Методы решения логарифмических уравнений теория

Тема 13. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Теория.Ключевые методы решения задач.Упражнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным экзаменам по математике в вузы, проводимым как в форме письменных контрольных работ, так и в форме тестирований.

Имея многолетний положительный опыт подготовки школьников и абитуриентов к экзаменам по математике, проводимым в разных формах, считаю целесообразным поделиться своими разработками со всеми заинтересованными в них лицами.

Тема13″Логарифмическиеуравнения» содержит теоретические сведения, систематизированный набор ключевых методов решения типовых задач, сопровождающихся подробным разбором решений. По каждому методу приводятся упражнения с ответами для закрепления изучаемого материала.

Материал будет полезен для использования учителями общеобразовательных учреждений на элективных курсах и факультативных занятиях по математике для подготовки учащихся к ЕГЭ, абитуриентов при подготовке к вступительным экзаменам в вузы.

Скачать:

Вложение	Размер
tema_13._logarifmicheskie_uravneniya.docx	117.61 КБ

Предварительный просмотр:

Тема 13. Логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени , в которую надо возвести основание , чтобы получить число , то есть из следует и наоборот.

.
— запись числа через логарифм.
— основное логарифмическое тождество.
— формула перехода к логарифму по основанию
.

Основные методы решения логарифмических уравнений.

I. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида

Решить уравнение. 1) .

2) .

Решение. По определению логарифма: Получаем

II. Метод потенцирования.

Сущность метода в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду Это уравнение ( при равносильно системе

Решение. ОДЗ (область допустимых значений переменной): . Преобразуем исходное уравнение

-удовлетворяет условию (1).

не удовлетворяет ОДЗ, удовлетворяет ОДЗ.

Решение. ОДЗ:

Найдем связь между основаниями логарифмов. По формуле разности кубов получаем

Значение удовлетворяет ОДЗ, не удовлетворяет ОДЗ.

III. Метод введения неизвестного (подстановка).

Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного уравнения.

Решить уравнение. 1)

Решение. ОДЗ В первом слагаемом перейдем к основанию 25, воспользовавшись формулой Получим . Так как , т.е. то умножив обе части уравнения на получим . Введем новую переменную, обозначив Получим квадратное уравнение относительно нового неизвестного :

. Решая его, находим Используя обозначение получаем

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Решение. ОДЗ С учетом ОДЗ раскроем модуль, получим Обозначим приходим к квадратному уравнению Тогда

Найденные значения удовлетворяют уравнению.

IV. Метод приведения к одному основанию.

Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Часто метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

Примеры. Решить уравнение.

Решение. ОДЗ: . Перейдем к основанию 2, используя формулу , получим

Найденное значение удовлетворяет ОДЗ.

Решение. ОДЗ: Переходим к основанию 2, используя формулу .

Тогда исходное уравнение перепишется так

. Обозначим , получим уравнение

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

V. Метод логарифмирования.

Уравнения, содержащие неизвестную величину как в основании, так и в показателе степени, решают, логарифмируя левую и правую части по некоторому основанию. Основание логарифмирования выбирают по виду конкретного уравнения.

Примеры. Решить уравнение.

Решение. В данном задании целесообразно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10, поскольку в условии уже имеется десятичный логарифм.

Получаем , откуда Введем новую переменную . Тогда полученное уравнение перепишется в виде (учитывая, что )

Решение. ОДЗ: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию .

Тогда Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

ТЕМА 1. Рациональные уравнения. Теория. Ключевые методы решения задач.Упражнения.

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э.

Тема 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.

Тема 3. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА. Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.

Тема 9. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.

Темы 10,11. ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ.ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.

Тема 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Теория.Ключевые методы решения задач.Упражнения.

Тема 14. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА.Теория.Ключевые методы решения задач. Упражнения.

Логарифмические уравнения

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

$log_<2>8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$

Особенно можно выделить три формулы:

Основное логарифмическое тождество:

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$

Некоторые свойства логарифмов

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:

2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_b>0$, а если по разные, то $log_b 0$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям: $\<\table \x^2-3x-5>0; \7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.

Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$

Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

ОДЗ данного уравнения $x+1>0$

Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

источники:

http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/logarifmicheskie_uravneniya

http://urok.1sept.ru/articles/313550