Методы решения систем линейных алгебраических уравнений презентация

Презентация на тему » Методы решения систем линейных уравнений.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение систем линейных алгебраических
уравнений

При решении систем линейных уравнений в Л.А. используется несколько методов:
Гаусса
Крамера
обратной матрицы .
Для любой линейной системы уравнений существует три ситуации ее решений:
одно решение;
бесконечное множество;
нет решений.

1. Решение систем линейных уравнений.

Две системы называются эквивалентными тогда и только тогда, когда любое решение первой системы является решением второй и любое решение второй системы является решением первой.
Если в системе линейных алгебраических уравнений к одному уравнению прибавить другое, умноженное на любое число (кроме нуля), то полученная таким образом новая система будет эквивалентна исходной.
Если поменять местами уравнения системы, а так же, если перенумеровать неизвестные, то система будет эквивалентна исходной. Можно вычеркнуть уравнение системы, в котором все коэффициенты при неизвестных и свободный член нули.

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Основная идея метода Гаусса при решении системы линейных уравнений заключается в следующем:

Системе линейных уравнений ставится в соответствие матрица, элементарные преобразования которой эквивалентны преобразованиям системы уравнений.
В результате таких преобразований матрица, соответствующая равносильной системе уравнений, имеет более простой вид и, следовательно, более простой вид принимают уравнения системы.

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Основная идея метода Гаусса при решении системы линейных уравнений заключается в следующем:
Целью таких преобразований является получение матрицы с максимально возможным числом нулевых элементов, что означает исключение неизвестных из ряда уравнений системы.
Следует ориентироваться на то, чтобы каждое элементарное преобразование обращало в нуль какой-либо элемент матрицы и при этом не изменяло все те нулевые элементы, которые были получены при всех предыдущих преобразованиях.

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Другим ориентиром является стремление сделать равным единице определенный элемент матрицы и при этом не изменить все те единичные элементы, которые были получены при всех предыдущих преобразованиях.
Системе m линейных уравнений

можно поставить в соответствие расширенную матрицу:

Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.

Действительно,
Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.
Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.
Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.
Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.

Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.

Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных рассматривается в качестве свободных параметров.
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.

Предположим, что матричный элемент a11 первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на и так далее.
В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a11 .

Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
Предположим, что матричный элемент a22 второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на и так далее.
В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a22 .

В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.
Действительно,
Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.
Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.
Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.
Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.

Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.

Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных рассматривается в качестве свободных параметров.
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.

Предположим, что матричный элемент a11 первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на и так далее.
В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a11 .

Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
Предположим, что матричный элемент a22 второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на и так далее.
В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a22 .

В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.
Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.
Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных рассматривается в качестве свободных параметров.

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом:
1. Предположим, что матричный элемент a11 первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
2. Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на , к третьей строке — первую,

умноженную на и так далее.
В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a11 .

В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом:
Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
Предположим, что матричный элемент a22 второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на , к третьей строке — первую,

умноженную на и так далее.

В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a22 .
И так далее.
В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

1. Решение систем линейных уравнений.
Метод Крамера
Квадратная матрица называется НЕВЫРОЖДЕННОЙ, если ее определитель отличен от нуля ( ); матрица называется ВЫРОЖДЕННОЙ, если ее определитель равен нулю. Если матрица А – НЕВЫРОЖДЕННАЯ, то система уравнений (1) имеет единственное решение, которое можно найти по формуле Крамера:

где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов

1. Решение систем линейных уравнений.
Метод обратной матрицы

Если матрица А – НЕВЫРОЖДЕННАЯ, то она имеет обратную матрицу . Умножая обе части матричного уравнения АХ = В на , получаем формулу для решения системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
X = В

1. Решение систем линейных уравнений.

Решение системы уравнений по правилу Крамера и с использованием обратной матрицы (матричным методом) возможно только в случае, когда определитель матрицы не равен нулю.
Метод Гаусса универсален, для любой линейной системы уравнений он позволяет выяснить существует ли решение системы, позволяет найти единственное решение, указать способ нахождения любого числа решений.

Краткое описание документа:

Материалы из Рабочей программы по дисциплине «Линейная алгебра». Направление подготовки: 38.03.01 Экономика. Направленность (профиль) образовательной программы «Мировая экономика», «Экономика предприятий и организаций (таможня)». Уровень высшего образования: БАКАЛАВРИАТ. Учебные и методические материалы данной дисциплинымогут быть особенно полезны и интересны школьникам 10 и 11 классов, студентам старших курсов ссузов, которые решили продолжать свое образование в вузах.

Презентация на тему: Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Здесь — неизвестные; Здесь — неизвестные; — коэффициенты при неизвестных, где — номер уравнения, — номер неизвестного; — свободные члены (правые части).

