Методы решения уравнений и неравенств презентация

Способы решения уравнений и неравенств : Уметь решать простые уравнения и неравенства 1. Алгебраические Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемНаталья Шлыкова

Похожие презентации

Презентация на тему: » Способы решения уравнений и неравенств : Уметь решать простые уравнения и неравенства 1. Алгебраические Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств.» — Транскрипт:

1 Способы решения уравнений и неравенств : Уметь решать простые уравнения и неравенства 1. Алгебраические Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств 2. Иррациональные 3. Тригонометрические 4. Показательные 5. Логарифмические Вернуться 6. Неравенства

2 1. Алгебраические уравнения Линейные уравнения Неполные квадратные уравнения Полные квадратные уравнения Дробные рациональные уравнения Уравнения в виде пропорции Главное менюВернуться

3 Линейные уравнения. kx = b, если k 0. b 0, то х = k/b (коэффициент разделить на свободный член). kx = b, если k = 0, b 0, то уравнение решений не имеет. kx = b, если k = 0. b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, х R. Помните! Если свободный член представляет произведение, то не надо перемножать, так как потом возможно сократить дробь. 3 х = 6 Ключевые слова. 1. Неизвестные в одну сторону (влево), свободные члены в другую (вправо). 2.Свободный член делить на коэффициент при неизвестном. Решить уравнения. Пример 1. 9(2х – 18) = — 9х 18х – 9 18 = — 9х, 18х + 9х = 9 18, 27х = 9 18 х = Главное меню Оглавление

4 Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения 1. ax 2 + bx = 0 с = 0 Вынесите х за скобку х(ах + b) = o Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл. х =0 или ах + b = 0 2. ax 2 + с = 0 b = 0 ax 2 = -с; х 2 = ; х 1,2 =. плюс, минус При извлечении корня не забывать ставить плюс, минус Главное меню Оглавление

5 5х 2 — 2х = 0; х(5х – 2) = 0; х =0 или 5х – 2 = 0 х= 0 ; х=0,4. Пример 1 х = 0; х 2 = 4; х = ± 2 ; Пример 2 ± Полные квадратные уравнения. ax 2 + bx + c = 0 х 2 + px + q = 0 Приведенное квадратное уравнение ax 2 + 2kx + c = 0 Коэффициент при х – четный С обратным знаком Главное меню Оглавление

0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″ title=»Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. x 2 + px + q = 0. х 1 +х 2 = р; х 1 х 2 = q Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″ > 6 Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. x 2 + px + q = 0. х 1 +х 2 = р; х 1 х 2 = q Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3. Выбрать такую пару и подобрать знаки так, чтобы сумма давала коэффициент р (с обратным знаком). Пункт 4. Записать ответ. Пример. х 2 — 3х – 40 = 0; D>0, т.к. свободный член отрицательный. 40 имеет целые множители: 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Множители 2 и 20, 4 и 10 в сумме ни при какой комбинации знаков не дадут 3, поэтому их можно отбросить. Остается пара 5 и 8. Теперь можно расставлять знаки: = 3, т.к. b = — 3 Пункт 4. х 1 = 5; х 2 = 8. Главное меню Оглавление 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″> 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3. Выбрать такую пару и подобрать знаки так, чтобы сумма давала коэффициент р (с обратным знаком). Пункт 4. Записать ответ. Пример. х 2 — 3х – 40 = 0; D>0, т.к. свободный член отрицательный. 40 имеет целые множители: 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Множители 2 и 20, 4 и 10 в сумме ни при какой комбинации знаков не дадут 3, поэтому их можно отбросить. Остается пара 5 и 8. Теперь можно расставлять знаки: 5 + 8 = 3, т.к. b = — 3 Пункт 4. х 1 = 5; х 2 = 8. Главное меню Оглавление»> 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″ title=»Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. x 2 + px + q = 0. х 1 +х 2 = р; х 1 х 2 = q Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″>

7 Решение специальных видов квадратных уравнений. ax 2 + bx + c = 0 Если a + b +c = 0, то х 1 = 1, х 2 =Если a — b +c = 0, то х 1 = — 1, х 2 = Пример. 2х х + 41 = 0; 2 – = 0 х 1 = 1, х 2 = 41/2, х 2 = 20,5 Пример. 24х х + 6 = 0; 24 – = 0 х 1 = — 1, х 2 = — 6/24, х 2 = — 0,25 Главное меню Оглавление

