Методы решения нелинейных интегральных уравнений

Решение нелинейных двумерных интегральных уравнений теории параболических краевых задач Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тында Александр Николаевич, Тында Ольга Вячеславовна

Работа посвящена численному решению двумерных интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма, к которым сводится ряд нелинейных параболических краевых задач . Предложен итерационный метод, основанный на предварительной линеаризации нелинейного интегрального оператора и аппроксимации решения полиномиальными сплайнами. Приведены численные примеры.

Текст научной работы на тему «Решение нелинейных двумерных интегральных уравнений теории параболических краевых задач»

А. Н. Тында, О. В. Тында

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Аннотация. Работа посвящена численному решению двумерных интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма, к которым сводится ряд нелинейных параболических краевых задач. Предложен итерационный метод, основанный на предварительной линеаризации нелинейного интегрального оператора и аппроксимации решения полиномиальными сплайнами. Приведены численные примеры.

Ключевые слова: интегральные уравнения смешанного типа, метод Ньютона-Канторовича, аппроксимация сплайнами, параболические краевые задачи.

1. Постановка задачи

В статье [1] рассматриваются интегральные уравнения смешанного типа, находящие применение, в частности, при описании процессов распространения эпидемий и в теории нелинейных параболических краевых задач [2, 3].

x (t, s) = f (t, s) + jjH(t, s, Ti, T2, x (Ti, T2))d T2

Таким образом, метод можно записать в виде

F X x°(t Mxm +l(t ) = — F ( xm X Axm +l = xm +l — xm, или в развернутой форме

xm+l(t,s) — jjHx(t,s,Tl,T2,x°(Tl,T2))xm+l(Tl,T2)dT2dTl = Фm(t,s),

Фm(t,s) = f (t,s) + jj[H(t,s,Tl,T2,xmK,T2)) —

— Hx (t, s, Tl, T2, x° (Tl, T2)) xm (Tl, T2)]d T 2d Tl, m = O, l, .

Уравнения (5) являются линейными интегральными уравнениями Вольтерра-Фредгольма относительно неизвестной функции xm+l(t, s). При этом ядра уравнений

остаются неизменными на каждой итерации. Решения для (5) на каждой итерации будем искать в виде полиномиального сплайна, коэффициенты которого определяются с помощью сплайн-коллокационного метода, подобного построенному в работах [5, 6], или с помощью метода последовательных приближений. Для аппроксимации интегралов, возникающих в процессе дискретизации, применяются повторные кубатурные формулы типа Гаусса.

3. Численные эксперименты

Проиллюстрируем работу метода на примере решения некоторых модельных задач для различных ядер.

Аппроксимация кратных интегралов. Сначала приведем результаты аппроксимации интегралов кубатурными формулами типа Гаусса по четырем узлам. В качестве модельного интеграла возьмем

jj 21 + s—dsdt = ln3-—+ 2\/2arctan—. (6)

В табл. l приведены абсолютные погрешности приближенного вычисления интеграла (6) при различных значениях числа разбиений N по каждой из координат t и s.

е 4.69e-°6 7.°e-l2 2.49e-l4 3.32e-l6

Актуальные вопросы естествознания

Линейное двумерное интегральное уравнение. На каждом шаге итерационного процесса (5) возникает необходимость в решении линейного интегрального уравнения Вольтерра-Фредгольма. Рассмотрим следующее модельное уравнение:

■- x(x1, т2 )dx2dx1 =(t + 2s)2—[3 arctan t + 4ln(t2 +1) + 3t ], (7)

точным решением которого является функция x (t,s) = (t + 2s)2, (t,s) e[o,1]2.

При вычислении интегралов использовались кубатурные формулы типа Гаусса-Кристофеля с одинаковым числом узлов r = 4 по каждому измерению.

Ниже используются следующие обозначения: N — число подобластей разбиения по каждой координате, m — число итераций Ньютона-Канторовича; n — число итераций метода последовательных приближений, применяемого на каждой итерации Ньютона-Канторовича; p — порядок аппроксимирующего сплайна xN (t, s);

Результаты для модельной задачи (7) приведены в табл. 2.

Нелинейное двумерное интегральное уравнение. Рассмотрим теперь нелинейное двумерное интегральное уравнение Вольтерра-Фредгольма:

точным решением которого является функция x *(t, s) = ln

Результаты для модельной задачи (8) при тех же самых обозначениях, что и в предыдущем примере, приведены в табл. 3.