Система наз. неоднородной, если не все равны нулю. Система наз. неоднородной, если не все равны нулю. Система наз. однородной, если все равны нулю.

Матрица системы Матрица системы

Решением системы будем называть Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему — значит найти Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной.

Если система не имеет решений, то Если система не имеет решений, то она называется несовместной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной). Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных , то система называется квадратной.

Две системы, множества решений Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными. Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием.

Рассмотрим квадратную систему: Рассмотрим квадратную систему:

Исходную систему можно представить в виде таблицы: Исходную систему можно представить в виде таблицы:

Полученная матрица соответствует системе: Полученная матрица соответствует системе:

С помощью этого метода можно решать квадратные системы линейных уравнений С помощью этого метода можно решать квадратные системы линейных уравнений

Систему можно записать в виде Систему можно записать в виде где

Если матрица невырожденная, то Если матрица невырожденная, то можно выполнить преобразования

Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то эта система является определенной и её единственное решение находится по формуле Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то эта система является определенной и её единственное решение находится по формуле

Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемМарина Городенская

Похожие презентации

Презентация на тему: » Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения.» — Транскрипт:

1 Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения. Цель: Рассмотреть понятие СЛАУ.

2 Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: Здесь x 1, x 2,, x n – неизвестные величины; a ij (i = 1,2, …, m; j =1,2, …, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс — номер уравнения, второй номер неизвестной); b 1, b 2, …, b m – числа, называемые свободными членами.

3 Решением системы Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x 1, x 2, …, x n, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Решитьсистему Решить систему значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. совместной Система, имеющая решение, называется совместной.

4 Если система имеет только одно решение, то она называется определенной определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной совместной неопределенной (совместной и неопределенной неопределенной). Если система не имеет решений, то несовместной она называется несовместной.

5 Система, у которой все свободные члены равны нулю (b 1 = b 2 =…= b n = 0), однородной называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы. Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), квадратной то система называется квадратной.

6 Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными эквивалентными или равносильными. равносильными.

7 Преобразование,применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной,называется эквивалентным равносильным эквивалентным или равносильным преобразованием. преобразованием.

8 Общий метод решения СЛАУ. (Метод Гаусса). Если система совместна, т. е. rang A = rang A* = (r),то r-уравнений СЛАУ линейно-независимы, а остальные (n — r) являются линейными комбинациями. Решить систему значит выразить базисные неизвестные через свободные, придавая различные значения свободным неизвестным.

9 Общий метод решения однородной СЛАУ. Теорема: Если ранг матрицы однородной СЛАУ = r, то система имеет (m — r) линейно — независимых решений. Опр.: Совокупность решений, т. е. совокупность называется фундаментальной системой решений однородной СЛАУ.

10 Теорема об общем решении не одноодной СЛАУ. Теорема: Если фундаментальная система решений соотв-щей однор. СЛАУ; — некоторое решение не одно. СЛАУ, то сумма — решение не одно. СЛАУ. Полученное решение называется общим решением не одноодной СЛАУ.

11 Матричный способ решения СЛАУ. СЛАУ запишем в виде А х Х=В. Если det A0, то для матрицы А сущ. обратная А-1. Умножим обе части СЛАУ слева на А-1: А-1 х А х Х = А-1 х В; Е х Х = А-1 х В; Х = А-1 х В.

12 Метод Крамера. СЛАУ имеет вид А х Х=В при det A0 ; Х=А-1 х В. х 1 A11 A12 … An1 b1 х 2 = A21 A22 … An2 х b2 = хn A1n A2n … Ann n х n bn n х 1 A1n х b1 + A2n х b2 + Ann х bn A11 х b1 + A21 х b2 ……… A12 х b1 + A22 х b2 ………

13 1. 2. Числители — величина определителя, разложенного по первому столбцу, тогда первый столбец это элементы b 1, b 2 … b n, а остальные столбцы – это столбцы матрицы А и т.д. Если det A0, то СЛАУ имеет единственное решение и определяется формулами:

14 Элементарные преобразования матрицы 1) перемена местами двух строк; 2) умножение строки на число, отличное от нуля; 3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

15 Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей треугольной матрицей. Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна определен на совместна и определенна.

16 A Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m m и стоящую справа прямоугольную матрицу, Aтрапециевидной то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной трапецеидальной.

17 Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является бесконечно неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений много решений.

18 Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты базисными отличны от нуля), называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными свободными.

19 Если свободным неизвестным при даны конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное частным решение называется частным решением решением. Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое общим решением. называется общим решением.

20 Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение базисным называется базисным. Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, рангом системы называемое рангом системы.

21 Вопросы: 1)Когда система имеет единственное решение? 2)Какие элементарные преобразования матрицы можно делать при решении СЛАУ?