Методы решения систем уравнений в частных производных

Методы решения систем уравнений в частных производных

МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Точные решения > Системы дифференциальных уравнений в частных производных

Системы дифференциальных уравнений в частных производных

Веб-сайт EqWorld содержит обширную информацию о решениях различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными (уравнений математической физики), интегральных уравнений, функциональных уравнений и других математических уравнений.

Системы уравнений с частными производными. Характеристики

Для решения систем уравнений с частными производными первого порядка могут быть использованы различные разностные схемы метода сеток, разработанные для одного уравнения. С этой целью формально систему уравнений можно записать в векторной форме с помощью одного уравнения, и тогда вид разностных формул сохраняется таким же, как и для скалярного уравнения. Разница состоит в том, что вместо скалярной сеточной функции вводится векторная.

Рассмотрим систему двух квазилинейных уравнений относительно искомых функций :

(2.60)

Коэффициенты этой системы переменные и зависят от х, t, U, V. Введем следующие обозначения: U — искомый вектор; F — вектор правой части; А, В — матрицы коэффициентов:

Запишем систему уравнений (2.60) в векторном виде:

Для решения этого квазилинейного векторного уравнения могут быть использованы различные разностные схемы, которые применяются для решения одного уравнения.

Мы не будем повторять сказанное ранее для одного уравнения, а остановимся на одном частном случае системы (2.60), важном для приложений. Речь идет о системах гиперболического типа. Введем матрицу С где α, β — некоторые числа. Тогда определитель этой матрицы

(2.61)

является квадратичной формой относительно α и β,т.е.

(2.62)

где коэффициенты q1, q2, q3, легко выразить через элементы матриц А, В, раскрывая определитель (2.61).

Система уравнений с частными производными первого порядка (2.60) называется гиперболической,если квадратичная форма (2.62) разлагается на вещественные линейные множители:

причем векторы неколлинеарны. Эти векторы в каждой точке плоскости (х,t) образуют два направления, которые называются характеристическими. Линия, касательная к которой в каждой точке имеет характеристическое направление, называется характеристикой. Через каждую точку проходят две характеристики, соответствующие двум характеристическим направлениям. Таким образом, всю плоскость (х, t) можно покрыть двумя семействами характеристик (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Характеристики

Заметим, что в случае системы уравнений (2.60) с постоянными коэффициентами характеристические направления, если они существуют, постоянны для всех точек плоскости. Им соответствуют два семейства прямолинейных характеристик. В самом общем случае, когда коэффициенты системы (2.60) зависят от х, t, U, V, характеристики могут существовать в одной части плоскости (х, t) и отсутствовать в другой. Следовательно, гиперболичность системы (2.60) может быть не на всей плоскости, а лишь в некоторой области.

Наряду с гиперболическими системами существуют также параболические (с одним семейством характеристик) и эллиптические (действительных характеристик нет) системы.

Характеристики можно использовать для построения алгоритма численного решения системы уравнений с частными производными в области ее гиперболичности. Такой способ решения называется методом характеристик.

Не приводя подробных выкладок и опуская сами формулы, изложим идею метода характеристик. Рассмотрим задачу Коши. Пусть при t = 0 заданы начальные значения функций . Выбираем любой отрезок [а,b] на оси х и разбиваем его на части точками (рис. 2.19). В данном случае принято n= 4.

Рис. 2.19. К решению задачи Коши методом характеристик

Из точки А0 проводим характеристику первого семейства, из А1 — второго. Находим точку пересечения В0. Используя некоторые соотношения (характеристические) вдоль отрезков характеристик А0В0 и А1В0,заменяющие исходные уравнения, вычисляем искомые функции в точке В0. Аналогично находим решение в других точках слоя В. При этом в отличие от метода сеток этот слой не является прямолинейным отрезком t= const, а определяется точками пересечения характеристик.

Далее вычисляем искомые значения в точках слоев С, Dи т.д. При этом каждый раз (при решении задачи Коши) при переходе от слоя к слою число узлов уменьшается на единицу, так что на последнем слое получается лишь один узел. Область решения задачи Коши представляет собой криволинейный треугольник с кусочно гладкими сторонами.

При решении краевой задачи используют значения искомых функций на границах. В этом случае расчетная область изменяется: она прилегает к границе х = const, на которой заданы значения функций U(x), V(x). При этом вблизи границы используют характеристики одного семейства, выходящие из границы и попадающие в расчетную область. Если граничные условия задают при двух значениях х, то алгоритм метода характеристик значительно усложняется.

Достоинством метода характеристик является то, что он основан на физической сущности задачи, поскольку возмущения распространяются по характеристикам. Метод позволяет выявить разрывы в решении. Недостатком метода является нерегулярность получаемой сетки, поскольку узлы располагаются неравномерно (в точках пересечения характеристик).

Для устранения этого недостатка разработаны так называемые сеточно-характеристические методы. Их идея состоит в том, что сетка фиксируется заранее, а характеристики проводятся «назад» из узлов (j+ 1)-ого слоя до пересечения с j-ым слоем. Значения U, Vв точках пересечения вычисляются путем интерполяции по ранее найденному решению в узлах j-ого слоя.

Геометрическая интерпретация сеточно-характеристического метода показана на рис. 2.20. Здесь точками отмечены заранее выбранные узлы; штриховые линии — отрезки характеристик. Значения функций в точках пересечения А и В находятся интерполированием решения в узлах и Эти значения используют для определения решения в расчетном узле (i, j+1).

Рис. 2.20. Геометрическая интерпретация сеточно-характеристического метода

Классификация методов решения уравнений с частными производными.

Несмотря на то, что с дифференциальными уравнениями в частных производных приходится сталкиваться при решении многочисленных научно-технических задач, получить их решение в явном виде, т.е. в виде конечной формулы, удаётся только в самых простейших случаях. В этой связи приобретают огромное значение приближённые методы решения различных задач для дифференциальных уравнений в частных производных и систем дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных или как говорят задач математической физики.

В данном курсе будут рассмотрены лишь простейшие и наиболее распространённые методы решения задач математической физики. При этом акцент делается на решение задач для линейных ДУ второго порядка с двумя независимыми переменными.

Как и в случае обыкновенных ДУ, приближённые методы решения задач математической физики делятся на две основные группы:

1. приближённо-аналитические методы – методы, в которых приближённое решение получается в аналитической форме, например, в виде отрезка некоторого ряда;

2. численные методы – методы, с помощью которых можно получить таблицу приближённых значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области.

К группе приближённо—аналитических методов решения краевых задач для ДУ в частных производных относятся, прежде всего, метод Фурье (или метод разделения переменных) и вариационные методы (например, метод Ритца, метод конечных элементов).

Наиболее распространёнными методами численного решения задач для ДУ в частных производных являются:

– Метод сеток, или метод конечных разностей, в котором ДУ или система ДУ предварительно сводится к системе алгебраических уравнений.

– Метод прямых – этот метод в зависимости от способа его реализации может быть отнесён как к первой,так и ко второй группе методов. Название метода прямых связано с тем, что в нём приближённое решение ДУ в частных производных ищется вдоль некоторого семейства прямых, при этом вместо ДУ в частных производных получается система обыкновенных ДУ. Если при этом полученная система обыкновенных ДУ решается в виде системы функций, то речь идёт о приближённо-аналитическом варианте метода прямых; если же полученная система обыкновенных ДУ решается численными методами, тогда метод прямых можно отнести к группе численных методов.

§4. Корректность постановки задач для уравнений математической физики.

Каждое уравнение с частными производными, как и обыкновенное ДУ, имеет бесчисленное множество решений. Поэтому не только получение, но и формальная запись общего решения даже для простейших уравнений в частных производных зачастую вызывает затруднения. Однако ситуация не столь драматична, как это может показаться на первый взгляд, поскольку постановщикам реальных задач, как правило, общее решение и не нужно. Интерес для них представляют те решения, которые обусловлены соответствующими уравнению данными, описывающими изучаемое явление в целом.

При постановке задачи для конкретного уравнения в частных производных, следует позаботиться о том, чтобы добавляемые к уравнению из тех или иных соображений условия выделяли из общего решения некоторое единственное частное решение, и чтобы это частное решение на самом деле существовало в заданном пространстве функций, а также, чтобы оно мало изменялось при малых изменениях добавляемых к уравнению условий (с помощью которых это частное решение выделено из общего).

Обычно корректность постановки задач математической физики связывают со следующими тремя требованиями разрешимости; однозначности; непрерывной зависимости от исходных данных (иначе, устойчивости).

§5. Постановка задач для уравнений математической физики.

Для того чтобы поставить задачу математической физики, необходимо вывести дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее рассматриваемый физический процесс, а также сформулировать начальные и краевые условия.

Для уравнений в частных производных, также как и для ОДУ ставятся начальные и краевые задачи.

Начальные условия ставятся для уравнений, содержащих частные производные по времени, при этом сами уравнения, как правило, описывают нестационарные физические процессы. Если одна из независимых переменных играет роль времени, то начальными условиями называются условия, относящиеся к начальному моменту времени (t = t₀), и соответствующая задача, которая заключается в отыскании частного решения, удовлетворяющего данному начальному условию носит название начальной задачи или задачи Коши.

Краевые (граничные) условия ставятся для уравнений, описывающих протекание физических процессов в ограниченных пространственных областях, при этом краевые условия задают (т.е. фиксируют требования) к значениям частного решения на границах пространственных областей.

Задачи математической физики, содержащие начальные и краевые условия, называются начально-краевыми; задачи, содержащие только граничные условия – краевыми, а задачи, содержащие только начальные условия (в бесконечных областях) – начальными задачами или задачами Коши.

Количество начальных и краевых условий и их вид зависят от типов уравнений математической физики, среди которых, как уже указано выше, различают уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типа.

Как правило, для уравнений эллиптического типа, описывающих стационарные процессы, задают граничные условия, т.е. ставятся граничные задачи. Для уравнений параболического и гиперболического типа, моделирующих эволюционные процессы и явления, для определённости нужно одновременно задавать условия, начальные по времени и граничные по пространственным переменным, что приводит к постановкам смешанных задач.

Вывод основных уравнений математической физики, начальных и краевых условий к ним даётся в курсе «уравнения математической физики». Здесь будет дана математическая формулировка типовых задач математической физики.

Дата добавления: 2015-09-14 ; просмотров: 2100 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