Методы решения систем линейных уравнений презентация

Презентация «Методы решения системы линейных уравнений» — презентация

Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемГерман Зюряев

Данная презентация может быть использована на учебном занятии по изучению методов решения системы трёх линейных уравнения с тремя неизвестными, а также на практических занятиях по закреплению данного материала. В ней представлены: метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, подробное решение системы тремя способами.

Похожие презентации

Презентация на тему: » Презентация «Методы решения системы линейных уравнений»» — Транскрипт:

1 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТРЁХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Преподаватель ГБОУ СПО «ВТЭТ» Назаренко Анжела Францевна дисциплина «Математика» (2 курс)

2 Содержание Основные понятия Метод Крамера Решение системы методом Крамера Метод Гаусса Решение системы методом Гаусса Матричный метод (с помощью обратной матрицы) Матричный метод (с помощью обратной матрицы) Решение системы матричным методом В помощь студентам

3 Основные понятия Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: где — неизвестные, — коэффициенты ( ), — свободные члены. Тройка чисел называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, если при подстановке их в уравнения системы вместо получают верные числовые равенства. Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной. Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной. Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

4 Метод Крамера Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: (1) в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) 0, а определители получаются из определителя системы посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов. Теорема (правило Крамера). Если определитель системы 0, то рассматриваемая система (1) имеет одно и только одно решение, причём

5 Решите систему методом Крамера: Решение: 1. Вычислим определитель системы: Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. 2. Составим и вычислим необходимые определители :

6 Решите систему методом Крамера: 3. Находим неизвестные по формулам Крамера: Ответ:

7 Метод Гаусса Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Вновь рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1. Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на – а 11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

8 Метод Гаусса Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2. Для этого третье уравнение разделим на, умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений: Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3, затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1.

9 Решите систему методом Гаусса: Решение: 1. Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1. Для этого второе уравнение умножим на, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение умножим на, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид: 2. Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2. Для этого третье уравнение умножим на, и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

10 Решите систему методом Гаусса: 3. На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход. Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x 3 : Из второго уравнения получаем: Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса: Ответ:

11 Матричный метод (с помощью обратной матрицы) Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид, где Пусть. Тогда существует обратная матрица. Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных, т.е. или. Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.

12 Решите систему матричным методом: Решение: 1. Перепишем систему уравнений в матричной форме: Так как то систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как:

13 Решите систему матричным методом: 2. Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы : где

14 Решите систему матричным методом: 3. Осталось вычислить матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов: Ответ:.

15 Для решения систем трёх линейных уравнений с тремя неизвестными Вы можете воспользоваться сайтом В помощь студентам

Презентация на тему » Методы решения систем линейных уравнений.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение систем линейных алгебраических
уравнений

При решении систем линейных уравнений в Л.А. используется несколько методов:
Гаусса
Крамера
обратной матрицы .
Для любой линейной системы уравнений существует три ситуации ее решений:
одно решение;
бесконечное множество;
нет решений.

1. Решение систем линейных уравнений.

Две системы называются эквивалентными тогда и только тогда, когда любое решение первой системы является решением второй и любое решение второй системы является решением первой.
Если в системе линейных алгебраических уравнений к одному уравнению прибавить другое, умноженное на любое число (кроме нуля), то полученная таким образом новая система будет эквивалентна исходной.
Если поменять местами уравнения системы, а так же, если перенумеровать неизвестные, то система будет эквивалентна исходной. Можно вычеркнуть уравнение системы, в котором все коэффициенты при неизвестных и свободный член нули.

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Основная идея метода Гаусса при решении системы линейных уравнений заключается в следующем:

Системе линейных уравнений ставится в соответствие матрица, элементарные преобразования которой эквивалентны преобразованиям системы уравнений.
В результате таких преобразований матрица, соответствующая равносильной системе уравнений, имеет более простой вид и, следовательно, более простой вид принимают уравнения системы.

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Основная идея метода Гаусса при решении системы линейных уравнений заключается в следующем:
Целью таких преобразований является получение матрицы с максимально возможным числом нулевых элементов, что означает исключение неизвестных из ряда уравнений системы.
Следует ориентироваться на то, чтобы каждое элементарное преобразование обращало в нуль какой-либо элемент матрицы и при этом не изменяло все те нулевые элементы, которые были получены при всех предыдущих преобразованиях.

