Методы решения логарифмических уравнений 11 класс

Урок по алгебре «Решение логарифмических уравнений»(11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МОУ «Волипельгинская средняя общеобразовательная школа »

Урок по алгебре в 11 кл.

Тема: «Решение логарифмических уравнений».

Урок алгебры по теме: «Решение логарифмических уравнений».

Тип урока: урок формирования новых знаний и умений

1)формировать умение решать логарифмические уравнения;

2)ввести понятие операции потенцирования;

3)формировать умение применять основные методы решения и выбирать

нужный способ решения логарифмических уравнений;

4)развитие математической речи.

Используемые учебники и учебные пособия:

Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа 10-11класс.

Приветствие, сообщение темы и задач урока.

2.Актуализация знаний учащихся.

1)Фронтальный опрос класса:

Что называется логарифмом числа?

Какие свойства логарифмов знаем?

2)Устная работа по презентации:

1.Вычислите устно: (слайд №1)

б)

Что было использовано для решения данных заданий? (Свойства логарифма)

2. Решите уравнения:

Что понимают под уравнением?

Что называют корнем уравнения?

Что значит “решить уравнение”?

Какие уравнения называются равносильными?

Какими методами пользовались для решения?

(Методом уравнивания показателей и введения новой переменной.)

3.Решите уравнения: (слайд №3)

А как вы думаете, какие это уравнения?

Умеем мы решать логарифмические уравнения?

Итак, запишем тему урока: «Логарифмические уравнения и методы их решения»

Можете сформулировать определение логарифмического уравнения?

3.Изучение нового материала.

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется

Простейшим логарифмическим уравнением служит уравнение вида

(записать в тетрадь)

«Методы решения логарифмических уравнений»:

1) по определению логарифма;

2) метод введения новой переменной;

3) метод потенцирования;

5) метод приведения к одному основанию;

6) метод логарифмирования.

С какими из методов вы уже знакомы при решении показательных уравнений?

Рассмотрим подробно каждый из методов и попробуем соотнести их с предложенными на слайде уравнениями.

Итак, первый метод решения — по определению логарифма.

Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве

положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. ( Логарифм числа х по основанию а

– это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х).

Из определения логарифма сразу следует, что а b является таким решением.

Рассмотрим далее метод введения новой переменной. Вы уже знакомы с данным методом при решении показательных уравнений.

Аналогично он применяется и при решении логарифмических уравнений.

Какое из уравнений на слайде мы можем решить данным методом?

№ 1 (Решает ученик у доски, остальные –в тетрадях, учитель при необходимости корректирует

Следующий метод решения логарифмических уравнений-метод потенцирования.

Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что f (х)= g ( x ) такое уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях f (х)>0, g ( x )>0.

Запись в тетрадь напротив данного метода:

Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения в общем случае

Можно выявить посторонние корни и с помощью нахождения

области определения исходного уравнения (которая задаётся системой неравенств f (х)>0, g ( x )>0. ).

Замечание: Можно не решать систему до конца, а позже

подставить корни и выполнить

Какое из уравнений на слайде мы можем решить данным методом?

(Решает ученик у доски, остальные –в тетрадях, учитель при необходимости корректирует решение).

Рассмотрим следующий метод решения – функционально-графический.

Для какого из уравнений на слайде он подойдет как нельзя лучше? №5

Как вы предлагаете решать? (Строить по точкам графики двух функций искать абсциссу точек пересечения графиков).

Этот метод применятся при решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Какое из уравнений подходит для данного случая? №3

Проверка: подставив в исходное уравнение (сделать самостоятельно), получим, что оба корня подходят. Ответ: 2;

4.Первичное закрепление: (слайд №5)

Среди данных уравнений выбрать логарифмические.

Определить способ решения каждого уравнения.

5.Домашнее задание: Решите уравнения (уравнения распечатываются в виде карточек).

Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 416 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 22.06.2016
• 329
• 0

• 22.06.2016
• 1143
• 1

• 22.06.2016
• 448
• 0

• 22.06.2016
• 1624
• 15

• 22.06.2016
• 412
• 0

• 22.06.2016
• 749
• 0

• 22.06.2016
• 1975
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.06.2016 4731
• DOCX 275.5 кбайт
• 80 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мартынова Светлана Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 8 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 14776
• Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность со скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Урок «Методы решения логарифмических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Тип урока:повторительно-обобщающий. Цель урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся о логарифме и его свойствахумения решать логарифмические уравнения различными методами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Методы решения логарифмических уравнений»

Учитель математики МБОУ«Общеобразовательная

Хетовская средняя школа» Воробьева Л.М.

Тип урока: повторительно-обобщающий .

