш. шк., 1986. — 272 с.

2. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Алгебра і геометрiя: Лiнiйна алгебра. Аналітична геометрія: — Харків: ХТУРЕ, 2000. — 388 с.

. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I. — М.: Высш. шк., 1986. — 304 с.

. Апатенок Р.Ф. и др. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. — Минск. Вышейш. шк., 1990. — 286 с.

. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збiрник задач та вправ. — Х.: Рубiкон, 1999. — 320 с.

. Барковский В.В., Барковская Н.В. Математика для экономистов. Высшая математика. — К.: Национальная академия управления, 1999. — 399 с.

Теги: Системы линейных уравнений Курсовая работа (теория) Математика

Курсовая работа: Численные методы решения систем линейных уравнений

по информатике на тему:

«Численные методы решения

систем линейных уравнений»

студент 06–ИСТ, Фадеева Т.В.

2. Численные методы . 6

1) Матричный метод. 6

2) Метод Крамера. 9

3) Метод Гаусса …………. 12

4) Итерации для линейных систем….…..…..17

a) Итерация Якоби..………………. …..18

b) Итерация Гаусса – Зейделя..……. …20

1) Матричный метод. 22

2) Метод Крамера. 24

3) Метод Гаусса……. 26

4) Листинг программы.……………………….28

Польза введения расчётов. ……………………………….65

Линейная алгебра – часть алгебры, изучающая векторные (линейные) пространства и их подпространства, линейные отображения (операторы), линейные, билинейные, и квадратичные функции на векторных пространствах.

Линейная алгебра, численные методы – раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.

Среди задач линейной алгебры наибольшее значение имеют две: решение системы линейных алгебраических уравнений определение собственных значений и собственных векторов матрицы. Другие часто встречающиеся задачи: обращение матрицы, вычисление определителя и т.д.

Любой численный метод линейной алгебры можно рассматривать как некоторую последовательность выполнения арифметических операций над элементами входных данных. Если при любых входных данных численный метод позволяет найти решение задачи за конечное число арифметических операций, то такой метод называется прямым . В противоположном случае численный метод называется итерационным . Прямые методы — это такие, как метод Гаусса, метод окаймления, метод пополнения, метод сопряжённых градиентов и др. Итерационные методы – это метод простой итерации, метод вращений, метод переменных направлений, метод релаксации и др. Здесь будут рассматриваться матричный метод, метод Гаусса и метод Крамера.

В данной работе будут рассмотрены численные методы в электронных таблицах Excel и программе MathCAD, MicrosoftVisualBasic.

Программа MathCAD по своему назначению позволяет моделировать в электронном документе научно–технические, а также экономические расчёты в форме, достаточно близкой к общепринятым ручным расчётам. Это упрощает составление программы расчёта, автоматизирует перерасчёт и построение графических иллюстраций подобно электронным таблицам Excel, документирование результатов как в текстовом редакторе Word.

Программа Mathcad известна за лёгкость, с которой математические уравнения, текст, и графика могут быть объединены в одном документе. Кроме того, вычислительные способности Mathcad распространяются от сложения столбца чисел к решению интегралов и производных, решение систем уравнений и больше.

Достоинством MathCAD является также наличие в его составе электронных книг. Одна из них – учебник по самой программе, другие – справочник по различным разделам математики, физики, радиоэлектроники и др.

Microsoft Office Excel . Если же говорить о программе Excel, которая является одной из наиболее известных в обработке электронных таблиц, то без преувеличения можно утверждать, что ее возможности практически неисчерпаемы.Обработка текста, управление базами данных — программа настолько мощна, что во многих случаях превосходит специализированные программы — редакторы или программы баз данных. Такое многообразие функций может поначалу запутать, нежели заставить применять их на практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то, что границ возможностей Excel тяжело достичь.За всю историю табличных расчетов с применением персональных компьютеров требования пользователей к подобным программам существенно изменились. В начале основной акцент в такой программе, как, например, Visi Calc , ставился на счетные функции. Сегодня, положение другое. Наряду с инженерными и бухгалтерскими расчетами организация и графическое изображение данных приобретают все возрастающее значение. Кроме того, многообразие функций, предлагаемое такой расчетной и графической программой, не должно осложнять работу пользователя. Программы для Windows создают для этого идеальные предпосылки.В последнее время многие как раз перешли на использование Windows в качестве своей пользовательской среды. Как следствие, многие фирмы, создающие программное обеспечение, начали предлагать большое количество программ для Windows.Visual Basic . MicrosoftVisualBasic – это мощная система программирования, позволяющая быстро и эффективно создавать приложения для MicrosoftWindows. В отличие от Excel и MathCADэто наиболее удобная программа для решения систем линейных уравнений. Простой пользовательский интерфейс, позволяющий легко переключаться с проекта формы на сам код программы.

