Методы решения целых уравнений вариант 2

Основные методы решения уравнений в целых числах

Введение

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень). В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая профильный ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;

4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;

5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.

Основная часть

Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:

1. Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
2. Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
3. Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
4. Использование Малой и Великой теорем Ферма;
5. Метод бесконечного спуска;
6. Выражение одной неизвестной через другую;
7. Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
8. Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.

Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.
В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).

Задача. Решить в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k 2 .

Решение. Заметим, что оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение n = 2, k = 5.

В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.

Теперь приведём комплекс авторских задач.

Задача 1. Решить в целых числах уравнение n 2 — 4y! = 3.

Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n 2 = 4y! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.

Задача 2. Решить в целых числах уравнение 8z 2 = (t!) 2 + 2.

Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения. Если t > 1, то t! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t! = 2s. В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z 2 = 2s 2 + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.

Ключевая идея – применение свойств факториалов.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение x 2 + y 2 – 2x + 6y + 5 = 0.

Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.

Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.

Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:

Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.

Ключевая идея – представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.

Задача 5. Решить в целых числах уравнение n(n + 1) = (2k + 1)‼

Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n(n + 1), которое чётно при всех целых значениях k. Противоречие.

Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.

Задача 6. Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.

Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:

Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка y = –1 в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству –2 = 1. Согласно условию, x – целое число. Иначе говоря, тоже целое число. Но тогда число обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3: 1,3 –1, –3. Следовательно, для неизвестной возможны четыре случая: y = 0, y = 2, y = –2, y = –4. Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной x. Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.

Задача 7. Решить в целых числах уравнение 5 m = n 2 + 2.

Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n 2 = –1. Оно не имеет целых решений. Если m 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n 2 при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.

Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x!) 4 + |y – 1| 4 = |z + 1| 4 . Тогда x!, |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.

Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.

Задача 9. Решить в целых числах уравнение x 2 + 4y 2 = 16xy.

Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x 2 = 4x₁ 2 . Уравнение преобразуется к виду x₁ 2 + y 2 = 8x₁y. Отсюда вытекает, что числа x₁, y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.

1 случай. Пусть x₁, y – нечётные числа. Тогда x₁ = 2t + 1, y = 2s + 1. Подставляя эти выражения в уравнение, получим:

Выполним соответствующие преобразования:

Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?

В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.

2 случай. Пусть x₁, y – чётные числа. Тогда x₁ = 2x₂ + 1, y = 2y₁. Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n и k не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x, y бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x = y = 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0).

Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.

Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x 2 – 3xy + y 2 = 4.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x 2 – (3x)y + (y 2 – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x. Вычислим дискриминант этого уравнения:

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть Отсюда имеем следующие возможности для y: y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.

Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).

Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.

Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах)

Способы решения целых уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство образования Российской Федерации

Методическая разработка по математике в 9 классе по теме:

«Способы решения целых уравнений»

МБОУ СОШ№13 города Костромы

Коржева Наталия Александровна

Кострома 2014 г.

Анализируя результаты проверки знаний выпускников средней школы по математике, можно сказать что, уровень математической подготовки не удовлетворяет тем целям, которые были поставлены перед учителем с пятого класса. Если некоторые шаблоны и алгоритмы школьниками и усвоены, то любое отступление от стандарта в формулировке задач и упражнений приводят ученика в замешательство. Это происходит потому, что в средней школе не уделяется достаточно внимания развивающей стороне математики. На экзамене ученик ищет шаблоны выполнения определенных заданий и поэтому видоизменение заданий в ту или иную сторону, приводит ученика в замешательство. В школьном курсе, как алгебры, а особенно геометрии на изучение некоторых вопросов отведено недостаточное количество часов, в учебнике недостаточно представлены способы решения задач, которые встречаются на экзамене. Так, например, в школьном курсе не рассматриваются формулы решения кубических уравнений, деление многочленов. Между тем круг задач, которые целесообразно решать в школе, значительно шире стандартной задачи «Решить уравнение» — можно говорить и о числе корней уравнения, и о нахождении целых и рациональных корней и т.д. Поэтому один из таких крупных разделов как «Тождественные преобразования многочленов и решение целых уравнений» необходимо обогатить заданиями, связанными с теоремой о корне, теоремой о целых корнях уравнения. Подобное расширение внутри этой важнейшей темы послужило бы глубокому и прочному усвоению базовых знаний, умений и навыков, которые позволят решать более широкий спектр задач, развить мышление учащихся, расширить их математический аппарат. Кроме того, существует большой разрыв между математикой, которая преподается в средней школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Материал по данной теме вполне доступен для изучения учащимися 9 классов. Его изучение подготовит ребят к успешному усвоению курса алгебры в старшей школе. В отличие от большинства тем школьного курса алгебры, ориентированных в целом на изучение функций, приемы решения уравнений представляет собой математический аппарат для решения задач более широкого содержания — прежде всего решения уравнений. Они позволяют учащимся решать уравнения третьих и более высоких степеней с целыми коэффициентами, которые в школьном курсе не рассматриваются.

