Методы решения нелинейных уравнений эксель

Решение нелинейного уравнения в Excel

Разберём решение нелинейного уравнения в Excel вида:

y=4x 3 +2x–7

Ячейку A4 оставим пустой, а в ячейки B4 запишем формулу вида

Затем в Excel перейдём на вкладку Данные -> Поиск Решения

Открывается окно Параметры поиска решения. В поле оптимизировать целевую функцию выбираем ячейку B4, ставим Значения 0, ячейку переменной указываем A4, ставим галочку сделать переменные без ограничений неотрицательными, выбираем метод решения — поиск решения нелинейных задач методом ОПГ (обобщенного приведенного градиента) и жмем Найти решение

Получаем решение искомой задачи

x=1,06744215530327

Отчет результатов вычисления в Excel

1. Решение нелинейных уравнений в MS Excel

1.1 Отделение корней

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x *, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ) , с осью абсцисс.

Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f ( x )= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

1.2 Решение уравнений, используя инструмент “Подбор параметра”

Используя возможности Excel , можно находить корни нелинейного уравнения вида f ( x )=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится вычисление значений функции в диапазоне вероятного существования корней от значений аргумента, изменяющегося с определенным шагом;

2. В таблице выделяются ближайшие приближения к значениям корней (пары соседних значений функции с разными знаками);

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения.

2. Работа с матрицами в MS Excel . Решение систем уравнений.

Нахождение определителя матрицы

Перед нахождением определителя необходимо ввести матрицу в диапазон ячеек Excel в виде таблицы.

Для нахождения определителя матрицы в Excel необходимо:

· сделать активной ячейку, в которой в последующем будет записан результат;

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОПРЕД и нажать OK ;

· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы матрицы, и нажать OK .

Нахождение обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы необходимо

· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы матрицы ( количество строк и количество столбцов должны равняться соответствующим параметрам исходной матрицы).

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОБР и нажать OK ;

· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы исходной матрицы, и нажать OK .

· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .

Для перемножения матриц необходимо

· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы результирующей матрицы.

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МУМНОЖ и нажать OK ;

· на втором шаге задать два диапазона ячеек с элементами перемножаемых матриц, и нажать OK .

· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .

Решение системы уравнений в Excel .

Решение системы уравнений при помощи нахождения обратной матрицы.

Пусть дана линейная система уравнений.

Данную систему уравнений можно представить в матричной форме:

Матрица неизвестных вычисляется по формуле

где A -1 – обратная матрица по отношению к A .

Для вычисления уравнения в Excel необходимо:

· ввести матрицу A;

· ввести матрицу B;

· вычислить обратную матрицу по отношению к А ;

· перемножить полученную обратную матрицу с матрицей B .

Порядок выполнения работы

Задание 1

Найти все корни уравнения 2x 3 -15sin( x )+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

1. Построить таблицу значений функции f ( x ) для значений x от –3 до 3, шаг 0,2.

Для этого ввести первые два значения переменной x , выделить эти две ячейки, с помощью маркера автозаполнения размножить значения до 3.

Затем ввести формулу для вычисления f ( x ). Скопировать формулу с использованием маркера автозаполнения на весь столбец.

Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды меняет знак, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке три корня.

2. Выделить цветом пары значений x и f ( x ), где f ( x ) меняет знак (см .р исунок 2).

3. Построить график функции f ( x ).

Рисунок 2. Поиск приближенных значений корней уравнения

4. Скопировать рядом с таблицей произвольную пару выделенных значений x и f ( x ) (см .р исунок 3).

5. Выполнить команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 3) заполнить следующие поля:

þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 3. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

6. После щелчка на ОК должно получиться значение первого корня -1,65793685 .

7. Выполнить последовательно операции, аналогичные предыдущим, для вычисления значений остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .

Задание 2

Решить систему уравнений:

1. Ввести значения элементов матриц A и B уравнения в ячейки Excel .

2. Вычислить обратную матрицу с помощью матричной функции МОБР.

3. Перемножить обратную матрицу A -1 на матрицу B с помощью матричной функции МУМНОЖ (Порядок умножения важен ­– первой должна идти матрица A -1 а второй B .)

4. Проверить правильность полученной матрицы корней X .

Контрольные вопросы

1. Порядок действий для решения нелинейного уравнения с помощью инструмента Подбор параметра MS Excel .

2. Порядок действий для решения системы уравнений матричным методом в MS Excel .

Решение нелинейных уравнений методом хорд в MS Excel

Тема урока: «Решение нелинейных уравнений в MS Excel».

Цель урока: изучение возможностей MS Excel по решению нелинейных уравнений и практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического закрепления полученных знаний, умений и навыков.

Вид урока: сдвоенный, продолжительность – 1,5 часа.

Задачи урока:

• обучающая – научить учащихся решать нелинейные уравнения в среде электронных таблиц MS Excel;
• развивающая – познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений;
• воспитательная – выработать у учащихся умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач.

Оборудование урока:

• Компьютеры с OS MS Windows;
• Программа Microsoft Excel;
• Программа Turbo Pascal;
• Презентация по теме, выполненная в программе Power Point;
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft Power Point.

I. Организационный момент

Учитель объявляет тему и цели урока.

II. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся – повторение материала прошлого урока по теме «Решение нелинейных уравнений методом половинного деления»

Учащиеся повторяют указанный метод с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point метод половинного деления

Вопросы:

• Всегда ли существуют формулы для «точного» решения уравнений?
• Сформулируйте основное условие существования корня на заданном отрезке.
• Запишите уравнение, позволяющее определить координаты середины отрезка.
• Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
• Какое действие в алгоритме повторяется?
• Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.

III. Изобразите блок-схему алгоритма. блок-схема

IV. Практическое задание с использованием программы на языке Turbo Pascal (Учащимся разрешено использовать программу, составленную на предыдущем уроке. Было решено уравнение y = x 3 – cos(x)) метод половинного деления TP

Задания для учащихся первой группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], при = 0,0001

Задания для учащихся второй группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], определить на каком шаге циклического алгоритма будет получено решение.

V. Изучение нового материала «Решение нелинейных уравнений методом хорд»

VI. Объяснить алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] методом хорд с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point. метод хорд

Вопросы:

• Запишите уравнение, позволяющее определить координаты точки пересечения с осью ОХ.
• Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
• Какое действие в алгоритме повторяется?
• Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.
• Изобразите блок-схему алгоритма блок-схема2

Этапы решения задачи

• Содержательная постановка задачи. Решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1,4; 1,4] с точностью = 0,001.
• Визуализация решения задачи с помощью построения графика заданной функции с помощью процессора MS Excel, используя метод подбора параметра определить корень уравнения.
• Формальная математическая модель.
  • Задание математической формулы для отыскания корня уравнения на отрезке
  • Задание системы ограничений при использовании циклического алгоритма
  • Требование к диапазону задания переменных

Для формализации модели используем математические формулы.

уравнение прямой, проходящей через две точки, где x₁ = a, x₂ = в, y₁ = f(a), y₂ = f(в).

После математических преобразований уравнение примет вид .

Определим корень уравнения

• Блок схема алгоритма решения задачи блок-схема2
• Программа на языке Turbo Pascal метод хорд ТР
• Заполнение расчетной таблицы в программе MS Excel метод хорд xls