Удобное окно для кода самой программы:

Разрешимость системы линейных уравнений.

Когда мы говорим о главной матрице системы линейных уравнений, то всегда имеем в виду квадратную матрицу nЧn, т. е. матрицу с одинаковым количеством строк и столбцов. Это важно.

Если, например, количество строк (количество уравнений в системе) будет меньше, чем количество столбцов (фактически, количества неизвестных), то система будет неопределенной, т. е. мы не сможем однозначно определить все неизвестные (решить систему).

Но это не единственное ограничение. Из векторной алгебры известно, что система линейных уравнений имеет решение (однозначное) тогда и только тогда, когда ее главный определитель не равен нулю: Δ ≠ 0.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1. Δ = 0 и каждый из дополнительных определителей Δx_i = 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных x_i пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. При этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. Δ = 0 и хотя бы один дополнительный определитель Δx_i ≠ 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных x_i , пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений:

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матрицы столбцов:

Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:

Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.

Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.

Иногда рассматривают также расширенную матрицу системы, т. е. главную матрицу системы, дополненную столбцом свободных членов, которую записывают в следующем виде:

Любую линейную систему уравнений можно записать в матричном виде. Например, пусть дана система:

Эта система из двух уравнений с тремя неизвестными – x, y,. В высшей математике можно рассматривать системы из очень большого числа уравнений с большим количеством неизвестных и поэтому неизвестные принято обозначать только буквой х, но с индексами:

Запишем эту систему в матричном виде:

Здесь главная матрица системы:

Расширенная матрица будет иметь вид:

Решения матричных уравнений.

Матричные уравнения решаются при помощи обратных матриц. Уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А – невырожденная (D ≠ 0), тогда существует обратная матрица А-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем А-1(АХ) = А-1В. Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде

Поскольку А-1 А = Е и ЕХ = Х, находим:

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1. Найти обратную матрицу А-1.

2. Найти произведение обратной матрицы А-1 на матрицу столбец свободных членов В, т. е А-1В.

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

При этом собственно нахождение обратной матрицы – процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений.

К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над расширенной матрицей системы. А в методе Крамера – с определителями системы, образованными по специальному правилу.

При решении систем линейных уравнений по методу Крамера последовательно выполняется следующий алгоритм:

1. Записывают систему в матричном виде (если это еще не сделано).

2. Вычисляют главный определитель системы:

3. Вычисляют все дополнительные определители системы:

4. Если главный определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5. Иначе рассматривают вопрос о разрешимости данной системы (имеет бесчисленное множество решений или не имеет решений). Находят значения всех неизвестных по формулам Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными, которые имеют вид:

Решить по методу Крамера систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Запишем главный и побочные определители системы:

Вычислим эти определители:

Δ1 = -112+(-45)+(-192)-(-240)-24-168 = -112-45-192+240-24-168 = 240-541 = -301.

Δ2 = -36-420-280-75+196-288 = 196-1099 = -903.

Δ3 = -144-147-30-140+27-168 = -629+27 = -602.

Главный определитель системы не равен нулю. Находим неизвестные по формулам Крамера.

Подставим найденные значения определителей в формулы Крамера:

x1 = Δ1/Δ = -301/(-205) = 1,468292682927 ≈ 1,47;

x2 = Δ2/Δ = -903/(-205) = 4,40487804878 ≈ 4,4;

x3 = Δ3/Δ = -602/(-205) = 2,936585365854 ≈ 2,93.

При решении систем линейных уравнений по методу Крамера используются формулы, в которых участвуют как главный, так и дополнительные определители системы:

Напомним, что главным определителем системы называется определитель главной матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных:

Если в главном определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при x₁ , x₂ . x_n на столбец свободных членов, то получим n дополнительных определителей (для каждого из n неизвестных):

При этом важен вопрос о разрешимости данной системы, который решается сравнением главного и дополнительных определителей системы с нулем:

Метод Гаусса – прямой и обратный ход.

Рассмотрим метод Гаусса. Например, пусть дана расширенная матрица некоторой системы m линейных уравнений c n неизвестными:

Будем считать, что a₁₁ ≠ 0 (если это не так, то достаточно переставить первую и некоторую другую строку расширенной матрицы местами). Проведем следующие элементарные преобразования:

Т. е. от каждой строки расширенной матрицы (кроме первой) отнимаем первую строку, умноженную на частное от деления первого элемента этой строки на диагональный элемент а₁₁ .