Методическая разработка может быть использована учителями математики как на уроках так и на занятиях в рамках элективного курса.

Данная методическая разработка позволяет реализовать достижение следующих целей:

Расширить и углубить знания учащихся по решению целых уравнений с одной переменной высших степеней

Подготовить учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации, обеспечить устойчивую мотивацию при решении целых уравнений

Приобретение учащимися уверенности в решении задач по данной теме

1. Беседа с учащимися

2. Система упражнений и задач, формирующих интерес к изучению темы «Способы решения целых уравнений»

3. Повторение, систематизация и обобщение знаний

4. Расширение и углубление знаний

5. Система заданий для самостоятельной работы, домашнее задание

Беседа с учащимися

Ребята! Вам предстоит итоговая аттестация по математике. Чтобы успешно сдать экзамен, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и уметь применить ваши знания в нестандартных ситуациях. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний по решению целых уравнений с одной переменной со степенями, выше второй степени. Уравнение — это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений. Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н.э. вавилоняне. Стандартные приемы и методы решения элементарных алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений. В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: 1) преобразование уравнения к стандартному виду; 2) решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов целых уравнений, позволяющих привести уравнение к стандартному виду «Произведение равно нулю» и понижающих степень множителей. Для уравнений высшей степени известны формулы корней, но они очень сложные Многие уравнения при применении нестандартных приемов решаются гораздо короче и проще.

Система упражнений и задач, формирующих интерес к изучению темы «Способы решения целых уравнений»

Предлагаются задания повышенной трудности

1) х 2 — 6│х│+8 = 0 2) х 5 +2х+1 = 0

3) х 5 +х 3 +2х – 4 = 0 4) (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

5) 2х 4 +х 3 -6х 2 +х+2=0 6) (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х 2

7) х 3 – 8х 2 + 13х -2=0 8) 2х 4 – 2х 3 – х +1 = 0

Задание для учащихся: проанализируйте данные уравнения, ответив на следующие вопросы:

1.Какое уравнение называется целым и есть ли среди данных уравнений — целые?

2. Как найти степень целого уравнения, сколько корней может иметь уравнение с одной переменной первой, второй, третьей степени?

3. Могли бы вы для какого-нибудь уравнения предложить способ решения?

4.Какие способы решения целых уравнений вы можете назвать?

5. Можно ли здесь применить один из названных вами способов?

3. Повторение, систематизация и обобщение знаний

Повторение известных методов решения уравнений.

Метод разложения на множители

Если уравнение равносильными преобразованиями можно привести к виду f(x)·q(x)=0, то f(x)=0 или q(x)=0, если х удовлетворяет области допустимых значений переменной.

Введение новой переменной (замена переменной)

Заменим некоторое выражение в уравнении новой переменной и получим более простое уравнение относительно новой переменной. Решая полученное уравнение, находим значение введенной переменной. Возвращаясь к старой переменной, решаем уравнения и вычислим корни исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение f(x)=q(x). Строим в одной системе координат графики функций у = f(x) и у = q(x). Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями уравнения (Этот способ не всегда обеспечивает высокую точность значений корней уравнения).