8 Пункт 1. Разложить знаменатели на множители; Пункт 2. Найти общий знаменатель (ОЗ); Пункт 3. Найти значения неизвестного, при котором ОЗ неравен (равен) нулю. Записать область определения уравнения; Пункт 4. Привести уравнение к целому виду, для чего: а) поставить черточки к каждому члену уравнения; найти и записать дополнительные множители (доп. множ); Доп. множ = б) записать результат умножения допмнож. на числитель. Запись производить без знаменателя в целом виде; Пункт 5. Решить полученное уравнение; Пункт 6. Сравнить полученные корни с областью определения уравнения и исключить посторонние. Дробные рациональные уравнения. Главное меню Оглавление Вернуться

9 Пример1. Пункт1. Пункт 3. х — 4 х Пункт4. х – 4 – х 2 + х +20 = 8 х 2 — 2х – 8 = 0; х = — 2; х = 4 посторонний корень. Ответ: -2. Алгоритм Главное меню Оглавление

10 Уравнения в виде пропорции. Основное свойство пропорции: ad = bc Пункт 1. Найти область определения; Пункт 2. Перемножить крест на крест; Пункт 3. Решить соответствующее уравнение. Пример 1. х = 2х х 2 – 1 = 0, х = ± 1 Пример 2. 3х = х х 2 — 3х + 2 = 0 х 1 = 1, х 2 = 2 Главное меню Оглавление

11 2. Иррациональные уравнения 1. Уравнение вида = b2. Уравнение вида 3. Уравнение вида 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Главное меню Вернуться

12 2. Иррациональные уравнения 1. Уравнение вида = b f(x) = b 2, при b 0; при b

13 Примеры. 3. Уравнение вида Выберите неравенство, которое проще. либо Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Оглавление Главное меню

14 Примеры. Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Проверка: х = — 1 Равенство верно х = 5 Равенство неверно Главное меню Оглавление

15 Уравнения, сводящиеся к квадратным Такие уравнения содержат корни с одинаковыми подкоренными выражениями, степени которых разняться в два раза ( ). Решаются путем замены корня, с учетом ограничений. Примеры. = t, где t 0 t 2 – 2 t – 3 = 0, t = — 1, t = 3, учитывая, что t 0, t = 3 Ответ: х = ± 7 х — любое Главное меню Оглавление

16 3. Тригонометрические уравнения 1. Решение простейших тригонометрических уравнений 2. Решение простых тригонометрических уравнений Главное меню Вернуться

17 Уравнения sinх = 0, ± 1 Уравнения sinх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 0 sinх = 0 х = 0 Придем в следующий «нуль» через пол оборота х = πn, n х = πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 1 sinх = 1 х = π/2 Придем в единицу через целый оборот sinх = -1 sinх = -1 х = π/2 +2πn, n х = π/2 +2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π х = -π/2 х = — π/2 +2πn, n х = — π/2 +2πn, n Главное меню Оглавление

18 0 -π/2 π/2 3π/2 π Уравнения cosх = 0, ± 1 Уравнения cosх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = 1 cosх = 1 х = 0 Придем в следующую 1 через целый оборот х = 2πn, n х = 2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = -1 cosх = -1 х = π Придем в единицу через целый оборот cosх = 0 cosх = 0 х = π +2πn, n х = π +2πn, n х = π/2 х = π/2 +πn, n х = π/2 +πn, n Придем в 0 через пол оборота Главное меню Оглавление

0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 19 sinх = а Для а > 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а

0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений» title=»Минус единица в степени. Минус единица в степени. Плюс, минус … арктангенс арктангенс арккотангенс арккотангенс Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений» > 20 Минус единица в степени. Минус единица в степени. Плюс, минус … арктангенс арктангенс арккотангенс арккотангенс Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a Для уравнений sinx= a, tgх =а, ctgx = a + πn Для уравнения cosx = a +2πn+2πn+2πn+2πn Главное меню Оглавление 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений»> 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a Для уравнений sinx= a, tgх =а, ctgx = a + πn Для уравнения cosx = a +2πn+2πn+2πn+2πn Главное меню Оглавление»> 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений» title=»Минус единица в степени. Минус единица в степени. Плюс, минус … арктангенс арктангенс арккотангенс арккотангенс Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений»>