В результате получим матрицу:

Т. е. первая строка осталась без изменений, а в столбце под а₁ 1 на всех местах оказались нули. Обратим внимание, что преобразования коснулись всех элементов строк, начиная со второй, всей расширенной матрицы системы.

Теперь наша задача состоит в том, чтобы получить нули подо всеми диагональными элементами матрицы А – a_ij , где I = j.

Повторим наши элементарные преобразования, но уже для элемента α₂₂ .

Т. е. от каждой строки расширенной матрицы (теперь кроме первой и второй) отнимаем вторую строку, умноженную на частное от деления первого элемента этой (текущей) строки на диагональный элемент α₂₂ .

Такие преобразования продолжаются до тех пор, пока матрица не приведется к верхнее — треугольному виду. Т. е. под главной диагональю не окажутся все нули:

Вспомнив, что каждая строка представляет собой одно из уравнений линейной системы уравнений, легко заметить, что последнее m-ое уравнение принимает вид:

Отсюда легко можно найти значение первого корня – x_n = δ_m /γ_mn .

Подставив это значение в предыдущее m-1-е уравнение, легко получим значение x_n-1 -ого корня.

Таким образом, поднимаясь до самого верха обратным ходом метода Гаусса, мы последовательно найдем все корни системы уравнений.

Рассмотрим систему уравнений:

Главный определитель данной системы:

Т. е. система определена и разрешима. Решим ее по методу Гаусса.

Проведем прямой ход метода Гаусса, выписав предварительно расширенную матрицу системы:

Получим нули под главной диагональю в первом столбце расширенной матрицы. Для получения нуля в элементе a21 (т. е. под диагональю во второй строке матрицы) вторую строку матрицы преобразуем по формуле C₂ -(a₂₁ /a₁₁ )*C₁ = C₂ -(2/1)*C₁ = C₂ -2*C₁ :

Аналогично поступаем и с элементом а31 (т. е. под диагональю в третьей строке матрицы). Третью строку матрицы преобразуем по формуле C₃ -(a₃₁ /a₁₁ )*C₁ = C₃ -(-1/1)*C₁ = C₃ +C₁ :

Таким образом, мы получили нули под главной диагональю в первом столбце расширенной матрицы. Осталось получить нуль под главной диагональю во втором столбце матрицы, т. е. на месте элемента а32. Для этого третью строку матрицы преобразуем по формуле C₃ -(a₃₂ /a₂₂ )*C₂ = C₃ -(1/-2)*C₂ = C₃ +1/2C₂ :

Таким образом, проведя прямой ход метода Гаусса , мы получили расширенную матрицу системы, приведенную к верхне-треугольному виду:

Эта матрица эквивалентна системе:

Обратным ходом метода Гаусса найдем корни системы. Из последнего уравнения найдем корень х₃ :

Корень x₃ = -3/5 найден. Подставим его в верхнее (второе) уравнение системы (-2x₂ -3x₃ = 1):

Корень x₂ = 2/5 найден. Подставим его и корень х₃ в верхнее (первое) уравнение системы (x₁ -x₂ +x₃ = 0):

Итак, метод Гаусса (или, иначе, метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем:

1. Путем элементарных преобразований систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с верхне-треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.

2. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

3. При этом все преобразования проводятся над так называемой расширенной матрицей системы, которую и приводят к верхнее — треугольному виду в прямом ходе метода.

Итерация для линейных систем.

Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы, подобно тому, как это делается для одного уравнения.

Для определенности ограничимся системой из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (система четвертого порядка), которую запишем в виде:

Разрешим первое уравнение системы относительно х₁ :

Затем разрешим второе уравнение относительно х₂ и т. д. Тогда систему можно переписать в виде:

гдеα = -a_ik /a_ii , i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3, 4, 5.

Система является частным случаем записи вида:

При этом линейная функция L₁ фактически не зависит от х₁ .

Зададим какие-либо начальные значения неизвестных (нулевые приближения):

Подставляя эти значения в правые части системы (*), получим первые приближения:

Полученные первые приближения могут быть так же использованы для получения вторых, третьих и т. д. приближений. Т. е. можно записать:

Условия сходимости итерационного процесса.

Установим условия, выполнение которых обеспечит сходимость получающихся приближений к истинному (точному) решению системы х₁ , х₂ , х₃ , х₄ .

Не вдаваясь в подробности, скажем, что для того чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными.