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Другим ориентиром является стремление сделать равным единице определенный элемент матрицы и при этом не изменить все те единичные элементы, которые были получены при всех предыдущих преобразованиях.
Системе m линейных уравнений

можно поставить в соответствие расширенную матрицу:

Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.

Действительно,
Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.
Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.
Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.
Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.

Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.

Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных рассматривается в качестве свободных параметров.
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.

Предположим, что матричный элемент a11 первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на и так далее.
В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a11 .

Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
Предположим, что матричный элемент a22 второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на и так далее.
В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a22 .

В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.
Действительно,
Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.
Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.
Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.
Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.

Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.

Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных рассматривается в качестве свободных параметров.
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.

Предположим, что матричный элемент a11 первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на и так далее.
В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a11 .

Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
Предположим, что матричный элемент a22 второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на и так далее.
В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a22 .

В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.
Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.
Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных рассматривается в качестве свободных параметров.

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом:
1. Предположим, что матричный элемент a11 первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
2. Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на , к третьей строке — первую,

умноженную на и так далее.
В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a11 .

В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом:
Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
Предположим, что матричный элемент a22 второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на , к третьей строке — первую,

умноженную на и так далее.

В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса
В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a22 .
И так далее.
В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).

1. Решение систем линейных уравнений.

1. Решение систем линейных уравнений.
Метод Крамера
Квадратная матрица называется НЕВЫРОЖДЕННОЙ, если ее определитель отличен от нуля ( ); матрица называется ВЫРОЖДЕННОЙ, если ее определитель равен нулю. Если матрица А – НЕВЫРОЖДЕННАЯ, то система уравнений (1) имеет единственное решение, которое можно найти по формуле Крамера:

где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов

1. Решение систем линейных уравнений.
Метод обратной матрицы

Если матрица А – НЕВЫРОЖДЕННАЯ, то она имеет обратную матрицу . Умножая обе части матричного уравнения АХ = В на , получаем формулу для решения системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
X = В

1. Решение систем линейных уравнений.

Решение системы уравнений по правилу Крамера и с использованием обратной матрицы (матричным методом) возможно только в случае, когда определитель матрицы не равен нулю.
Метод Гаусса универсален, для любой линейной системы уравнений он позволяет выяснить существует ли решение системы, позволяет найти единственное решение, указать способ нахождения любого числа решений.

Краткое описание документа:

Материалы из Рабочей программы по дисциплине «Линейная алгебра». Направление подготовки: 38.03.01 Экономика. Направленность (профиль) образовательной программы «Мировая экономика», «Экономика предприятий и организаций (таможня)». Уровень высшего образования: БАКАЛАВРИАТ. Учебные и методические материалы данной дисциплинымогут быть особенно полезны и интересны школьникам 10 и 11 классов, студентам старших курсов ссузов, которые решили продолжать свое образование в вузах.

Презентация на тему: Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными

у-2х=4, у-2х=4, 7х-у=1. 1.Выразим из первого уравнения переменную у через х: у=4+2х. 2. Подставим во второе уравнение вместо переменной у выражение (4+2х) и решим его: 7х –(4+2х)=1; 7х-4-2х=1; 5х=5 ; х=1. 3. Найдем значение переменной у, подставив найденное значение х в уравнение из первого шага: у=4+2·1=6; у=6. 4. Запишем ответ: х=1; у=6. Ответ: (1;6).

1. Умножь уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. 1. Умножь уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. 2.Сложи почленно левые и правые части уравнений системы. 3. Реши полученное уравнение с одной переменной. 4. Найди соответствующее значение второй переменной. 5.Запиши в ответ полученную пару чисел. Решите систему уравнений: 7х+2у=1, 17х+6у= -9.

Физкультминутка Из — за парт мы выйдем дружно, Но шуметь совсем не нужно, Встали прямо, ноги вместе, Поворот кругом, на месте. Хлопнем пару раз в ладошки. И потопаем немножко.

А теперь представим, детки, А теперь представим, детки, Будто руки наши – ветки. Покачаем ими дружно, Словно ветер дует южный. Ветер стих. Вздохнули дружно. Нам урок продолжить нужно. Подравнялись, тихо сели И на доску посмотрели.