Цель проведения: повторить известные виды целых уравнений и известные способы их решения

x 3 — 8х 2 –х +8 =0

x 3 -2х 2 -4х +8 =0

x 3 – 3х 2 -4х = 0

(х 2 – 3х +1)(х 2 -3х +3)=3

(2х + 1) 2 + 4(2х +1) = 221

После выполнения самостоятельной работы учащиеся проверяют ответы, еще раз обсуждают выбор способа решения целых уравнений и после сдают самостоятельную работу.

Рассмотрим решение более сложных заданий:

1). Найти сумму корней уравнения (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

Произведение 1 и 4, 2 и 3 множителей заменим квадратными трехчленами

(х 2 +6х+5)(х 2 +6х+8) = 40. Вводим новую переменю у = х 2 +6х+5 и получим квадратное уравнение относительно у: у 2 +3у – 40 =0. Находим корни этого уравнения и корни исходного уравнения, х ₁ = 0, х ₂ =-6. Сумма корней равна -6.

2) . Решите уравнение (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х 2

Произведение 1 и 4, 2 и 3 множителей заменим квадратными трехчленами

(х 2 + 14х + 24)(х 2 + 11х +24)= 4х 2 . Обе части уравнения разделим на х 2 ≠ 0 и получим уравнение (х+24/х +14)(х+24/х +11)=4. Пусть х+24/х=у, тогда (у+14)(у+11)=4,

Получим квадратное уравнение у 2 +25у+150=0, корнями которого будут числа -10; -15. Возвращаясь к замене получим корни исходного уравнения:

4. Расширение и углубление знаний

Рассмотрим некоторые приемы решения целых уравнений и теоремы из курса алгебры о решении уравнений.

Теорема1: О корне многочлена .

Если число а является корнем многочлена Р(х) = а ₀ х п + а ₁ х п-1 +….+а _п-1 х + а _п , где а ₀ ≠0, то этот многочлен можно представить в виде произведения (х-а)Р ₁ (х), где Р ₁ (х) – многочлен п-1-й степени

Теорема 2: О целых корнях уравнения

Если уравнение а ₀ х п + а ₁ х п-1 +….+а _п-1 х + а _{п =0,} в котором все коэффициенты целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Возвратимся к ранее предложенным заданиям . Есть много интересных методов решения уравнений. Не следует думать, что любое нестандартное уравнение труднее для решения, чем стандартное.

При решении уравнений высших степеней иногда применяется процедура угадывания хотя бы одного корня. Угаданный корень позволяет понизить степень многочлена на единицу, дальше достаточно выполнить деление уголком. Для нахождения корней многочлена полезно знать теорему о целых корнях уравнения. Рассмотрим, как она применяется при решении уравнений. Приведем примеры решения целых уравнений с использованием указанных теорем. Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число 1 является корнем многочлена.

Например, в многочлене 3х 2 -2х 3 — 7х +6 сумма коэффициентов равна нулю:

3 -2-7+6=0 . Легко проверить, что х=1 является корнем многочлена.

Свободный член считается коэффициентом при нулевой степени переменной, поскольку а _{n =} а _n х 0 . а – свободный член многочлена.

Например, в многочлене 5х 4 +3х 3 + 2х 2 +5х +1 сумма коэффициентов при четных степенях х: 5 +2 +1 =8 , и сумма коэффициентов при нечетных степенях х : 3 +5 =равна 8. Легко проверить, что х= -1 является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Рассмотрим, например, многочлен 2х 3 – 3х 2 + 5х -14

Делители свободного члена: +1;-1;+2;-2;+7;-7

Сумма всех коэффициентов многочлена равна : 2-3+5-14 ≠ 0 следовательно, число 1 не является корнем многочлена.

Сумма коэффициентов при четных степенях х : -3-14=-17

Сумма коэффициентов при нечетных степенях х: 2+5=7; -17 ≠7,

следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.

