Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка
Пусть X 1 , X 2 , . Xn – заданные функции переменных x 1 , x 2 , . xn .
Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:
необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ 1( x 1 , x 2 , . xn ) = C 1 ,
φ 2( x 1 , x 2 , . xn ) = C 2 ,
.
φn- 1 ( x 1 , x 2 , . xn ) = Cn- 1 ,
где Ck – постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F – произвольная функция от n – 1 аргументов.
Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .
Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка
Пусть X 1 , X 2 , . Xn+ 1 – заданные функции от переменных x 1 , x 2 , . xn и z .
Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в следующем виде:
φ 1( x 1 , x 2 , . xn , z ) = C 1 ,
φ 2( x 1 , x 2 , . xn , z ) = C 2 ,
.
φn ( x 1 , x 2 , . xn , z ) = Cn .
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:
где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ 1 = F ( φ 2 , φ 3 , . φn ) ,
φ 2 = F ( φ 1 , φ 3 , . φn ) ,
и т. д.
Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка
Однородное уравнение
Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .
Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:
Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.
Выбираем и решаем первое уравнение:
Здесь переменные уже разделены, интегрируем:
Интегралы табличные,
Потенцируем:
Отсюда
Подставим во второе уравнение:
Или:
Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем:
Интегрируем:
Подставим полученное ранее выражение C1 = x y 2 :
Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:
Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:
где F — произвольная функция от двух аргументов F(φ1, φ2) . Найдем ее вид из граничного условия
при .
Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = –1 :
Отсюда
На границе
.
Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
F ( φ 1 , φ 2 ) = φ 1 φ 2 .
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:
Общее решение:
где F — произвольная функция от двух аргументов F ( φ 1 , φ 2 ) .
Неоднородное уравнение
Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:
Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.
Решаем уравнение:
Умножаем на 2 z и интегрируем:
Интегралы табличные,
Потенцируем:
Отсюда
x = C 1 y
Подставим во второе уравнение:
Или:
Замечаем, что , тогда
Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем:
Интегрируем:
Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:
Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:
Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:
Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F ( φ 1 , φ 2) = 0
Но, поскольку F — произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ 1 = F ( φ 2) ,
где F — произвольная функция от одного аргумента.
Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Из уравнения x + y + z = 0 , z = – ( x + y ) . Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем:
x 2 + y 2 + ( x + y ) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Разделив на y 2 , имеем
Итак, мы нашли, что на границе:
.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ 1 = F ( φ 2)
.
Сделаем подстановку
:
.
Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ1 и φ2 :
.
Умножим на a 2 y 2 .
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-09-2014
Линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений (ДУ) такого типа называют линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения на отрезке [a;b] представляет собой линейную комбинацию 2х линейно независимых частных решений y1 и y2 нашего уравнения, т.е.:
.
Самое сложное заключается в определении линейно независимых частных решений ДУ такого типа. Зачастую, частные решения выбирают из таких систем линейно независимых функций:
Но достаточно редко частные решения представляются именно так.
Примером линейного однородного дифференциального уравнения можно назвать .
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения определяется как ,
где y0 является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения,
а является частным решением исходного ДУ. Метод определения y0 мы сейчас обсудили, а вычисляют, используя метод вариации произвольных постоянных.
Как пример линейного неоднородного дифференциального уравнения приводим .
Познакомиться ближе с теорией и просмотреть примеры решений можете здесь: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Оговорим сразу тот факт, что нахождение решения общего аналитического вида для линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков зачастую невозможно. В основном пользуются приближенными методами решения.
Материал данной статьи представлен базовой теоретической информацией на тему решения ЛОДУ
n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 и ЛНДУ n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .
Сначала поговорим о линейных однородных дифференциальных уравнениях n -ого порядка, а затем займемся неоднородными ДУ.
Линейные однородные дифференциальные уравнения
Общее решение для линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 при непрерывных на интервале интегрирования
X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) определяет линейная комбинация y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j , в которой y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на X , а C j , j = 1 , 2 , . . . , n являются произвольными постоянными.
Когда тождество a 1 · y 1 + a 2 · y 2 + . . . + a n · y n ≡ 0 верно только при нулевых коэффициентах a 1 = a 2 = . . . = a n = 0 , функции y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми на неком интервале X .
Для линейно независимых функций y j , j = 1 , 2 , . . . , n определитель Вронского при любых
x из X отличен от нуля:
W ( x ) = y 1 y 2 … y n y ‘ 1 y ‘ 2 … y ‘ n y » 1 y » 2 … y » n … … … … y 1 ( n — 1 ) y 2 ( n — 1 ) … y n ( n — 1 ) ≠ 0
Тот факт, что определитель Вронского не равен нулю, возможно применять в качестве критерия линейной независимости функций на интервале.
Каким же образом определяются y j , j = 1 , 2 , . . . , n — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка?
В большинстве случаев данные функции возможно подобрать, используя стандартные системы линейно независимых функций:
1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x
Когда подобраны все n линейно независимые частные решения y j , j = 1 , 2 , . . . , n , возможно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 — оно будет иметь запись y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j . Когда подобраны только несколько линейно независимых частных решений, мы можем понизить степень заданного уравнения при помощи замены. Детально этот пункт мы не будем рассматривать, в случае необходимости следует изучить дополнительные материалы по теме.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Приступим к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .
Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка n записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) при непрерывных на интервале интегрирования X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и непрерывной функции f ( x ) определяется как сумма общего решения y 0 соответствующего ЛОДУ и некоторого частного решения y
заданного неоднородного уравнения: y = y 0 + y
Нахождение y 0 — общего решения соответствующего ЛОДУ n -ого порядка — было рассмотрено выше. Остается разобрать, как находится y
— частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка.
Иногда некое частное решение y
бывает достаточно явным, то есть его возможно подобрать. Когда
y
подобрать затруднительно, при этом определены n линейно независимых частных решений y j , j = 1 , 2 , . . . , n соответствующего ЛОДУ, общее решение исходного ЛНДУ n -ого порядка возможно определить при помощи метода вариации произвольных постоянных.
В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) определяется как y = ∑ j = 1 n C j ( x ) · y j , а функции C 1 ( x ) , C 2 ( x ) , … , C n ( x ) находятся интегрированием после решения системы уравнений:
∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y ‘ j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y » j = 0 … ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 2 ) = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 1 ) = 0
http://www.calc.ru/Lineynyye-Odnorodnyye-Differentsialnyye-Uravneniya-I-Lineyny.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/linejnye-differentsialnye-uravnenija-vysshih-porja/