Методы решения логарифмических уравнений по мордковичу

Разработка блока уроков по теме «Логарифмические уравнения» с применением интегральной технологии (УМК А.Г. Мордкович. Алгебра 10-11).
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Конспекты уроков по теме: «Логарифмические уравнения».

Скачать:

Предварительный просмотр:

ТЕМА УРОКА: ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТИП УРОКА: ВВОДНОЕ ПОВТОРЕНИЕ

МЕТОД ОБУЧЕНИЯ: СЛОВЕСНЫЙ

ФОРМА ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: БЕСЕДА

ЦЕЛЬ: ПОВТОРЕНИЕ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА, ВОССТАНОВЛЕНИЕ В ПАМЯТИ ВСЕГО НЕОБХОДИМОГО ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА

ЗАДАЧИ: ПОВТОРИТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ, ФОРМУЛУ ПЕРЕХОДА К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ, РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ И УЧАЩИХСЯ

ЗАПИСЬ ДАТЫ И ТЕМЫ УРОКА.

ПРИМЕРЫ КОММЕНТИРУЮТСЯ С МЕСТА УЧАЩИМИСЯ

В связи с изучением на следующем уроке темы «Логарифмические уравнения» целесообразно повторить такие темы как: показательная функция, показательные уравнения, логарифмы и их свойства. Повторение проведем в виде беседы, а затем проверим свои знания, используя таблицу с примерами.

Фронтальная беседа по вопросам:

1. Дать определение уравнения, корня уравнения.
2. Что значит решить уравнение?
3. Какие уравнения называются равносильными?
4. Какое уравнение называется показательным?
5. Как решить показательное уравнение?
6. Дать определение логарифма.
7. Перечислить свойства логарифмов.
8. Записать основное логарифмическое тождество и формулу перехода к новому основанию
9. К чему приводят неравносильные преобразования в уравнении?

10.Какая функция называется логарифмической? Перечислите свойства логарифмической функции.

Повторение этих вопросов можно провести с помощью таблиц:

Корнем уравнения называется значение переменной, которое обращает уравнение в верное числовое равенство

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными

Неравносильные преобразования могут привести к:

Появлению посторонних корней

Линейные уравнения (приводимые к виду )

Квадратные уравнения (приводимые к виду )

— дискриминант квадратного уравнения

Неполные квадратные уравнения

Если решений нет;

, тогда и только тогда, когда .

Основное логарифмическое тождество:

не определен, т. к. ,

не определен, т. к. ,

не определен, т. к. не выполняется условие .

один промежуток монотонности

один промежуток монотонности

Повторить определение, свойства логарифмов,

логарифмическую функцию ее свойства и график.

Предварительный просмотр:

ТЕМА УРОКА: ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТИП УРОКА: УСВОЕНИЕ НОВЫХ ЗНАНИЙ

МЕТОД ОБУЧЕНИЯ: СЛОВЕСНЫЙ

ФОРМА ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: ЛЕКЦИЯ

ЦЕЛЬ: ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ЗАДАЧИ: ПОЗНАКОМИТЬСЯ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ,

НАУЧИТЬСЯ ОТЛИЧАТЬ ИХ ОТ ДРУГИХ,

НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,

РАЗВИТИЕ УМЕНИЯ ПРЕОДОЛЕВАТЬ ТРУДНОСТИ,

РАЗВИТИЕ УМЕНИЯ СЛУШАТЬ.

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ И УЧАЩИХСЯ

Изучение нового материала

Запись даты и темы урока. Нацелить учащихся на урок.

Задание классу: Решите уравнения

Проверяют 1.х=4; 2.х=0,2; 3.х=0; 4.х=

Дается определение логарифмического уравнения:

УРАВНЕНИЕ, СОДЕРЖАЩЕЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ ЛОГАРИФМА, НАЗЫВАЕТСЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ.

Простейшим примером логарифмических уравнений служит уравнение = в, где а 0, а 1

Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x), при дополнительном условии f(x)>0, g(x)>0.

Отметим, что переход от уравнения к уравнению f(x)= g(x) иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить либо с помощью подстановки в исходное логарифмическое уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств f(x)>0 и g(x)>0)

При решении логарифмических уравнений часто полезен метод введения новой переменной.

Далее рассматриваются основные методы решения.

Рассмотреть на примерах решение логарифмических уравнений

Метод, основанный на определении логарифма.

«Логарифмические уравнения» по учебнику А. Г. Мордковича 11 класс

В данной работе представлены:

— таблица целей изучения темы «Логарифмические уравнения» 11 класс по учебнику А.Г.Мордковича, в которой полностью расписаны этапы достижения целей на каждом уровне, указаны средства помощи достижения целей;

— карта изучения темы. Предложенная карта поможит учителю построить изучение темы таким образом, чтобы учащиеся смогли использовать полученные знания для построения самостоятедьгной работы.