Вестник Пензенского государственного университета № 3 (11), 2015

Окончание табл. 3

3 3 10 2 1.12e-04

5 3 10 2 2.47e-05

5 3 15 3 4.61e-07

10 2 15 3 3.05e-07

10 3 15 3 7.16e-08

20 3 10 3 1.35e-08

20 5 20 4 2.76e-09

Таким образом, предложен новый метод численного решения нелинейных интегральных уравнений смешанного типа. Анализ результатов решения модельных задач показывает эффективность предварительной линеаризации оператора при условии достаточной гладкости входящих в уравнение (2) функций.

1. Brunner, H. Time stepping methods for Volterra-Fredholm integral equations / H. Brunner, E. Messina // Rendiconti di Matematica, Serie VII. — Roma, 2003. — V. 23. — Р. 329-342.

2. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. — М. : Мир, 1987. — 311 с.

3. Pachpatte, B. G. Multidimensional integral equations and inequalities / B. G. Pachpatte. — Paris : Atlantis Press, 2011. — 245 p.

4. Kantorovich, L. V. Functional Analysis / L. V. Kantorovich, G. P. Akilov. — 2nd edition. — Pergamon, 1982. — 589 p.

5. Tynda, A. N. Spline-collocation technique for 2D weakly singular Volterra integral equations / A. N. Tynda // Bulletin of Middle-Volga Math. Society. — 2008. — V. 10, № 2. — Р. 68-78.

6. Tynda, A. N. Numerical methods for 2D weakly singular Volterra integral equations of the second kind / A. N. Tynda // PAMM. — 2008. — V.e 7, Is. 1 — P. 2020009-2020010.

Тында Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики,

Пензенский государственный университет E-mail: tynda@pnzgu.ru

Тында Ольга Вячеславовна

Пензенский государственный университет E-mail: olgat91@yandex.ru

УДК 517.9 Тында, А. Н.

Решение нелинейных двумерных интегральных уравнений теории параболических краевых задач /

А. Н. Тында, О. В. Тында // Вестник Пензенского государственного университета. — 2015. — № 3 (11). — C. 139-142.

Tynda Aleksandr Nikolaevich

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor,

sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Решение для n=100:

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500

Численные методы решения нелинейных уравнений

Если законы функционирования модели нелинейны, а моделируемые процесс или система обладают одной степенью свободы (т.е. имеют одну независимую переменную), то такая модель, как правило, описывается одним нелинейным уравнением.

Необходимость отыскания корней нелинейных уравнений встречается в расчетах систем автоматического управления и регулирования, собственных колебаний машин и конструкций, в задачах кинематического анализа и синтеза, плоских и пространственных механизмов и других задачах.

Дано нелинейное уравнение:

( 4.1)

Необходимо решить это уравнение, т. е. найти его корень .

Если функция имеет вид многочлена степени m,

где a_i — коэффициенты многочлена, , то уравнение f(x)=0 имеет m корней (рис. 4.2).

Если функция f(x) включает в себя тригонометрические или экспоненциальные функции от некоторого аргумента x , то уравнение (4.1) называется трансцендентным уравнением .

Такие уравнения обычно имеют бесконечное множество решений.

Как известно, не всякое уравнение может быть решено точно. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений .

Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решать произвольные алгебраические уравнения степени, выше четвертой.

Однако точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задачу отыскания корней уравнения можно считать практически решенной, если мы сумеем найти корни уравнения с заданной степенью точности . Для этого используются приближенные (численные) методы решения.

Большинство употребляющихся приближенных методов решения уравнений являются, по существу, способами уточнения корней. Для их применения необходимо знание интервала изоляции [a,b] , в котором лежит уточняемый корень уравнения (рис. 4.3).

Процесс определения интервала изоляции [a,b] , содержащего только один из корней уравнения, называется отделением этого корня.

Процесс отделения корней проводят исходя из физического смысла прикладной задачи, графически, с помощью таблиц значений функции f(x) или при помощи специальной программы отделения корней. Процедура отделения корней основана на известном свойстве непрерывных функций: если функция непрерывна на замкнутом интервале [a,b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)f(b) , то между точками a и b имеется хотя бы один корень уравнения (1). Если при этом знак функции f'(x) на отрезке [a,b] не меняется, то корень является единственным на этом отрезке.

Процесс определения корней алгебраических и трансцендентных уравнений состоит из 2 этапов:

отделение корней, — т.е. определение интервалов изоляции [a,b] , внутри которого лежит каждый корень уравнения;
уточнение корней, — т.е. сужение интервала [a,b] до величины равной заданной степени точности .

Для алгебраических и трансцендентных уравнений пригодны одни и те же методы уточнения приближенных значений действительных корней:

источники:

http://habr.com/ru/post/419453/

http://intuit.ru/studies/courses/2260/156/lecture/27239