21 Минус единица в степени n +1… Минус единица в степени n +1… Плюс, минус, скобка, пи минус… Плюс, минус, скобка, пи минус… минус арктангенс пи минус арккотангенс пи минус арккотангенс Считая а

22 Алгоритм. Пункт 1. Привести угол в стандартный вид; Пункт 2. Выразить «чистый» sin, cos, tg, ctg; Пункт 3. Записать весь угол; Пункт 4. Записать формулу решения; Пункт 5. Найти неизвестное. Примечания. Пункт 1.х должен быть с плюсом, при наличии формулы приведения — применить; Пункт 3. Угол записывается таким какой он получился после пункта 1; Пункт 4. Формула решения записывается в соответствии с вопросом: «Чье уравнение?» Алгоритм решения простых уравнений Главное меню Оглавление

23 1. Решите уравнение: 3 + 4sin (π/4 – 2х) = Угол в стандартный вид Найти «чистый sin» Весь угол равен: Уравнение sin: начинается с (-1) n+1 Найти х sin (2х — π/4) = 5 sin (2х — π/4) = — ½ 2х — π/4 = 2х — π/4 = (-1) n + 1 π/6 + πn n Z 2х = (-1) n + 1 π/6 + π/4 + πn х = (-1) n + 1 π/12 + π/8 + πn/2 Главное меню Оглавление

24 Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наименьший положительный корень n = — 1 5/4 – 3/2

25 4. Показательные уравнения 1. Уравнение вида а f(x) = а g(x) 2. Уравнения вида а f(x) = b f(x), а f(x) b f(x) = 1 3. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + … 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным 5. Однородные уравнения Главное меню Вернуться

26 а f(x) = а g(x) f(x) = g(x) f(x) = g(x) 1. Уравнения вида а f(x) = а g(x). Отсюда следует, что, решая уравнение, необходимо привести функции к одному основанию, используя разложение чисел на простые множители и свойства степеней. Примеры. 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 2) х = 5х, х 2 – 5х + 6 = 0 х 1 = 2, х 2 = 3 2. Решение полученного уравнения 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 6/5) 2х – 1 = х + 2 х = 3 2. Решение полученного уравнения Главное меню Оглавление

27 Золотое правилоУравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание. Золотое правило. Уравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание. 0,125 = 1/8 = ,25 = ¼ = 2 -2 Золотое правилоКорни, знаменатели привести к степеням. Золотое правило. Корни, знаменатели привести к степеням. Золотое правилоПривести обе части к видуа f(x) =a g(x), используя свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями Золотое правило. Привести обе части к виду а f(x) =a g(x), используя свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями 2 4х – 9 = 2 х = 6. Главное меню Оглавление

28 2. Уравнения вида а f(x) = b f(x), а f(x) b f(x) = 1 а f(x) = b f(x) Решение: Разделить а f(x) на b f(x) а f(x) b f(x) = 1, (ab) f(x) = (ab) 0, f(x) = 0 Примеры. 1) 25 х – 1 = 3 2х – 2,т.к 25 = 5 2, то 5 2х – 2 = 3 2х – 2, Главное меню Оглавление

29 2) 12 х – 2 = 3 3х 2 6х з х – 2 2 2х – 4 = 3 3х 2 6х. Теперь выполним действие, при котором левую часть разделим на 3 3х, а правую на 2 2х – 4, т. е. крест на крест, чтобы тройки собрать с тройками, а двойки с двойками. Получим: 3 – 2х – 2 = 2 4х + 4 или 3 –( 2х + 2) = 4 2х + 2 или 4 2х х +2 = 1, 12 2х+2 = х + 2 = 0, х = — 1. Главное меню Оглавление

30 3. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + … Данные уравнения решаются путем «очищения показателя», т.е. приведения каждого слагаемого к виду k a m а f(x) + h a n а f(x) + … Далее — приведение подобных слагаемых Обратим внимание, что член, не содержащий а f(x) (9), преобразовывать не нужно. Примеры. 23 х + 1 – 63 х – 1 – 3 х = х – 61/33 х – 3 х = 9, 63 х – 23 х – 3 х = 9, Приведем подобные: легко подсчитать «штучки». Шесть штучек, минус две штучки, минус одна штучка, будет три штучки. 33 х = 9, 3 х = 3, х = 1. Главное меню Оглавление