Проверим, является ли число 2 корнем многочлена, получаем верное равенство, следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме о корне, многочлен 2х 3 — 3х 2 + 5х -14 делится без остатка на двучлен х-2 .

Как разделить многочлен на двучлен?

Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.

Разделим многочлен на двучлен x -2 столбиком:

_2 x 3 -3 x 2 +5 x -14 x -2

2 x 3 -4 x 2 2 x 2 + x +7

Пример 2 (Задание можно решить также с помощью замены переменной)

Разложить на множители многочлен

P(x) = x 4 + 4х 2 -5

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного

многочлена P(x) , а это значит , что из теоремы о целых корнях

P(x) делится на (x – 1) без остатка.

_x 4 + 4x 2 – 5 x – 1

x 4 – x 3 x 3 + x 2 + 5x + 5

P(x)/(x – 1) = x 3 + x 2 + 5x + 5 , значит P(x) = (x – 1)(x 3 + x 2 + 5x + 5).

Среди делителей свободного члена многочлена x 3 + x 2 + 5x + 5

x = -1 является его корнем, а это значит, что x 3 + x 2 + 5x + 5 делится на (x + 1) без остатка

_x 3 + x 2 +5x + 5 x + 1

(x 3 + x 2 +5x + 5)/(x + 1) = x 2 +5 , значит x 2 +5x + 5 = (x +1)(x 2 +5).

P(x) = (x – 1)(x +1)(x 2 +5) .

Двучлен (x 2 + 5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому P(x) далее на множители не раскладывается.

Ответ: x 4 + 4x 2 – 5 = (x – 1)(x +1)(x 2 +5) .

Пример 3 . Решить уравнение х 3 -8х 2 + 13х -2 =0.

Если уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы 2 он является делителем числа -2, т.е. равен одному из чисел 1,-1,2,-2. Проверка убеждает нас, что корнем уравнения является число 2. Значит в силу теоремы многочлен х 3 -8х 2 + 13х -2 можно представить в виде в виде (х-2) F (х), где F (х) – многочлен второй степени. Для того, чтобы найти многочлен F (х), разделим, многочлен х 3 -8х 2 + 13х -2 на двучлен х-2. Деление многочленов выполним «уголком».

_х 3 -8х 2 +13х -2 х-2

x 3 -2 x 3 x 2 -6 x +1

Значит исходное уравнение можно представить в виде (х- 2 ) (х 2 -6х +1) =0.

Отсюда х-2=0 или х 2 — 6х +1 =0, Первое уравнение имеет корень – число 2, второе уравнение имеет два корня: 3 -, 3 +

Пример 4 . Доказать, что уравнение 2х 4 – 2х3 — х +1 = 0 не имеет целых корней. Целыми корнями могут быть делители свободного члена -1,1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что ни одно из них не является корнем уравнения.

Использование монотонности функции.

Вспомним определение возрастающей и убывающей функций:

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента соответствует т большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Теорема 3 . Если y = g(x) – монотонно возрастает на промежутке I и y = f(x) – монотонно возрастает на промежутке I, то y = g(x)+f(x) – монотонно возрастает на промежутке I.

Теорема 4 . Если y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то уравнение f(x) = a имеет на промежутке I не более одного корня.

Теорема 5 . Если y = f(x) возрастает на I, а y = g(x) убывает на I, то уравнение f(x) = g(x) на промежутке I имеет не более одного корня.

Пример 5. Решите уравнение: x 5 +x 3 +2x-4=0.

Решение: Функция f(x) = x 5 +x 3 +2x-4 возрастает как сумма трех возрастающих функций y = x 5 , y = x 3 и y = 2x-4 на R. Тогда уравнение f(x) = 0 имеет не более одного корня. Вспомним правило: все целые корни многочлена Р(х) с целыми коэффициентами содержатся среди делителей свободного члена.

Испытывая делители свободного члена, находим, что x=1.

Других целых корней у уравнения нет.

Пример 6 . Решить уравнение х 5 + 2х — 3= 0

Представим в виде х 5 = — 2х +3.

