Технологическая карта урока алгебры «Методы решения тригонометрических уравнений». 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
Тип урока: Урок-рефлексия.
Цель урока: Зафиксировать собственные трудности, выявлять причины этих затруднений и находить способы их преодоления.
Используемые учебники и учебные пособия: УМК А.Г.Мордковича.
Алгебра, 10 класс, углубленный уровень
Методы решения тригонометрических уравнений
Планируемые образовательные результаты
Формирование целостного изучения мира и осознание своего места в общей системе образования.
Развитие творчества и инициативы, внимательности и ответсвнности
Закрепление методов решения тригонометрических уравнений.
Понятийный ряд урока
Тригонометрия; решение уравнений; методы решения уравнений; характеристика методов; критериальное оценивание; неожиданная тригонометрия.
Вид используемых на уроке средств ИКТ (Электронные образовательные ресурсы, ресурсы сети Интернет)
- infourok.ru;
- prodlenka.org;
- nsportal.ru;
- alexlarin.net;
- ege.sdamgia.ru;
- fipi.ru
Необходимое аппаратное и программное обеспечение(локальная сеть Интернет, компьютер, интерактивная доска, программные средства, цифровые микроскопы, планшеты, датчики и т.д.)
Компьютер, интерактивная доска, презентация к уроку.
Технологическая карта конструирования учебного занятия с учетом требований ФГОС общего образования
Методы решения тригонометрических уравнений( алгебра 10 кл, к учебнику А.Г. Мордкович)
Данная презентация подготовлена к уроку «Тригонометрические уравнения» (п.18, учебник Алгебра и начала анализа, автор А.Г.Мордкович). В презентация: 1. актуализация знаний — решение простейших уравнения, 2. Методы решения тригонометрических уравнений( введение новой переменной, разложение на множители, решение однородных уравнений первой и второй степени)
Просмотр содержимого документа
«Методы решения тригонометрических уравнений( алгебра 10 кл, к учебнику А.Г. Мордкович) »
- Повторить решение простейших тригонометрических уравнений.
- Рассмотреть способы решения тригонометрических уравнений.
Решение простейших тригонометрических уравнений:
t = ± arccos a + 2πk, k Z
t = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n Z
t = arctg a + πn, n Z
t = arcctg a + πn, n Z
Решение простейших тригонометрических уравнений
Решение простейших тригонометрических уравнений
Решение простейших тригонометрических уравнений
Решение простейших тригонометрических уравнений
Методы решения уравнений:
1. Введение новой переменной( №18.1-18.7)
2. Использование формул тригонометрии (18.5, 18.8)
3. Алгебраические способы:
-Вынесение множителя за скобку, группировка (18.11)
- Разложение на два уравнения (18.13).
4. Однородные линейные уравнения(деление на косинус) (18.10)
5. Однородные квадратные уравнения (деление на косинус в квадрате) (18.12)
ОДНОРОДНЫЕ И СВОДИМЫЕ К НИМ .
называется однородным уравнением I степени.
2. Уравнение вида
называется однородным уравнением II степени.
Множество значений x , удовлетворяющих уравнению
, не является решением данного уравнения. Поэтому можно обе части уравнения разделить на .
Множество значений x , удовлетворяющих уравнению , не является решением данного уравнения.
Разделим обе части уравнения на .
Уравнение примет вид:
Пример разложение на множители способом группировки:
Тригонометрические уравнения — Тригонометрические уравнения — 1-е полугодие
Цель: рассмотреть решение тригонометрических уравнений.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции у = arctg х.
2. Постройте график функции:
3. Вычислите
1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции у = arcctg х.
2. Постройте график функции:
3. Вычислите
III. Изучение нового материала
Рассмотрим решение некоторых типов тригонометрических уравнений. Для этого необходимо с помощью преобразований данное уравнение свести к одному из простейших уравнений – sin x = a, cos х = a, tg х = a, ctg х = a, решение которых можно записать.
1. Простейшие тригонометрические уравнения
Еще раз напомним решения простейших тригонометрических уравнений.