31 2) 2 х – х – х – 3 = 448 Очистим показатель и приведем к целому виду х + 22 х + 2 х = 8448 Было бы лишним действием умножать 8448, т.к. потом все равно сокращать. 2 х = 64 2 х =8 64, 2 х = 2 9, х = Уравнения, сводящиеся к квадратным Если степени разнятся в два раза (а f(x) и а 2f(x) ), то необходимо сделать замену: а f(x) = t, где t > 0, т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел. Главное меню Оглавление 0, т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел. Главное меню Оглавление»>

32 Общий алгоритм поиска решения показательного уравнения основания показатели 1. Привести к одному основанию 2. «Очистить» показатель» 3. Привести к определенному виду 4. Решить согласно полученному виду

0 При замене не забывай» title=»2t 2 + 4t – 16 = 0, t 2 + 2t – 8 = 0, t = — 4, t = 2. t = — 4 — посторонний корень. 2 х = 2, х = 1. Ответ: х = 1. Примеры. 2 2х+1 + 2 х +2 – 16 = 0. Сначала очистим показатель: 22 2х +4 2 х – 16 = 0. Сделаем замену 2х = t, t > 0 При замене не забывай» > 33 2t 2 + 4t – 16 = 0, t 2 + 2t – 8 = 0, t = — 4, t = 2. t = посторонний корень. 2 х = 2, х = 1. Ответ: х = 1. Примеры. 2 2х х +2 – 16 = 0. Сначала очистим показатель: 22 2х +4 2 х – 16 = 0. Сделаем замену 2х = t, t > 0 При замене не забывайте нанести ограничения! Главное меню Оглавление 0 При замене не забывай»> 0 При замене не забывайте нанести ограничения! Главное меню Оглавление»> 0 При замене не забывай» title=»2t 2 + 4t – 16 = 0, t 2 + 2t – 8 = 0, t = — 4, t = 2. t = — 4 — посторонний корень. 2 х = 2, х = 1. Ответ: х = 1. Примеры. 2 2х+1 + 2 х +2 – 16 = 0. Сначала очистим показатель: 22 2х +4 2 х – 16 = 0. Сделаем замену 2х = t, t > 0 При замене не забывай»>

34 5. Однородные уравнения Однородные уравнения 2-го порядка должны содержать следующие обязательные элементы: — функций две; — степень одинаковая; — свободный член равен нулю. Решаются путем деления всех членов уравнения на одну из функций в большей степени. 16 х +36 х = 2 81 х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4 х · 9 х х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 9 2х 0 почленно. Главное меню Оглавление

35 t 2 + t — 2 = 0, t = — 2, t = 1 t = — 2 посторонний корень х = 0 Ответ: х = 0 16 х +36 х = 2 81 х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4 х · 9 х х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 9 2х 0 почленно. Главное меню Оглавление

36 5. Логарифмические уравнения 1. Справочный материал Уравнение вида log а f(x) = b 2. Уравнение вида log а f(x) = b Уравнение вида log а f(x) = log a g(x) 3. Уравнение вида log а f(x) = log a g(x) 5. Уравнения, сводящиеся к квадратным Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) 4. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) Главное меню Вернуться

0 a 1 Главное меню Оглавление» title=»а > 0 a 1 Главное меню Оглавление» > 37 а > 0 a 1 Главное меню Оглавление 0 a 1 Главное меню Оглавление»> 0 a 1 Главное меню Оглавление»> 0 a 1 Главное меню Оглавление» title=»а > 0 a 1 Главное меню Оглавление»>

38 а = b log a b Основания должны быть одинаковые; логарифм должен быть «чистый» (коэффициент перед логарифмом равен 1). При применении помнить, что выражение под знаком логарифма больше нуля. 1. log a M · N = log a | M | + log a | N | 1) log 2 2x = 1 + log 2 x 2) lgx( 2x-3 ) = lg|x| + lg |2x-3| 2. log a M/N = log a | M | — log a | N | 1) log 2 2/x = 1 — log 2 x 2) lgx/( 2x-3 ) = lg|x| — lg |2x-3| 3.log a M 2n = 2n log a | M | 1) log 2 (-8) 2 = 2 log 2 | -8 | = 6 2) lg( 2x-3 ) 2 = 2 lg |2x-3| Главное меню Оглавление

39 При применении записать: равно, дробная черта; в числителе log c, в знаменателе – log c ; в числитель – b; в знаменатель -а = = = — 3 Главное меню Оглавление

