Методы решения логарифмических уравнений перечислить

Логарифм. Основные способы решения логарифмических уравнений.

Логарифмическими уравнениями называют уравнения, в котором представлены неизвестные величины под знаком логарифма.

Логарифмические уравнения, так же как и показательные, относятся к трансцендентным.

Самым простым логарифмическим уравнением представлено уравнение следующее непосредственно из формулировки логарифма:

где а и b — заданные числа,

х — неизвестная переменная.

Если а – не отрицательное и не равное единице число, то у такого уравнения существует единственный корень:

При решении более трудных логарифмических уравнений, обыкновенно, приводим их или к решению алгебраических уравнений, или к решению уравнений типа Log_аx=b.

Проанализируем это на нескольких отдельных уравнениях.

Найдем корни уравнения:

Отталкиваясь от формулировки логарифма из вышеприведенного уравнения получаем, что:

решив его имеем х = 2.

х= 2 — решение указанного уравнения.

Для нахождения ответа аналогичных уравнений применяем нижеследующее свойство логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.

И соответственно имеем, что если только у данного уравнения есть корни, то они будут удовлетворять уравнению:

Осуществим подстановку для проверки при х = 5

Следовательно, х= 5 — корень выбранного уравнения.

При х = -4 левая и правая части данного уравнения не существуют, поскольку x 2 — 17= — 1 2 x — 3log₃x — 10 = 0.

Если log₃x приравнять к у, то уравнение станет квадратным:

решив его получим:

Выполнив проверку видим, что эти две величины будут решением выбранного уравнения.

Отдельные уравнения решаются методом почленного логарифмирования. Так же в случае необходимости применяют формулу для перехода от одного основания логарифмов к другому.

Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению $f(x)=g(x)$ с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида $\log_a f(x)=\log_a g(x)$

Неравенства $ \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end $ в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для $x$ в явном виде;
2) решить уравнение $f(x)=g(x)$;
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения $f(x)$ и $g(x)$ слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение $f(x)=g(x)$;
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для $f(x)$ и $g(x)$, и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение $\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)$
Найдем ОДЗ в явном виде:
$ \begin 2x+3\gt 0\\ x+4\gt 0\\ 1-2x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt-\frac32\\ x\gt-4\\ x\lt\frac12 \end \Rightarrow -\frac32\lt x\lt\frac12\Rightarrow x\in\left(-\frac32;\frac12\right) $
Решаем уравнение:
$\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)$
$(2x+3)(x+4)=1-2x$
$2x^2+11x+12-1+2x=0$
$2x^2+13x+11=0$
$(2x+11)(x+1)=0$
$ \left[ \begin x_1=-5,5\\ x_2=-1 \end \right. $
Корень $x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),$ т.е. не подходит.
Корень $x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)$ — искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида $\log_ f(x)=\log_ g(x)$

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение $\log_(x^2-4)=\log_(2-x)$
Найдем ОДЗ в явном виде:
$ \begin x^2-4\gt 0\\ 2-x\gt 0\\ x+5\gt 0\\ x+5\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt -2\cup x\gt 2\\ x\lt 2\\ x\gt -5\\ x\ne -4 \end \Rightarrow \begin -5\lt x\lt -2\\ x\ne -4 \end \Rightarrow x\in (-5;-4)\cup(-4;-2) $
Решаем уравнение:
$x^2-4=2-x$
$x^2+x-6=0$
$(x+3)(x-2)=0$
$ \left[ \begin x_1=-3\\ x_2=2 — \ \text <не подходит>\end \right. $
Ответ: -3

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Например:
Решим уравнение $\log_<2>(x+1)=\log_<4>(x+3)$
Основания $2\ne 4$, и нельзя сразу написать $x+1=x+3$.
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
$\log_2(x+1)=\log_<2^2>(x+1)^2=\log_4(x+1)^2$
Тогда исходное уравнение примет вид: $\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)$
И теперь: $(x+1)^2=x+3$
$x^2+x-2=0$
$(x+2)(x-1)=0$
$ \left[ \begin x_1=-2\\ x_2=1 \end \right. $
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
$ \begin x+1\gt 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\gt -1 $
Корень $x_1=-2\lt -1$ — не подходит.
Ответ: 1

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) $ \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 $
ОДЗ: $ \begin x+1\gt 0\\ x-1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow x\gt 1 $
$\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22$
$x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3$
$ \left[ \begin x_1=-\sqrt<3>\lt 2 — \text<не подходит>\\ x_2=\sqrt <3>\end \right. $
Ответ: $\sqrt<3>$

б) $ 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) $
ОДЗ: $ \begin x-1\gt 0\\ 1,5x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt-\frac23 \end \Rightarrow x\gt 1 $
Преобразуем: $2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2$
Получаем: $\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)$
$(x-1)^2=1,5x+1$
$x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0$
$ \left[ \begin x_1=0\lt 1 — \text<не подходит>\\ x_2=3,5 \end \right. $
Ответ: 3,5