Это условие можно сформулировать и более точно:

Для сходимости процесса итераций достаточно, чтобы в каждом столбце сумма отношений коэффициентов системы к диагональным элементам, взятым из той же строки, была строго меньше единицы :

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Уравнения можно записать в виде:

Это позволяет предложить следующий итерационный процесс:

или (другой вид записи)

Покажем, что если начать с точки P₀ = (х₁ (0) , х₂ (0) , х₃ (0) , х₄ (0) ) = (1, 2, 2), то итерация (3) сходится к решению (2, 4, 3). Подставим х₁ = 1, х₂ = 2, х₂ = 2 в правую часть каждого уравнения из (3), чтобы получить новые значения:

Новая точка P₁ = (х₁ (1) , х₂ (1) , х3 (1) , х₄ (1) ) = (1.75, 3.375, 3), ближе, чем P₀ .

Итерация, использующая (3), генерирует последовательность точекk >, которая сходится к решению (2, 4, 3):

Этот процесс называется итерацией Якоби и может использоваться для решения определенных типов линейных систем.

Процесс итерации Якоби иногда можно модифицировать для ускорения сходимости.

Отметим, что итеративный процесс Якоби производит три последовательности – <х₁ (k) >, <х₂ (k) >, <х₃ (k) >, <х₄ (k) >. Кажется разумным, что х₁ (k+1) может быть использовано вместо х₂ (k ). Аналогично х₁ (k+1) и х₂ (k+1) можно использовать в вычислении х₃ (k+1) . Например, для уравнений из системы (1) это даст следующий вид итерационного процесса Гаусса-Зейделя, использующий (3*):

Такой итерационный процесс даст результаты:

Т. е. к точному решению мы пришли уже на 10-ом шаге итерации, а не на 19, как в итерации Якоби.

1. Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы. Для этого система приводится к виду (для случая системы из четырех уравнений):

Эти формулы как раз и задают собственно итерационный процесс.

2. При этом чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными.

Это условие можно сформулировать и более точно:

Для сходимости процесса итераций достаточно, чтобы в каждом столбце сумма отношений коэффициентов системы к диагональным элементам, взятым из той же строки, была строго меньше единицы:

3. Следует так же сказать, что итерационный процесс может проводиться как в виде итерации Якоби, так и в виде итерации Гаусса-Зейделя. В последнем случае сходимость итерационного процесса может существенно улучшиться.

1) Метод обратной матрицы.

2) Метод Крамера.

4) Листинг программы (Метод Крамера, Метод Гаусса, Метод обратной матрицы).

BorderStyle = 1 ‘Единственный Фиксированный

Caption = «Решение систем линейных уравнений»

Методы решения линейных уравнений

ID (номер) заказа
2158281

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………….…3
Теоретические основы систем линейных уравнений…………..5
Методы решения систем линейных уравнений…………………8
Метод Гаусса…………………………………………………..….8
Метод Крамера……………………………………………………9
Матричный метод……………………………………….…. ….10
Пример решения системы линейных уравнений….…………. 11
Заключение……………………………………………….……………..15
Список использованной литературы…………………………………..17