Функция у = х 5 –возрастающая, а функция у = -2х +3 – убывающая на R , значит уравнение имеет не более одного корня. Угадываем корень х = 1.

Использование четности функции

Вспомним определение четной функции:

Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и выполняется равенство f(-x)= f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. При решении уравнения достаточно найти его неотрицательные корни, остальные восстановить по соображению симметрии.

Пример 7. Решить уравнение х 2 — 6│х│+8 = 0 и найти произведение корней.

у= х 2 — 6│х│+8 — четная функция. Решим уравнение для неотрицательных х.

х 2 — 6х+8 = 0, х ₁ =2 и х ₂ =4 (оба корня годятся). По соображениям симметрии

х ₃ = — 2 и х ₄ = — 4. Произведение корней -2·2·(-4)·4=64 Ответ. 64.

Решение возвратных уравнений

Возвратным уравнением называется уравнение вида

а ₀ х п + а ₁ х п-1 +….+а _п-1 х + а _п =0 _, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны, т.е. а к = а п-к , где к =0,1,2,….п.

Рассмотрим пример возвратного уравнения четвертой степени.

Пример 8. Решить уравнение: х 4 – 5х 3 + 6 – 5х +1 = 0.

Воспользуемся тем, что коэффициенты членов многочлена, записанного в левой части уравнения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой. Разделив обе части уравнения на х 2 , получим равносильное ему уравнение.

х 2 -5х+6 – 5/х + 1/х 2 = 0

Сгруппируем первый член с последним и второй с четвертым, получим:

(х 2 + 1/х 2 ) -5(х + 1/х) + 6 =0

Введем новую переменную: у = х +1/х и возведем левую и правую часть в квадрат, тогда

x 2 + 2 +1/х 2 = у 2

Выполнив подстановку, получим

решая это квадратное уравнение получим: у ₁ =1 и у ₂ =4, значит

х + 1/х=1 или х + 1/х=4.

Решая эти уравнения, найдем, что первое из них не имеет корней, а второе имеет два корня:

Пример 9 . Решить уравнение 2х 4 +х 3 -6х 2 +х+2=0

Это возвратное уравнение

Разделим обе части уравнения на х 2 ≠ 0. 2х 2 +х – 6 +1/х+2/(х 2 )=0.

Сгруппируем 2(х 2 +1/(х 2 ))+(х+1/х) -6=0, вводим новую переменную у=х+1/х и получим уравнение 2(у 2 -2)+у -6=0, 2у 2 + у -10=0.

Выделим названия рассмотренных способов и приемов решения целых уравнений:

— Разложение на множители

— Использование четности функции

— Использование монотонности функции

— Умножение меньшего множителя на больший и умножение двух средних множителей с последующей заменой переменной

— Подбор корня и деление многочленов столбиком

— Деление на x 4 с последующей заменой переменной

Контрольное задание: Проверьте как вы усвоили новый материал, постарайтесь для каждого уравнения назвать соответствующий способ решения.

2) (х 2 +3х ) 2 +2 (х 2 +3х ) — 120=0

6) (х 2 +х+6)(х 2 +х-4)=144

7) х 5 — х 4 -2х 3 +2х 2 -3х +3=0

9) 2х 4 +х 3 — 3х 2 +х +2=0.

Учащиеся в фронтальном опросе предлагают соответствующий способ решения каждого уравнения, возможно даже не один.

1. Использование монотонности функции.

2. Замена переменной.

3. Графический способ или использование монотонности функции.

4. Замена переменной или использование четности функции.

5. Умножение меньшего множителя на больший и умножение двух средних множителей с последующей заменой переменной.

6. Разложение на множители.

8) Подбор коня и деление многочленов столбиком.

9) Деление на x 4 или подбор коня и деление многочленов столбиком

5. Задания для самостоятельной работы

Решите уравнение, выбирая подходящий метод или используя разные способы.

х 4 +2х 3 – 6х 2 +2х+1=0.

Ю.Н. Макарычев и др., Просвещение, 2011г.

У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ.