1. Решения уравнений sin x = а (где |a| ≤ 1) имеют вид:
2. Решения уравнений cos x = а (где |а| ≤ 1) имеют вид:
3. Решения уравнений tg x = а имеют вид:
4. Решения уравнений ctg x = а имеют вид:
При решении уравнений sin x = 0; ±1 и cos x = 0; ±1 (частные случаи) удобнее пользоваться не общими формулами, а использовать числовую окружность, тогда получим:
Для уравнения sin x = 1 покажем предпочтительность использования числовой окружности.
Сначала запишем решения уравнения sin x = 1, применяя общую формулу Для нескольких значений n такие решения приведены в таблице.
Из данных таблицы видно, что при использовании формулы каждое решение повторяется по два раза. Кроме того, выражение более громоздко по сравнению с формулой которая получается при рассмотрении числовой окружности.
Найдем решения уравнения принадлежащие отрезку [0; π].
Решим данное уравнение, используя числовую окружность. Получим: Отберем те решения, которые принадлежат отрезку [0; π]. По условию получим неравенство Решим это неравенство: В этот промежуток попадают три целых значения n: n = 0, 1, 2. Для этих значении n найдем соответствующие решения:
Решим уравнение
Используя общую формулу, получим: Тогда
2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений
Для решения более сложных уравнений используют метод введения новой переменной и метод разложения на множители. Рассмотрим сначала метод введения новой переменной.
Решим уравнение:
а) Введем новую переменную z = cos x и получим квадратное уравнение корни которого z1 = 1 и z2 = 2/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения cos x = 1 и cos x = 2/3. Решения первого уравнения x = 2πn, решения второго уравнения
б) Используя формулу в уравнении перейдем к функции sin x. Получим: или Далее поступаем аналогично пункту а. Введем новую переменную z = sin x и получим квадратное уравнение корни которого z1 = 2 и z2 = 1/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения sin х = 2 (решений не имеет) и sin х = 1/3 (его решения ).
Теперь обсудим второй метод — метод разложения на множители. При его применении уравнение f(x) = 0 записывают в виде , тогда или f1(x) = 0, или f2(х) = 0. Таким образом, задача сводится к решению совокупности уравнений
Решим уравнение:
а) Левая часть уравнения уже разложена на множители. Задача сводится к решению совокупности уравнений tg х — 1 = 0 (или tg x = 1) и cos x + 1/2 = 0 (или cos x = -1/2). Решения первого уравнения решения второго уравнения
б) Вынесем cos 3x за скобки и получим: Теперь необходимо решить совокупность уравнений cos 3x = 0 и (или ). Решая первое уравнение, найдем: и Решая второе уравнение, получим:
Уточним рассматриваемый метод. Из уравнения следует, что или f1(x) = 0 (при этом выражение f2(х) имеет смысл), или f2(х) = 0 (при этом выражение f1(х) имеет смысл).
Решим уравнение ctg x(cos + 1) = 0.
Из уравнения ctg x = 0 находим: из уравнения cos х + 1 = 0 (или cos х = -1) получим: x = π + 2πn. Но при таких значениях х выражение ctg x не имеет смысла. Поэтому решения данного уравнения х = π/2 + пn.
3. Однородные тригонометрические уравнения
Теперь обсудим часто встречающийся вид уравнений — однородные уравнения.
Определение. Уравнение вида (где а ≠ 0, b ≠ 0) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Уравнение вида (где а ≠ 0) называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Рассмотрим сначала решение однородных тригонометрических уравнений первой степени Убедимся, что cos х ≠ 0. Предположим, что cos х = 0, и подставим эту величину в данное уравнение. Получим: a sin х = 0. Так как а ≠ 0, то sin x = 0. Очевидно, что равенства cos x = 0 и sin x = 0 одновременно выполняться не могут, так как равенство sin2x + cos2x = 1 не выполняется.
Так как cos x ≠ 0, то разделим все члены уравнения на cos x. Получим: или откуда и
Решим уравнение
Разделим все члены уравнения на и получим: Найдем и
Решим уравнение
Учтем четность функции косинуса и формулы приведения. Получим: или Разделим обе части уравнения на cos 3x. Имеем: 2tg 3x = -1, откуда tg 3x = -1/2,
Рассмотрим теперь решение однородного тригонометрического уравнения второй степени Убедимся, что cos х ≠ 0. Подставим значение cos х = 0 в данное уравнение и получим: a sin2 х = 0. Так как а ≠ 0, то имеем: sin х = 0. Но равенства cos х = 0 и sin х = 0 одновременно выполняться не могут.