Введение
Линейная алгебра, численные методы – раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.
Одной из важнейших и наиболее распространённых задач вычислительной математики является задача решения систем линейных алгебраических уравнений. К ним часто приходят при исследовании самых различных проблем науки и техники, в частности, приближенное решение дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных сводится к решению алгебраических систем. Число неизвестных n может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч. К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:
задачи механики (статические, теплотехнические);
задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;
системы линейных уравнений — основной аппарат при нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах;
задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;
системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.
Актуальность выбранной темы обусловлена недостаточной изученностью при широкой практике применения математических методов.
Целью работы является изучение основных методов решения систем математических уравнений.
Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Изучить теоретические основы систем линейных уравнений;
Рассмотреть основные методы решения данных уравнений:
Метод Гаусса;
Метод Крамера;
Матричный метод;
Продемонстрировать применение данных методов на примере.
Основным объектом исследования является сиситемы линейных алгнебраических уравнений (далее – СЛАУ). Соответствующий предмет работы – методы решения данных систем.
Различным теоретико-методологическим и практическим аспектам бизнес-планирования посвящены работы многих российских исследователей, таких, как: Красс М.С., Кремер Н.Ш., Лизунова Н.А. и т.д.
Методологической, теоретической и эмпирической основой исследования являются положения, сформулированные в трудах отечественных и зарубежных ученых, посвященные теоретическим и прикладным проблемам линейной алгебры.
Информационную базу исследования составляют научные труды российских и зарубежных авторов и методические материалы по исследуемой теме.
Теоретические основы
систем линейных уравнений
Матрица – это прямоугольная таблица чисел, которая содержит m строк и n столбцов. Размер таблицы: m×n . [2, 124 c.]
А= a11…a1ma21…a2m………an1 … anm (1),
где aij – коэффициенты матрицы;
i – Номер строки;
j – Номер столбца.
СЛАУ имеет вид:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm (2),
где xn — неизвестные;
aij – коэффициенты при неизвестных;
bi – свободные члены.
Коэффициенты и свободные члены могут быть любыми действительными числами.
Решение СЛАУ – это совокупность значений неизвестных xn, обращающая каждое уравнение системы в тождество. При это система может быть нескольких видов (см. рис.1.) [1, 62 c.]
Если 2 системы имеют одно и то же множество решений, то они являются равносильными (эквивалентными).
Любая СЛАУ может быть представлена в виде матричного уравнения:
AX = B (3),
Где А – матрица, которая состоит из неизвестных;
В – матрица-столбец свободных членов;
Х – матрица-столбец неизвестных.
А = a11…a1ma21…a2m………an1 … anm Х= x1x2…xn B= b1b2…bn (4)
Рис.1. Виды СЛАУ
Матрица А – матрица системы. Также существует A – это расширенная матрица системы (см. формула (5)).
A= a11 a12 …a1n b1a21 a22 …a2n b2…am1 am2…amn bm (5)
Однородная СЛАУ – система, в которой свободные члены являются 0. Априори данный вид систем является совместной.
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0…am1x1+am2x2+…+amnxn=0 (6)
Если число уравнений в СЛАУ совпадает с количеством неизвестных, то данная система записывается в следующем виде:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…an1x1+an2x2+…+annxn=bn (7)
Определитель, или детерминант квадратной матрицы порядка n имеет обозначения:D=detA= deta11 a12 …a1na21 a22 …a2n …am1 am2…amn= a11 a12 …a1na21 a22 …a2n …am1 am2…amn (8)
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая при умножении на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.
Обозначив обратную через А-1, запишем А-1А=АА-1=Е, где Е – единичная матрица.
При условии 𝐷 = |𝐴| ≠ 0 обратная матрица находится по формуле:
A-1= A11DA21DAn1DA12DA22DAn2DA1nDA2nDAnnD (9)
Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:
1. Находят определитель матрицы А.
2. Находят алгебраические дополнения всех элементов 𝑎𝑖𝑗 матрицы А и записывают новую матрицу.
3. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспортируют матрицу).
4. Умножают полученную матрицу на 1/D. [3, 104 c.]
Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Методы решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса
Метод Гаусса является классическим методом решения СЛАУ. Считается, что автор данного – немецкий математик Карл Фридрих Гаусс [8]. Однако стоит отметить, что первое упоминание данного способа относится к китайскому трактату «Математика в 9 книгах», датированному в X век до н. э. — II век до н. э. [10]
Метод Гаусса применяется для решения СЛАУ с произвольным числом неизвестных и уравнении. Его суть заключается в последовательном исключении неизвестных. [4, 354 c.]
Пусть дана произвольная система линейных уравнений (см. формула (2)).
Для решения данной системы приведем ее к эквивалентной ей системе с треугольной или ступенчатой матрицей.
Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы с добавлением столбца свободных членов, т. е. расширенную матрицу системы:
A= a11 a12 …a1n b1a21 a22 …a2n b2…am1 am2…amn bm (10)
Путем различных последовательных элементарных преобразований (умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число; сложение и вычитание строк; перестановка строк) приведем матрицу A к треугольному или ступенчатому виду:
b11 b12 … b1r… b1n c1 b21… b2r… b2n c2… brr… brn cr ( r≤n) (11),
где все диагональные элементы brr отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю.
Полученной матрице соответствует более простая система уравнений:
b11x1+b12x2+…+b1rxr+b1nxn=c1b22x2+…+b2rxr+b2nxn=c2…brrxr+brnxn=cr(12)
Процедуру преобразования исходной системы к треугольному или трапецеидальному виду называют прямым ходом метода Гаусса.
Если в полученной системе r = n, то она имеет треугольный вид. Из последнего уравнения находим xn, из предпоследнего уравнения находим xn-1 и так далее, и, наконец, из первого уравнения находим x1.
Описанный процесс называют обратным ходом метода Гаусса. При r = n система имеет единственное решение.
Если же r

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован