Методы решения уравнений и неравенств 10 класс

«Решение неравенств». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели:

Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения рациональных неравенств.
Содействовать развитию математического мышления учащихся,умению комментировать,тренировать память.
Воспитание ответственного отношения к учебному труду,чувства товарищества и взаимопомощи.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал(разноуровневые карточки с практическими заданиями).

Структура урока:

Сообщение темы и цели урока (1 мин.)
Проверка домашнего задания (5 мин.)
Систематизация знаний и умений по пройденному материалу (10 мин.)
Инструктирование по выполнению заданий в группах (3 мин.)
Выполнение заданий в группах (15 мин.)
Проверка и обсуждение полученных результатов (8 мин.)
Постановка домашнего задания (2 мин.)
Подведение итогов урока (1 мин.)

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока.

Сегодня на уроке мы будем решать неравенства методом интервалов и методом замены переменных. Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Ньютона:“При изучении наукпримеры не менее поучительны,нежели правила” и слова Ломоносова: “Примеры учат больше,чем теория”.

II. Проверка домашнего задания.

На дом были даны неравенства. Проверьте ваше решение по интерактивной доске.

Отметим на числовой оси корни числителя и знаменателя.

Ответ: Є (-3; 1]

≥

Преобразуем исходное неравенство

– ≥ 0

≥ 0

Применим метод интервалов.

III. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу.

Решим методом интервалов следующее неравенство. (Учитель на доске дает образец решения неравенств).

≥ 0

Рассмотрим функцию

1. Область определения функции f(x)находим из системы неравенств

Область определения: [-4; 3) U (3; 4]

2. Уравнение f (x) ═ 0 имеет корни: -4; 4; 3,5

Ответ: [-4; 3) U [3,5; 4]

Следующее неравенство решим методом замены переменных.

()² + 7 () +12 0
≤ 0
≥ 0

V. Выполнение заданий в группах.

VI. Проверка и обсуждение полученных результатов.

Проверьте по интерактивной доске решение работы.

Учащиеся осуществляют самопроверку и самооценку заданий. Получают разъяснения по возникающим при этом вопросам.

Ответы к рассмотренному варианту.

Воспользуемся методом интервалов, получим :

≤ 0

Замена

Тогда t-1 — ≤ 0

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» ученицей 10 класса школы была поставлена и реализована цель изучить новые методы решения уравнений и неравенств. Каждый из методов был описан и продемонстрирован отдельно.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» учащейся приведены характеристики таких методов решения уравнений, как метод разложения на множители, метод замены переменной, метод решения уравнений с помощью теоремы Виета и метод интервалов, а также продемонстрированы нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств, метод рационализации, учёт ОДЗ и метод мажорант.

Введение
1. Теория уравнений и неравенств.
1.1 Основные понятия теории уравнений и неравенств.
1.2 Методы решения уравнений и неравенств.
1.2.1 Метод разложения на множители.
1.2.2 Метод замены переменной.
1.2.3 Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета.
1.2.4 Метод интервалов.
2. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
2.1 Метод рационализации.
2.2 Учёт ОДЗ.
2.3 Метод мажорант (оценки).
2.4 Использование свойств функций.
2.4.1 Использование ОДЗ.
2.4.2 Использование монотонности функции.
2.4.3 Использование графиков.
2.5 Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.
2.5.1 Угадывание корня уравнения.
3. Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств».
3.1 Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.
3.2 Создание контента тренажёра.
3.3 Описание созданного продукта.
3.4 Апробация продукта.
Заключение
Список литературы

Введение

Объектом исследования являются уравнения и неравенства.

Предмет исследования: некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В начале работы над проектом была сформулирована гипотеза: благодаря новым методам решения уравнений и неравенств, удастся сократить количество шагов решения в алгоритме и снизить вероятность допущения ошибки. Исходя из этого вывода, была поставлена цель проекта: изучить новые методы решения уравнений и неравенств.

Продуктом проекта были выбраны дидактические материалы с алгоритмом решения уравнений и неравенств новыми методами и тренажёры для отработки заданий подобного типа. Для продуктивного и удобного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта проекта:понятный и удобный интерфейс, наличие мобильной версии, возможность использования русского языка, возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера, тиражируемость (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования).

В процессе создания проекта были сформулированы некоторые задачи:

Изучить всевозможные источники информации по данной теме, структурировать собранную информацию
Провести опрос
Разработать алгоритмы решения уравнений и неравенств определенным (нестандартным) способом
Анализ имеющихся тренажёров, подобрать задания, решаемые нестандартным способом, решить их
Создать тренажёр
Апробировать продукт
Провести опрос об эффективности продукта
Собрать статистику
Распространить продукт

Методы исследования, используемые при работе над проектом: анализ, обобщение, синтез, классификация, систематизация, сравнение, прототипирование.

Научная новизна: разработаны уникальные дидактические материалы

Теоретическая значимость: расширение представления о некоторых методах решения уравнений и неравенств.

Практическая значимость: продукт проекта может быть использован учениками при подготовке к ЕГЭ, а также учителями математики.

Социальная значимость: проект может помочь ученикам 9-11 классов при подготовке к экзамену.

Основные понятия теории уравнений и неравенств

Уравнение – равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Корень (решение) уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение — найти его корни или доказать, что корней нет.

Неравенство – два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: , ≤, ≥.

Основные свойства уравнений:

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение неравенства – то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.

Методы решения уравнений и неравенств

Теперь, после перечисления основных понятий, следует вспомнить известные нам из школьной программы способы решения уравнений и неравенств.

Метод разложения на множители

Для разложения на множители используют формулы сокращённого умножения (ФСУ), вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, деление многочлена на многочлен.

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль.

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной.

Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета

Важно. Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом: х2 + px + q = 0. разница с обычным общим видом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том, что в приведённом уравнении x2 + px + q = 0 коэффициент а = 1.

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 · x2 = q, где x1 и x2 — корни этого уравнения.

Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств. Метод рационализации

Приведем алгоритм решения уравнений и неравенств методом рационализации:

Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства
Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа – ноль.
Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

Учёт ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.

Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Метод мажорант (оценки)

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.

Использование графиков

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ ещё надо обосновать.

Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
Представить левую и правую части уравнения/неравенства как функции и построить их графики.
По графику определить решение уравнения/неравенства.
Доказать справедливость ответа.

Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Методом подбора определить корень уравнения.
Найти ОДЗ уравнения.
Привести многочлен к стандартному виду.
Определить остальные корни уравнения.

Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит практиковаться в решении уравнений и неравенств с помощью новых, нестандартных методов решения. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

Платформы были проанализированы по критериям:

Понятный и удобный интерфейс сайта
Возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента
Наличие мобильной версии
Возможность использования русского языка
Возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера
Доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования)
В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям:

элективный курс.10 класс.«Методы решения уравнений, неравенств и их систем».
элективный курс по алгебре (10 класс) на тему

Углубление отдельных тем обязательных предметов федерального компонента и обязательных предметов по выбору

Скачать:

Вложение	Размер
gogokina_in-4.doc	115 КБ

Предварительный просмотр:

«Методы решения уравнений, неравенств и их систем».

Номинация : углубление отдельных тем обязательных предметов федерального компонента и обязательных предметов по выбору

Гогокина Ирина Николаевна.

Программа данного элективного курса рассчитана на 17 часов и предназначена для учащихся 10 класса. Элективный курс направлен на углубление раздела «Уравнения ,неравенства и их системы.» и дает возможность удовлетворить в отдельных частях запрос на усвоение образовательных результатов конкретного раздела на более высоком уровне. Такой запрос зафиксирован у ___ % учеников – это те ученики, которые планируют использовать результаты ЕГЭ для поступления в ВУЗы.

Цели курса : научить решать учащихся уравнения, неравенства и их системы повышенной сложности.

Планируемые образовательные результаты:

1)решает рациональные уравнения ,неравенства и их системы повышенной сложности;

2)решает иррациональные уравнения, неравенства и их системы повышенной сложности.

3)решает неравенства повышенной сложности, содержащие абсолютные величины.

4)решает задачи на составление уравнений повышенной сложности.

Включенный в программу материал предполагает повторение и углубление следующих разделов дисциплины «Математика» :

1.Уравнения и системы уравнений (7ч)

2.Неравенства и их системы (5ч).

3. Решение задач на составление уравнений (7ч).

В рамках основного курса учащиеся научились решать простые рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и их системы.

Повышенная сложность вызвана тем, что при решении всех перечисленных типов уравнений и неравенств необходимо комбинировать простые алгоритмы решения.Учащиеся 10-х классов уже решают более простые уравнения ,входящие как составная часть в решение сложных, но в задачах повышенного уровня испытывают затруднения. Первой проблемой является то, что за нетрадиционной формулировкой этих задач учащимся часто не могут увидеть типовые задачи, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. Вторая проблема состоит в том , что в курсе программы по алгебре 10-11-х классов практически не предусмотрены часы на решение текстовых задач повышенной сложности. По этим причинам возникла необходимость более глубокого решение текстовых задач. Поэтому в главе III «Решение задач на составление уравнений» предусмотрены только практические занятия на отработку знаний.

Для реализации данного курса используются различные формы организации занятий, такие как групповая, индивидуальная, работа в парах. Итоги реализации данной программы подводятся в форме «зачёта» на итоговом занятии.

I .Уравнения и системы уравнений

1)Способы приведения рациональных уравнений с помощью преобразований к линейным:

1 ) освобождение рационального уравнения от знаменателей и переход к многочленам ;

2)замена переменной в уравнении.

2)Способы приведения иррациональных уравнений с помощью преобразований к квадратным:

1)переход к равносильной системе;

2)введение новой переменной;

3) использование свойства монотонности функций.

3)Практическая деятельность учащихся:

Приводят рациональные уравнения с помощью преобразований к линейным;
Приводят рациональные уравнения с помощью преобразование к квадратным;
Определяют наличие лишних корней в иррациональном уравнении;
Производят замену неизвестного и раскладывают на множители в уравнениях повышенной сложности;
Решают комбинированные системы уравнений.

II. Неравенства и их системы

1)Способы преобразования систем уравнений:

1)прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю;
2)перестановка уравнений местами;
3)удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

2)Способы преобразований неравенства и системы неравенств, содержащие абсолютные величины:

1)используя геометрический смысл;

2) возведение неравенства в квадрат;

3)с помощью двойного неравенства;

4)используя схематический набросок графика квадратной функции.