40 5. Логарифмические уравнения 1. Уравнение вида log а f(x) = b Примеры: х -3, х – 2 = 3х + 9, х = 11/2, х = 5,5 Главное меню Оглавление

41 2. Уравнение вида log а f(x) = log а g(x) Можно выбрать одну систему, где неравенство легче Можно решать без равносильности, но надо сделать проверку и исключить посторонние корни. или Главное меню Оглавление

0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление» title=»Примеры: Неравенство х – 2 > 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление» > 42 Примеры: Неравенство х – 2 > 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление»> 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление»> 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление» title=»Примеры: Неравенство х – 2 > 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление»>

43 3. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) или log а f(x) = b Алгоритм решения 1. Найти ОДЗ уравнения; 2. Применить свойства логарифмов; 3. Решить согласно полученному виду; 4. Отобрать корни. Главное меню Оглавление

44 1) log 2 (x +1) + log 2 (x +2) = 1 1. ОДЗ 2. Сумма логарифмов log 2 (x +1)(x +2) = 1 3. Решение log 2 (x +1)(x +2) = 1 (x +1)(x +2) = 2, х 2 + 3х + 2 = 2, х = 0, х = посторонний корень Ответ: 0 Главное меню Оглавление

45 2) log 2 (x +1) — 2log 2 x = 1 Целесообразно избегать разности логарифмов, т. к. это приводит к дробям, что усложняет решение Любое число можно представить в виде логарифма по нужному основанию: c = log a a c 1 = log 2 2 Главное меню Оглавление

46 ОДЗ /3 7/3 1/ /3 x 7/3 Главное меню Оглавление

47 / /3 x 7/3 34/3 x = 3 Главное меню Оглавление

48 Уравнения, в которых степени логарифмов разнятся в два раза, решаются как квадратные с заменой логарифма. Например: log 2 и log, log 4 и log 2 и т.д. 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Следует отличать логарифм в квадрате и логарифм от квадрата: log 2 а f(x) = log а f(x) · log а f(x), a log a f 2 (x) = 2 log a |f (x)| Помните, что Логарифм в квадратеЛогарифм от квадрата 1) (lgx) 2 – 3lgx +2 = 0 lg 2 x– 3lgx +2 = 0, lgx = t, t R t 2 — 3t + 2 = 0, t= 1, t = 2 lgx = 1, lgx = 2 x = 10, x = 100 Главное меню Оглавление

49 Решение неравенств 1. Линейные неравенства Квадратные неравенства 2. Квадратные неравенства Показательные неравенства 3. Показательные неравенства Логарифмические неравенства 4. Логарифмические неравенства Главное меню Вернуться

b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление» title=»Неравенства вида kx >b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление» > 50 Неравенства вида kx >b; kx x х 2 – 8 > x (х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление»> b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление»> b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление» title=»Неравенства вида kx >b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление»>

b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен» title=»Неравенства вида kx >b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен» > 51 Неравенства вида kx >b; kx x х 2 – 8 > x (х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравенств: 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k Главное меню Оглавление b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен»> b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравенств: 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k Главное меню Оглавление»> b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен» title=»Неравенства вида kx >b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен»>

52 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k Если коэффициент при х положительный, то знак неравенства не изменять Если коэффициент при х отрицательный, то знак неравенства изменить на противоположный Главное меню Оглавление

11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 53 Неизвестные – в одну сторону, свободные члены – в другую. Свободный член разделить на коэффициент.. 4(2 – х) – 5 + х > 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х

0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 54 D>0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c

0 или f(x) 0 или f(x) 55 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид (раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные, расположить в порядке убывания степеней); Пункт 2. Записать функцию f(x) >0 или f(x) 0 или f(x) 0 или f(x) 0 или f(x) 0 или f(x)

0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст» title=»Пример 1. х 2 — 3х + 2 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст» > 56 Пример 1. х 2 — 3х + 2 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; 1 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; 1) (2;) Главное меню Оглавление 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст»> 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; 1 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; 1) (2;) Главное меню Оглавление»> 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст» title=»Пример 1. х 2 — 3х + 2 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст»>

57 Пример 2. — х 2 — 3х + 4 0; f(x)= -x 2 — 3x + 4. Функция квадратичная, графиком является парабола. а = -1

58 1. Перенести все в одну сторону 2. Направление ветвей 3. Нули, координатная прямая, знаки: «+ — +» или «- + -» Главное меню Оглавление

4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» title=»Пример 3. х 2 > 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» > 59 Пример 3. х 2 > 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; -2) (2;) Главное меню Оглавление 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ»> 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; -2) (2;) Главное меню Оглавление»> 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» title=»Пример 3. х 2 > 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ»>

0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» title=»Пример 3. х 2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» > 60 Пример 3. х 2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. -2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ»> 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. -2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» title=»Пример 3. х 2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ»>

0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап» title=»Пример 4. х 2 +4 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап» > 61 Пример 4. х 2 +4 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x R Ответ: х R + Главное меню Оглавление 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап»> 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x R Ответ: х R + Главное меню Оглавление»> 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап» title=»Пример 4. х 2 +4 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап»>

0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 62 Пример 5. -х > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1

0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. » title=»Пример 6. х 2 — 4 x + 4 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. » > 63 Пример 6. х x + 4 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Ответ: + 2 x = 2 Главное меню Оглавление 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. «> 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Ответ: + 2 x = 2 Главное меню Оглавление»> 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. » title=»Пример 6. х 2 — 4 x + 4 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. «>

0 а 0 а 64 а > 0 а 2,5 > 2,5 3х – 1 ______ x + 4 х ______ Составим алгоритм: 3 x — 1 > 9 x a f(x) > a g(x ) ___________ f(x) g(x) a f(x) a g(x ) ___________ a f(x) g(x) f(x) 3 2x x — 1 > 2x, x 0 а 0 а 2,5 > 2,5 3х – 1 ______ x + 4 х ______ Составим алгоритм: 3 x — 1 > 9 x a f(x) > a g(x ) ___________ f(x) g(x) a f(x) a g(x ) ___________ a f(x) g(x) f(x) 3 2x x — 1 > 2x, x 0 а 0 а

0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10 65 Неравенства, сводящееся к квадратному: Решите неравенство 0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10

66 1. Определите ограничения; 2. Решите неравенство с новой переменной до конца (без ограничения); 3. Нанесите ограничения; 4. Сделайте обратную замену. Найдите неизвестное. Главное меню Оглавление

67 Логарифмическое неравенство привести к виду логарифм в левой части, логарифм – в правой части log a f(x) log a g(x) Так как функция у = log а t – функция возрастающая, то Знак неравенства не меняется log a f(x) log a g(x) Знак неравенства меняется Так как функция у = log а t – функция убывающая, то ОДЗ Главное меню Оглавление

log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление» title=»Решите неравенства Неравенство Решение log 2 (2x – 3) > log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление» > 68 Решите неравенства Неравенство Решение log 2 (2x – 3) > log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление»> log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление»> log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление» title=»Решите неравенства Неравенство Решение log 2 (2x – 3) > log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление»>

Презентация по алгебре на тему «Общие методы и приемы решения уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Первая группа Первая группа

Виды уравнений и неравенств Трансцендентные Алгебраические рациональные дробные и целые иррациональные логарифмические показательные тригонометрические смешанные

Первая группа Первая группа

Четвертая группа Четвертая группа

Первая группа Первая группа

Четвертая группа Четвертая группа

Первая группа Первая группа

Четвертая группа Четвертая группа

Третья группа Третья группа

По свойствам функций Разложение на множители Введение новой переменной Функционально-графический показательные логарифмические иррациональные рациональные тригонометрические показательные иррациональные рациональные иррациональные показательные логарифмические тригонометрические Смешанные (можно решать почти любые виды уравнений, но главный недостаток – нельзя точно определить корень)

Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение. Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Учебная задача: обобщить и систематизировать основные методы и приемы решения уравнений и неравенств.

Данный метод применим: при решении показательных уравнений, когда переходим от уравнения af(x)=ag(x) (a>0, a≠1) к уравнению; при решении логарифмических уравнений, когда переходим от уравнения logaf(x)=logag(x) к уравнению f(x)=g(x); При решении степенных уравнений при решении иррациональных уравнений, когда переходим от уравнения к уравнению f(x)=g(x). По свойствам функций

Данный метод применим только в том случае, когда функция y=h(x) – монотонная, которая каждое свое значение принимает только один раз. Если y=h(x) – не монотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней! По свойствам функций Пример 1 Пример 2