Просмотр содержимого документа
««Логарифмические уравнения» по учебнику А. Г. Мордковича 11 класс »

«Логарифмические уравнения» по учебнику А. Г. Мордковича 11 класс

Разработала Кузнецова Наталья Николаевна

МОУ «Гимназия № 5»

мкр. Юбилейный г. Королева

Таблица целей обучения теме «Логарифмические уравнения» по учебнику А. Г. Мордковича 11 класс

Формулировки обобщённых целей

Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель

цель считается достигнутой, если Вы на уровнях:

на первом уровне

на втором уровне

на третьем уровне

Ц 1: приобретение и преобразование УИ, формирование ПУД

а) сравниваете уравнения по заданным признакам;

б) составляете схему определения понятий конкретного типа уравнения с использованием учебника (др. помощи);

в) сравниваете решение однородных уравнений 1-го уровня сложности.

а) составляете схему определения понятия конкретного типа уравнения с использованием набора объектов;

б) выполняете анализ и выявляете преобразования, нужные для решения уравнения, с использованием помощи;

в) обобщаете решение уравнений одного типа.

а) даёте определение типов уравнений, составляет классификацию типов уравнений; набор уравнений;

б) выполняете анализ и выявляет преобразования, нужные для решения уравнений;

в) составляете приёмы решения уравнений данного типа с помощью указаний.

а) общая схема определения понятия;

б) классификация типов выражений, функций, уравнений

Ц 2: контроль усвоения теории

а) определение уравнения, классификацию и определение типов уравнений;

б) стандарты уравнений каждого типа и их решение;

в) преобразования групп «А», «В,, «С»;

г) способы выполнения проверки;

д) приемы графического решения уравнения;

е) способы раскрытия модуля;

ж) прием саморегуляции

а) информационные схемы;

Ц 3: применение знаний и умений

а) использовать основные преобразования для решения простейших уравнений в соответствии со стандартами

а) использовать все преобразования для решения уравнений;

б) выполнять задания с 2-го уровня сложности.

а) функциональный метод для решения уравнений;

б) выполнять задания 3-го уровня сложности

1) приём саморегуляции, предписания;

2) классификация уравнений, их решение;

Ц 4: формирование КУД

на своем уровне освоения темы:

а) работаете в группе, оказываете взаимопомощь, рецензируете ответы товарищей;

б) организуете взаимоконтроль, взаимопроверку и др. на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием;

в) оказываете помощь товарищам, работающим на предыдущих уровнях;

г) осуществляете поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой, используя правила коммуникативного взаимодействия

а) приёмы контроля, оценки;

б) таблица коммуникативной компетентности

Ц 5: формирование общих ПУД и РУД

в соответствии со своим уровне освоения темы:

а) выбираете уровни достижения целей и формулируете цели своей учебной деятельности;

б) выбираете задачи и решаете их;

в) осуществляете самопроверку с использованием образцов, приёмов;

г) составляете контрольную работу для своего уровня усвоения;

д) оцениваете свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями;

е) делаете выводы о дальнейших действиях, планирует коррекцию учебно-познавательной деятельности

приёмы саморегуляции УПД

УИ — учебная информация; ПУД – познавательные; КУД – коммуникативные; РУД – регулятивные учебные действия, УПД – учебно-познавательная деятельность.

Карта изучения темы «Логарифмические уравнения»

При использовании методики дидактических задач учитель на подготовительной фазе продумывает и планирует учебную ситуацию до мелочей, но в конкретной ситуации, как правило, ограничивается ролью консультанта. Здесь методической стороной учения являются тема и результат совместной беседы. Обучение, ориентированное на действие, предполагает сочетание самых разных способов взаимодействия на учебных занятиях, в основе которых лежит индивидуальное приобретение и присвоение знаний.

Методика дидактических задач позволяет строить процесс обучения в рамках деятельного подхода, развивать мышление учащихся, умение разрабатывать.

При изучении какой-либо темы по математике следует ознакомить учащихся с картой целей и учебных задач, на основе которых учитель составляет карту соответствующей темы, что позволяет ученику: выбрать уровень усвоения темы, дополнительный материал для самостоятельного изучения по теме, определить цели и средства освоения цели, то есть построить собственную образовательную траекторию.

Логическая структура и цели изучения темы (таблица целей)

Блок актуализации знаний учащихся

Знать: 1) основное логарифмическое тождество;

2) определение логарифма;

3) свойства логарифмов;

4) методы решения логарифмических уравнений;

5) алгоритм построения графика логарифмической функций.

а) использовать все преобразования для решения логарифмических уравнений разных уровней сложности;

б) выполнять задания с использованием графиков логарифмических функций разных уровней сложности.

3. Основные понятия, теоремы, типы задач, методы, изучаемые в теме (Ц 1, 2)

Определения логарифма, логарифмического уравнения. Теорема о равносильности. Методы решения логарифмических уравнений.

4. Образцы заданий итоговой самостоятельной работы (Ц 5)

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.