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся о логарифме и его свойствах; умения решать логарифмические уравнения различными методами.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способствовать формированию навыков коллективной работы, развивать умение четко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательные: формирование интереса к предмету.

1.Повторение определения и свойств логарифмов. Поставите в соответствие:

Методы решения логарифмических уравнений

1. Уравнения, решаемые по определению.

log a b=c,тогда а с =в,а>0, b>0,а .

а)log 2 4 =Х б) log x 64=3

2. Метод потенцирования . Он основан на теореме: Если f(х)>0и g(х)>0,то логарифмическое уравнение log a f(х)=log a g(х), (а>0,а ) равносильно уравнению f(х)=g(х).

Решение: Данное уравнение равносильно:

lg(х+4)(2х+3)=lg(1-2х), 2х 2 +13х+11=0,

3.Метод введения новой переменной.

Решите уравнение: а) 4-lgх=3 .

Решение: Воспользуемся методом замены. Пусть =t,тогда данное уравнение примет вид t 2 +3t-4=0,откуда t 1 =1,t 2 =-4(посторонний корень).

б) lg 2 x-3lgx+2=0, О.Д.З.х>0.

t 2 -3t+2=0, t 1 =1,t 2 =2.

Если t 1 =1,то lgx=1,х=10., если t 2 =2,то lgx=2,х=100.

Ответ: х 1 =10, х 2 =100.

Решите уравнение: lgx=11-х.

Так как функция у=lgx возрастает, а функция у=11-х убывает , то заданное уравнение имеет только один корень, который легко можно найти. При х=10 данное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1.

5. Метод приведения к одному основанию.

log a b= ,а>0, в>0, с>0, а , с .

Решите уравнение: log 2 х+log 4 4+log 16 х=7.

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y=f(x) g(x) ,при этом 2чаще всего подразумевается, что f(x)>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Решите уравнение: х х+2 =х 5 .

Решение: х х+2 =х 5 lgx x+2 =lgx 5 (x+2)lgx=5lgx (x-3)lgx=0

7. Использование свойств монотонности функции.

Пример: log 3 (x+1)+log 4 (5x+6)=3/ О.Д.З. х>-1,2.

у=log 3 (х+1)-возрастающая функция, у=log 4 (5х+6)-возрастающая функция, 3-const. Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции.

Используем утверждение: если возрастающая функция равна const или убывающей функции, тогда уравнение имеет один корень, который находится с помощью метода подбора.

8. Использование свойств ограниченности функции.

Пример: log 2 (17-│sin0,5пх│)= 2 ,

Рассмотрим левую часть: так как 0≤│sin0,5пх│≤1,то log 2 (17-│sin0,5пх│)≥log 2 16=4,то есть л.ч.≥4 при х=1 достигается равенство.

Рассмотрим правую часть 2 = 2 ≤ =4, 2 ≤4,при х=1 достигается равенство.

9.Однородные уравнения 2 степени.

ах 2 +вху+су 2 =0 │:у 2 ≠0, а(х ∕у) 2 +в(х ∕ у)+с=0, аt 2 +вt+c=0 .

Пример: 3log 2 2 (х+1)-4log 2 (2x+1)log 2 (x+1)+log 2 2 (2x+1)=0, О.Д.З.х>-0,5, делим на log 2 2 (2x+1) и log 2 (x+1) ∕log 2 (2х+1)=t, получаем уравнение вида: 3t 2 -4t+1=0, t 1 =1, t 2 = .

log 2 (x+1) ∕ log 2 (2x+1)=1, log 2 (x+1)=log 2 (2x+1), х+1=2х+1, х=0.

log 2 (x+1)/ log 2 (2x+1)= , 3log 2 (x+1)=log 2 (2x+1), (х+1) 3 =2х+1,

х 3 +3х 2 +3х+1=2х+1 , х(х 2 +3х+1)=0 х 1 =0, х 2 = , х 3= О.Д.З.

10 Использование формулы: а log c b =b log c a , в>0, а.>0, с>0, в≠1,а≠1,с≠1.

Пример: 3х log 5 2 +2 log 5 x =64, О.Д.З. х>0,

3∙2 log 5 x +2 log 5 x =64, 2 log 5 x =16 , log 5 х=4 , х=625.

Домашнее задание. Решите уравнения :

1).log 2 + log 2 (х 2 -25)=0. Ответ:х=6.

2) 3 х+1 =5 х-1 . Ответ: log 5∕3 15.

3)log 2x+1 (5+8x-4x 2 )+log 5-2x (1+4x+4x 2 )=4.Ответ: 0,5; 1.

4)2+6log 8 x=log 2 (6х+18).

5)log 3 x+log 9 x+log 27 x= .

1.А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа» -учебник, задачник 10-11 классы.