Виноградов И.М. (главный редактор) Математическая энциклопедия.

Б.М. Ивлев и др. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа 1990г.

Методы решения целых алгебраических уравнений

Методы решения целых алгебраических уравнений

Разложение на множители

Часть целых алгебраических уравнений (или аналогичных неравенств) степени n выше 2-й могут быть решены путём разложения многочлена в левой части уравнения (неравенства) на множители с помощью таких известных приёмов, как группировка и вынесение общего множителя за скобки. Иногда для достижения цели приходится прибавлять и одновременно вычитать одно и то же выражение. Отметим, что порой разложение на множители этим способом требует определённого искусства.

Если разложение на множители удалось выполнить, то решение алгебраического уравнения сводится к решению совокупности нескольких уравнений, но более низкой степени. Неравенство после разложения на множители можно решать методом интервалов.

Пример №176.

Решить уравнение

Решение:

Из 1-го уравнения находим корни , а второе не имеет решений.

Пример №177.

Найти все положительные корни уравнения

Решение:

Покажем, что второе уравнение в совокупности не имеет положительных решений. Действительно, рассмотрим функцию Её производная при всех действительных x, так как Следовательно, функция всюду монотонно возрастает, при этом y(0) = 5 . Отсюда следует, что при x > 0 её график не пересекает оси абсцисс.

Ответ:

Подбор корня с последующим понижением степени уравнения

При решении алгебраических уравнений и неравенств степени выше второй можно использовать общий принцип последовательного понижения степени уравнения (неравенства).

Пусть требуется решить уравнение n -й степени

где целый рациональный алгебраический многочлен n -й степени. Если удалось подобрать (любым способом) какой-либо корень данного уравнения, то для нахождения остальных корней уравнения следует поделить многочлен на разность X — Х0 (или целенаправленной группировкой слагаемых, выделяя разность , разложить этот многочлен на множители). В результате деления образуется некоторый многочлен , степень которого на единицу меньше первоначальной. Таким образом, задача свелась к решению алгебраического уравнения степени n — 1 :

Пример №178.

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = 2 является корнем данного уравнения. Найдём другие корни этого уравнения:

Решая уравнение , находим ещё два корня

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Пример №179.

Решить уравнение

Решение:

Легко заметить, проанализировав структуру уравнения, что числа x = 0 и x = -10 являются решениями данного уравнения. С другой стороны, ясно, что это квадратное уравнение, а поэтому может иметь не более двух корней. Так как два корня уравнения уже подобраны, то других корней нет.

В некоторых случаях, для того чтобы не подбирать корень «вслепую», можно воспользоваться следующим методом.

Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами

Для решения такого рода уравнений и неравенств используется метод, в основе которого лежит Теорема 9 из предыдущего пункта. Рассмотрим подробнее суть этого метода. Пусть требуется найти рациональные корни уравнения n -й степени

причём все коэффициенты алгебраического многочлена являются целыми числами. Поиск рациона-льных корней можно свести к перебору ограниченного количества вариантов. Для этого необходимо, во-первых, найти все целочислен-ные делители свободного члена (их конечное число, однако если этот коэффициент содержит слишком много делителей, то это затрудняет поиск корней в уравнении). Обозначим, например, эти делители через . Во-вторых, следует найти все натуральные делители старшего коэффициента уравнения . Обозначим эти делители через . В-третьих, надо составить всевозможные дроби вида . Наконец, перебирая по очереди все такие дроби, проверить, является ли в действительности каждая из них корнем данного уравнения. Найдя таким образом первый корень , вы или сразу понижаете степень уравнения делением многочлена на разность , (причём в силу следствия из теоремы Безу обязательно разделится нацело на этот линейный двучлен) и получаете некоторый многочлен степени на единицу меньшей, чем первоначальная. Или, перебирая все дроби, находите все рациональные корни и уже затем понижаете степень уравнения сразу на столько порядков, сколько рациональных корней удалось найти, и ищете оставшиеся иррациональные корни. В любом случае задача сводится к решению уравнения более низкой степени.