в) $ \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 $
ОДЗ: $ \begin 3-x\gt 0\\ 4-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 3\\ x\lt 4 \end \Rightarrow x\lt 3 $
Преобразуем: $1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12$
Получаем: $\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12$
$(3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0$
$ \left[ \begin x_1=0\\ x_2=7\gt 3 — \text <не подходит>\end \right. $
Ответ: 0

г) $ \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 $
ОДЗ: $x\gt 0$
$\log_2x^2=2\log_2x$
Получаем: $\log_2^2x+2\log_2x+1=0$
Замена: $t=\log_2 x$
$t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1$
Возвращаемся к исходной переменной: $\log_2x=-1$
$x=2^<-1>=\frac12$
Ответ: $\frac12$

д) $ x^<\lg x>=10 $
ОДЗ: $x\gt 0$
Замена: $t=\lg ⁡x$. Тогда $x=10^t$
Подставляем:
$(10^t)^t=10\Rightarrow 10^=10^1\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1$
Возвращаемся к исходной переменной:
$ \left[ \begin \lg x=-1\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-1>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,1\\ x_2=10 \end \right. $
Оба корня подходят.
Ответ:

e) $ \sqrt\cdot \log_5(x+3)=0 $
ОДЗ: $ \begin x\geq 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\geq 0\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\geq 0 $
$ \left[ \begin \sqrt=0\\ \log_5(x+3)=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x+3=5^0=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. $
Ответ: 0

ж) $ \log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(x+1) $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0\\ x+1\gt 0\\ 5x-2\gt 0\\ 5x-2\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\gt -1\\ x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end $
Преобразуем: $\log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(2x^2)$
Подставляем: $\log_<5x-2>(2x^2)=\log_<5x-2>(x+1)$
$ 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin x_1=-\frac12 — \text<не подходит>\\ x_2=1 \end \right. $
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) $ \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 $
ОДЗ: $ \begin 2x-1\gt 0\\ \log_3(2x-1)\gt 0\\ \log_2\log_3(2x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ 2x-1\gt 3^0\\ \log_3(2x-1)\gt 2^0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ 2x-1\gt 3^1 \end \Rightarrow $
$ \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ x\gt 2 \end \Rightarrow x\gt 2 $
Решаем:
$\log_2\log_3(2x-1)=4^<1/2>=2$
$\log_3(2x-1)=2^2=4$
$2x-1=3^4=81$
$2x=82$
$x=41$
Ответ: 41

б) $ \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> $
ОДЗ: $ \begin 9-2x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2^x\lt 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\lt\log_2 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow x\lt 3 $
Преобразуем: $25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x$
Подставляем: $\log_2(9-2^x)=3-x$
$9-2^x=2^<3-x>$
$9-2^x-\frac<8><2^x>=0$
Замена: $t=2^x\gt 0$
$ 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>=0\Rightarrow \begin t^2-9t+8\gt 0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \begin (t-1)(t-8)=0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=8 \end \right. $
Возвращаемся к исходной переменной:
$ \left[ \begin 2^x=1\\ 2^x=8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2^x=2^0\\ 2^x=2^3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=3 \end \right. $
По ОДЗ $x\lt 3$, второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) $ \lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>+1=\lg 30 $
ОДЗ: $ \begin x-5\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 5\\ x\gt\frac32 \end \Rightarrow x\gt 5 $
Преобразуем: $\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac<30><10>=\lg 3$
Подставляем: $\lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>=\lg 3$
$\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2$
$\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3$
$\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2$
$(x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0$
$ (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin x_1=\frac12\lt 5 — \ \text<не подходит>\\ x_2=6 \end \right. $
Ответ: 6

г) $ \frac<1><\lg x>+\frac<1><\lg 10x>+\frac<3><\lg 100x>=0 $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0\\ \lg x\ne 0\\ \lg 10x\ne 0\\ \lg 100x\ne 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne 1\\ 10x\ne 1\\ 100x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne\left\<\frac<1><100>;\frac<1><10>;1\right\> \end $
Преобразуем: $\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10$
$\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x$
Подставляем: $\frac<1><\lg x>+\frac<1><1+\lg x>+\frac<3><2+\lg x>=0$
Замена: $t=\lg x$
\begin \frac1t+\frac<1><1+t>+\frac<3><2+t>=0\Rightarrow \frac1t+\frac<1><1+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow \frac<1+t+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2\Rightarrow 5t^2+8t+2=0\\ D=8^2-4\cdot 5\cdot 2=24,\ \ t=\frac<-8\pm 2\sqrt<6>><10>=\frac<-4\pm \sqrt<6>> <5>\end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ \lg x=\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ x=10\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: $\left\<10\frac<-4\pm\sqrt<6>><5>\right\>$

e) $ x^<\frac<\lg x+7><4>>=10^ <\lg x+1>$
ОДЗ: $x\gt 0$
Замена: $t=\lg x.$ Тогда $x=10^t$
Подставляем: \begin (10^t)^<\frac<4>>=10^\\ \frac<4>=t+1\Rightarrow t(t+7)=4(t+1)\Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\\ t^2+3t-4=0\Rightarrow (t+4)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-4\\ t_2=1 \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=-4\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-4>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,0001\\ x_2=10 \end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: $\left\<0,0001;\ 10\right\>$