Так как cos x ≠ 0, то разделим все члены уравнения на cos2x и получим: или Введем новую переменную z = tg x и придем к квадратному уравнению az2 + bz + c = 0. Решаем это уравнение. Потом возвращаемся к старой переменной, получаем простейшие тригонометрические уравнения и находим их решения.
Решим уравнение
Разделим все члены уравнения на cos2 x и получим: tg2 x – tg x — 2 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение z2 — z — 2 = 0, корни которого z1 = -1 и z2 = 2. Вернемся к старой переменной. Имеем простейшие тригонометрические уравнения tg х = -1 (его решения ) и tg х = 2 (его решения ).
Решим уравнение
Данное уравнение не является однородным, так как в правой части стоит число 1, а не число 0. Если учесть равенство sin2 х +cos2 х = 1, то уравнение легко свести к однородному. Получим: или Разделим все члены уравнения на cos2 x. Имеем: tg2 x + 5tg x + 4 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение z2 + 5z + 4 = 0, корни которого z1 = -1 и z2 = -4. Вернемся к старой переменной. Получим простейшие тригонометрические уравнения tg x = -1 (его решения ) и tg х = -4 (его решения ).
Пусть в однородном тригонометрическом уравнении коэффициент a = 0. Тогда уравнение имеет вид: В этом случае делить на cos2 x нельзя, так как cos х может равняться нулю. Поэтому надо использовать метод разложения на множители. Получим Имеем простейшее тригонометрическое уравнение cos x = 0 и однородное тригонометрическое уравнение первой степени Такие уравнения мы решать уже умеем.
Решим уравнение
Разложим левую часть уравнения на множители: Произведение двух множителей равно нулю. Поэтому один из множителей равен нулю. Получаем простейшее тригонометрическое уравнение cos х = 0 (его решения ) и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка или (его решения ).
Метод разложения на множители также используется и в случае, когда коэффициент с = 0. Тогда уравнение имеет вид: или Вновь получаем простейшее тригонометрическое уравнение sin х = 0 и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка которые решаются аналогично примеру 11.
Рассмотрение примеров 9-11 позволяет сформулировать алгоритм решения уравнения
1. Если коэффициент а не равен нулю, то все члены уравнения делят на cos2 x. Вводят новую переменную z = tg х и получают квадратное уравнение. Находят корни этого уравнения и возвращаются к старой неизвестной. Получают простейшие тригонометрические уравнения и решают их.
2. Если коэффициенты а и с равны нулю, то используют метод разложения на множители. При a = 0 выносят за скобки cos х, при с = 0 выносят sin x. Получают простейшее тригонометрическое уравнение и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка и решают их.
IV. Контрольные вопросы
1. Решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
3. Определение однородного тригонометрического уравнения первой и второй степеней.
4. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени.
5. Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.
V. Задание на уроках
§ 18, № 3 (а, в); 5 (а, б); 6 (б); 8 (г); 10 (а, б); 11 (в); 12 (а); 13 (в); 16; 18; 20 (а); 21 (а, б); 23 (а); 27 (а, б); 30 (а); 31; 33 (а); 34 (б); 35 (а).
VI. Задание на дом
§ 18, № 3 (б, г); 5 (в, г); 6 (г); 8 (б); 10 (в, г); 11 (а); 12 (б); 13 (г); 17; 19; 20 (б); 21 (в, г); 23 (б); 27 (в, г); 30 (б); 32; 33 (б); 34 (а); 35 (б).
VII. Подведение итогов уроков
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
© 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.
http://kopilkaurokov.ru/matematika/presentacii/mietody-rieshieniia-trighonomietrichieskikh-uravnienii-alghiebra-10-kl-k-uchiebniku-a-g-mordkovich
http://compendium.su/mathematics/algebra10/21.html