2. «Тренировочные задания ЕГЭ повышенной сложности». Г.И.Ковалева и др. «Учитель» Волгоград

3. П.В.Чулков «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики», лекции 5-8.

4. «Математика ЕГЭ. Эффективная подготовка» Л.Д.Лаппо, М.А.Попов «Экзамен» Москва.

Методы решения логарифмических уравнений. 11-й класс

Класс: 11

Презентация к уроку

Комментарий к уроку. Урок проведен по технологии деятельностного метода. Учащиеся знают все методы решения логарифмических уравнений, кроме логарифмического метода. На уроке им предоставляется возможность самим “открыть” этот метод. Урок сдвоенный (2ч. 40 мин.)

Тип урока: “Открытие” новых знаний

Приложение к уроку: Презентация

1-й этап. Самоопределение к деятельности. (3 мин.)

Включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.

Вступление учителя. Слайды 1–2.

Здравствуйте! Назовите ключевые слова темы урока. (Методы, логарифмическое уравнение). Дайте определение логарифмического уравнения. (Дают). Метод – это “ключик” к решению уравнения. Слова великого математика Лейбница “метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели” будут эпиграфом нашего урока.

Сегодня на уроке вы будете сами оценивать свою учебную деятельность. Успеха!

2-й этап. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности. (15 мин.)

Актуализировать учебное содержание и мыслительные операции для восприятия нового материала. Зафиксировать все понятия и алгоритмы, индивидуальное затруднение в деятельности.

• Ученики дают определение логарифма (Слайд 3). Акцент делается на ОДЗ. Далее выполняют тест № 1. (Слайды 4–5.) с самопроверкой и самооценкой.

• Ученики называют 5 известных им методов решения уравнений, пути решения, их недостатки и преимущества (Слайды 6–7).

• Ученики выполняют тест 2 на замену логарифмического уравнения равносильным уравнением или равносильной системой с последующей самопроверкой и самооценкой (Слайд 8).

• Работа учащихся в парах. (Слайды 9–10). Задания: прорецензировать решение уравнения и решить 6 уравнений. После проверки – самооценка работы в паре.

В ходе решения уравнений ученики сталкиваются с интеллектуальным затруднением! Им не решить последнее уравнение.

3-й этап. Постановка учебной задачи. (4 мин.)

На основе затруднения учащимся предлагается сформулировать цель урока и задачи для достижения этой цели.

Проблемная беседа. Назовите проблему. (Не хватает изученных методов для решения последнего уравнения.) Какую цель ставите перед собой? (Открыть новый метод решения логарифмических уравнений.)

4-й этап. Открытие нового знания (10 мин.)

Целевая установка. Организовать решение исходной задачи, зафиксировать преодоление затруднения.

Учащиеся работают в группах с заданием решить уравнение x lgx =100x;

При необходимости учитель отдельным группам делает подсказку: как lg x можно сделать из показателя степени множителем? Вспомните свойство логарифма.

Ученики, открывшие новый метод, комментируют его на исходном примере. (Слайд 11.) Новый метод называется логарифмированием.

5-й этап. Первичное закрепление во внешней речи. (10 мин.)

Целевая установка. Организовать усвоение учащимися нового метода решения уравнений.

Фронтальная письменная работа с комментированием. Слайды 12–13.

Зарядка для глаз. Слайды 14–15.

6-й этап. Самостоятельная работа с самопроверкой. (15 мин.)

Целевая установка. Учить учащихся, опираясь на полученные знания, самостоятельно работать.

Учащиеся, сидя по одному, решают 3 уравнения с самопроверкой и самооценкой. Слайды 16–15.

7-й этап. Включение новых знаний в систему знаний. (10 мин.)

Целевая установка. Учить оперировать знаниями, развивать гибкость использования знаний.

Учащимся предлагается назвать все методы решения уравнений. Слайд18.

Затем предлагается тест с самооценкой. Слайды 19–20.

Николаева Анна рассказывает решение нестандартного уравнения с ЕГЭ (часть 2)

8-й этап. Интересные факты про логарифмы. (10 мин.)

Целевая установка. Развивать познавательный интерес к математике.

Презентация ученицы Крутяковой Кристины “Логарифмическая спираль”. Слайды 22–31.

Презентация учителя “Два черных ящика”. Слайды 32–36. (О логарифмических таблицах и логарифмической линейке.)

9-й этап. Домашнее задание. Рефлексия учебной деятельности. (5 мин.)

Целевая установка. Подвести итог урока.

Дома ученикам предлагается составить 6 уравнений, решаемые разными методами,

прорешать их и составить из этих уравнений кодированную карточку для кабинета математики. Учащиеся дают оценку своей деятельности на уроке. Слайды 37–38.