ж) $ 4^<\log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <\log_3 2>$
ОДЗ: $ \begin 1-x\gt 0\\ 2x^2+2x+5\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ D\lt 0,\ x\in\mathbb \end \Rightarrow x\lt 1 $
По условию: \begin \log_3(1-x)=\log_4\left((2x^2+2x+5)^<\log_32>\right)\\ \log_3(1-x)=\log_32\cdot\log_4(2x^2+2x+5) \end Перейдем к другому основанию: $$ \frac<\lg(1-x)><\lg 3>=\frac<\lg 2><\lg 3>\cdot\frac<\lg(2x^2+2x+5)><\lg 4>\ |\cdot\ \lg 3 $$ $\frac<\lg 2><\lg 4>=\frac<\lg 2><\lg 2^2>=\frac<\lg 2><2\lg 2>=\frac12$ \begin \lg(1-x)=\frac12\cdot\lg(2x^2+2x+5)\ |\cdot 2\\ 2\lg(1-x)=\lg(2x^2+2x+5)\\ \lg(1-x)^2=\lg(2x^2+2x+5)\\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\\ x^2+4x+4=0\\ (x+2)^2=0\\ x=-2 \end Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) $ \begin \lg x+\lg y=\lg 2\\ x^2+y^2=5 \end $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0\\ y\gt 0 \end $
Из первого уравнения: $\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2$
Получаем: $ \begin xy=2\\ x^2+y^2=5 \end \Rightarrow \begin y=\frac2x\\ x^2+\left(\frac2x\right)^2-5=0 \end $
Решаем биквадратное уравнение: \begin x^2+\frac<4>-5=0\Rightarrow\frac=0\Rightarrow \begin x^4-5x^2+4=0\\ x\ne 0 \end \\ (x^2-4)(x^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x^2=4\\ x^2=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm 2\\ x=\pm 1 \end \right. \end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: $ \left[ \begin \begin x=1\\ y=\frac2x=2 \end \\ \begin x=2\\ y=\frac22=1 \end \end \right. $
Ответ: $\left\<(1;2),(2,1)\right\>$

б) $ \begin x^=27\\ x^<2y-5>=\frac13 \end $
ОДЗ: $x\gt 0,\ x\ne 1$
Логарифмируем: $ \begin y+1=\log_x27=\log_x3^3=3\log_x3\\ 2y-5=\log_x\frac13=\log_x3^<-1>=-\log_x3 \end $
Замена: $z=\log_x3$ \begin \begin y+1=3z\\ 2y-5=-z\ |\cdot 3 \end \Rightarrow \begin y+1=3z\\ 6y-15=-3z \end \Rightarrow \begin 7y-14=0\\ z=5-2y \end \Rightarrow \begin y=2\\ z=1 \end \end Возвращаемся к исходной переменной: $$ \begin y=2\\ \log_x3=1 \end \Rightarrow \begin x^1=3\\ y=2 \end \Rightarrow \begin x=3\\ y=2 \end $$
Ответ: (3;2)

в*) $ \begin 3(\log_y x-\log_x y)=8\\ xy=16 \end $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0,\ x\ne 1\\ y\gt 0,\ y\ne 1 \end $
Сделаем замену $t=\log_x y$. Тогда $\log_y x=\frac<1><\log_x y>=\frac1t$
Подставим в первое уравнение и решим его: \begin 3\left(\frac1t-t\right)=8\Rightarrow\frac<1-t^2>=\frac83\Rightarrow \begin 3(1-t^2)=8t\\ t\ne 0 \end\\ 3t^2+8t-3=0\Rightarrow (3t-1)(t+3)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac13\\ t_2=-3 \end \right. \end Прологарифмируем второе уравнение по $x$: $$ \log_x(xy)=\log_x16\Rightarrow 1+\log_x y=\log_x16\Rightarrow 1+t=\log_x 16 $$ Получаем: \begin \left[ \begin \begin t=\frac13\\ \log_x16=1+t=\frac43 \end \\ \begin t=-3\\ \log_x16=1+t=-2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x^<\frac43>=16 \end \\ \begin t=-3\\ x^<-2>=16 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x=(2^4)^<\frac34>=2^3=8 \end \\ \begin t=-3\\ x=(16)^<-\frac12>=\frac14 \end \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin \begin x=8\\ \log_x y=\frac13 \end \\ \begin x=\frac14\\ \log_x y=-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x=8\\ y=8^<\frac13>=2 \end \\ \begin x=\frac14\\ y=\left(\frac14\right)^<-3>=64 \end \end \right. \end
Ответ: $\left\<(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\>$