Пример №180.

При каких натуральных n уравнение имеет рациональные корни?

Решение:

Воспользуемся приведённым выше методом. Свободный член имеет два целочисленных делителя: ± 1, а старший коэффициент — два натуральных делителя: 1,2. Поэтому рациональные корни следует искать среди чисел Подставим их поочерёдно в уравнение.

Ответ:

Метод неопределённых коэффициентов

Иногда для решения целых алгебраических уравнений (неравенств) с одной или несколькими неизвестными используют метод неопределённых коэффициентов. Пусть, например, решается уравнение

Суть метода состоит в том, что многочлен в левой части уравнения представляется в виде произведения линейных и(или) квадратичных сомножителей с неизвестными (неопределёнными) коэффициентами Чтобы найти эти коэффициенты, раскрывают скобки в указанном произведении и приводят образовавшийся при этом многочлен к стандарт-ному виду. Так как два многочлена и одной степени тождественно равны тогда и только тогда,

когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то, приравнивая эти коэффициенты, получают систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эту систему решают (или подбирают любое решение). Найденные таким способом коэффи-циенты становятся определёнными и их значения подставляются в исходное разложение. К недостаткам метода можно отнести то, что получаемая система уравнений для нахождения коэффициентов может оказаться громоздкой и трудной даже в подборе решения.

Рассмотрим применение этого метода на примере решения кубического уравнения. Допустим, требуется решить уравнение

Известно, что многочлен третьей степени всегда можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степеней. Таким образом, сразу для всех действительных значений переменной x должно выполняться равенство

где числа а,b,c являются в данном случае искомыми неопределён-ными коэффициентами. Найдём их значения. После этого останется подставить их в правую часть (1) и, приравняв её к нулю, решить уравнение для нахождения всех корней уравнения.

Чтобы найти коэффициенты а,b,c, раскроем скобки в правой части тождества (1) и приведём образовавшийся при этом многочлен к стандартному виду

Многочлены третьей степени тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Приравнивая коэффициенты при , и свободные члены, получаем систему трёх алгебраических уравнений относительно трёх неизвестных а,b,c :

решая которую (можно даже просто подобрать любое решение этой системы) находим коэффициенты.

Пример №181.

Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся для решения методом неопределённых коэффициентов. Будем искать разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, в виде

Раскрыв скобки, приведём многочлен в правой части к стандартному виду

Приравнивая коэффициенты слева и справа при ,и свободные члены, получаем в итоге систему трёх уравнений с тремя неизвестными коэффициентами а,b,c:

Найдя подбором решение подставим найденные коэффициенты в разложение (2). Таким образом, исходное уравнение приобретает вид Оно имеет три корня

Пример №182.

При каких значениях а все корни уравнения являются корнями уравнения

Решение:

Чтобы первое из уравнений имело корни, необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицателен, т.е.

Далее, второй многочлен в силу теоремы Безу должен делиться нацело на первый многочлен. Иными словами, должно найтись такое b , что при всех действительных x справедливо тождество

Для нахождения неопределённых коэффициентов (в данном случае в их роли выступают а и b ) воспользуемся известным фактом, что два кубических многочлена, стоящие по разные стороны от знака равенства, тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений

Метод умножения на функцию

Иногда, применяя приём умножения обеих частей уравнения (неравенства) на некоторую функцию, удаётся упростить уравнение (неравенство).

Пример №183.

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = — 1 (и вообще никакое отрицательное число) не является корнем данного уравнения. Домножим обе части данного уравнения на выражение (х +1). Получаем уравнение-следствие

множество решений которого состоит из всех решений исходного уравнения и числа x = -1. Это число является посторонним корнем, возникшем как раз в результате умножения уравнения на функцию, имеющую действительный нуль. Применяя известную формулу сокращенного умножения, получаем существенно более простое уравнение Поскольку уравнение не имеет других решений, кроме x = -1, то приходим к ответу.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим некоторые виды целых алгебраических уравнений, решаемые в основном при помощи специально подобранных подстановок.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института