г*) $ \begin (x+y)\cdot 3^=\frac<5><27>\\ 3\log_5(x+y)=x-y \end $
ОДЗ: $x+y\gt 0$
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin \log_3\left((x+y)\cdot 3^\right)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)+(y-x)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>=x-y \end Получаем:$x-y=3\log_5(x+y)=\log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>$
Решим последнее уравнение относительно $t=x+y$ \begin 3\log_5 t=\log_3 t-\log_3\frac<5><27>\\ 3\cdot\frac<\log_3t><\log_35>-\log_3t=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t\cdot\left(\frac<3><\log_35>-1\right)=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t=-\frac<\log_3\frac<5><27>><\frac<3><\log_35>-1>=-\frac<(\log_35-3)\log_35><3-\log_35>=\log_35\\ t=5 \end Тогда: $x-y=3\log_5t=3\log_55=3$
Получаем систему линейных уравнений: \begin \begin x+y=5\\ x-y=3 \end \Rightarrow \begin 2x=5+3\\ 2y=5-3 \end \Rightarrow \begin x=4\\ y=1 \end \end Требование ОДЗ $x+y=4+1\gt 0$ выполняется.
Ответ: (4;1)

Методы решения логарифмических уравнений — какие существуют и как выбрать подходящий

Методы решения логарифмических уравнений — список методов

В первую очередь перечислим методы решения логарифмических уравнений, характерные именно для уравнений этого вида:

Также для решения логарифмических уравнений используются практически все изученные к этому моменту методы решения уравнений, причем наиболее часто применяется метод введения новой переменной и метод разложения на множители.

Методы решения логарифмических уравнений — как выбрать подходящий

Как видите, методов решения логарифмических уравнений довольно много. Здесь возникает вопрос выбора подходящего метода решения для каждого заданного логарифмического уравнения. Давайте разбираться, как выбрать подходящий метод решения.

По большому счету, выбор метода решения данного логарифмического уравнения – это последовательный перебор всех известных методов с прикидкой возможности их использования. А прикидка возможности использования того или иного метода решения – это исследование уравнения на предмет того, соответствует ли оно условиям применимости данного метода. При хорошем владении методами решения и должной практике такой перебор с прикидкой проводится очень быстро и рационально. Но давайте разберем этот процесс изнутри.

Начать следует с повторения условий применимости всех методов, которые используются для решения логарифмических уравнений, а также стоит для каждого метода привести примеры характерных логарифмических уравнений. Во многих случаях этого уже будет достаточно, чтобы выбрать подходящий метод решения:

Здесь уместно привести ссылку на материал решение логарифмических уравнений, там есть решения почти всех логарифмических уравнений, фигурирующих выше.

Теперь давайте пошагово рассмотрим процесс перебора методов с прикидкой возможности их применения. Для этого обратимся к конкретному примеру.

Пусть нам для решения дано логарифмическое уравнение lgx·(log₂(x+9)−3)=0 . Каким методом его решать? Для ответа на этот вопрос начинаем по очереди перебирать известные методы решения логарифмических уравнений и прикидывать возможность их применения. Метод решения простейших логарифмических уравнений не подходит, так как заданное уравнение не является простейшим логарифмическим log_ax=b . Что насчет метода решения по определению логарифма? Как известно, этот метод используется для решения уравнений log_af(x)=b и log_h(x)f(x)=g(x) , а наше уравнение не такое. Метод потенцирования нас тоже не устраивает, так как он предназначен для решения уравнений log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) , а заданное нам уравнение имеет другую структуру. Следующий по очереди – метод разложения на множители. Он применяется для решения уравнений, в левой части которых находится произведение нескольких выражений с переменной, а в правой — нуль. В данном нам логарифмическом уравнении lgx·(log₂(x+9)−3)=0 левая часть есть произведение двух выражений с переменной lgx и log_x(x+9)−3 , а правая – нуль. Значит, можно пробовать решить заданное логарифмическое уравнение методом разложения на множители.

А что делать, если перебор методов решения логарифмических уравнений с прикидкой возможности их применения не позволил определиться с методом решения. В таком случае, почти наверняка, заданное логарифмическое уравнение нуждается в преобразовании. Так что самое время начать разбираться в тем, как проводится преобразование логарифмических уравнений

источники:

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/logarifmicheskie-uravneniya-i-sistemy/

http://www.cleverstudents.ru/equations/methods_for_solving_logarithmic_equations.html