Пример 1 Функция y=x7 – монотонно возрастающая функция, поэтому от данного уравнения можно перейти к уравнению вида 2x+2=5x-9. Откуда x=11/3. Расширения ОДЗ здесь не произошло, значит, это – равносильное преобразование уравнения. По свойствам функций

Суть метода: уравнение можно заменить совокупностью уравнений Решив уравнения этой совокупности нужно взять те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения, остальные отбросить как посторонние. Нужна обязательно проверка или учет ОДЗ уравнения. Метод разложения на множители

Метод разложения на множители

Метод разложения на множители

Суть метода: если уравнение f(x)=0 удалось преобразовать к виду p(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную u=g(x), решить уравнение p(u)=0, а затем решить совокупность уравнений где u1,u2…un – корни уравнения p(u)=0. При введении новой переменной необходимо решить полученное уравнение относительно новой переменной до конца, т.е. до проверки корней (если это необходимо), и только потом можно возвращаться к исходной переменной. Метод введения новой переменной

Метод введения новой переменной

Данное неравенство из домашней работы, поэтому просто заносим его решение в канву-таблицу. Метод введения новой переменной

Суть метода: для решения уравнения f(x)=g(x) необходимо построить графики функций y=f(x), y=g(x) и найти точки их пересечения – корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Данный метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения. Функционально – графический метод

1). Если одна из функций y=f(x), y= g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда можно угадать) 2).Если на промежутке X наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений Функционально – графический метод

Функционально – графический метод

Функционально – графический метод Ответ: x=2

Методрешения Суть метода Пример По свойствам функций Метод разложения на множители Метод введения новой переменной Функционально – графический метод

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 662 материала в базе

Другие материалы

• 21.11.2016
• 899
• 0

• 21.11.2016
• 310
• 0

• 21.11.2016
• 2120
• 0

• 21.11.2016
• 907
• 1

• 21.11.2016
• 585
• 0

• 21.11.2016
• 493
• 0

• 21.11.2016
• 387
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 21.11.2016 1029
• PPTX 6.6 мбайт
• 48 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Максимова Мария Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 7227
• Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация на тему: Методы решения уравнений и неравенств

Научный руководитель: Иноземцева Елена Ивановна Нестандартные методы решения уравнений и неравенств Боков Иван Куркова Анастасия Малашок Полина Матющенко Роман Мхитарян Артем Подцикина Серафима Подцыкин Максим Шпилева Надежда 2010 г. МНОУ «Лицей» 900igr.net

Гипотеза работы Существует большое количество способов решения уравнений и неравенств, многие из которых не изучаются согласно школьной программе

Цели работы Изучить нестандартные методы решения уравнений и неравенств Научиться использовать их на практике Создать наглядную и понятную презентацию для ознакомительных целей Ознакомить класс с этими методами при помощи наглядных примеров Создать папку с материалами работы

Древний Египет «Фальфивое правило» Задача: куча. Ее седьмая часть 19. Найти кучу Будет хорошо

Вавилон Диофант (жил предположительно в III веке н. э.) Квадратные уравнения Задача: Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96 x = 2 = 12 и = 8

Задача № 80 Задача: Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым числом дала полный квадрат Решение: s2 + 2s + 1 = (s + 1)2, (2s + I)2 + s , 4s2 + 5s + 1 = t2 , Положим, что: t = 2s — 2 , t2 = 4s2 — 8s + 4 = 4s2 + 5s + 1, 4s2 — 8s + 4 = 4s2 + 5s + 1. Проверка:

Кубические уравнения Архимед (287 до н. э. — 212 до н. э.) Сочинение: «О шаре и цилиндре» Задача: рассечь заданный отрезок а на две части х и а—х так, чтобы (а — х) : с = S : х2

Решение уравнений с модулем 1.«Сравнение модулей» │x — 1│= 2 │x + 2│ 2. Сравнение квадратов (│x — 1│) 2 = (2 ∙ │x + 2│) 2 3. Графический способ f (x)= │x — 1│ и f (x) = 2 │x + 2│ Способы решения уравнений, содержащих сумму модулей │x — 1│- 2 │x + 2│= 0 :

Сравнение квадратов │x — 1│= 2 │x + 2│ (│x — 1│) 2 = (2 ∙ │x + 2│) 2 (х – 1) 2 — ( 2х + 4) 2 = 0 ((х – 1) — ( 2х + 4)) ∙ ((х – 1) + ( 2х + 4)) = 0 (х – 1 — 2х — 4) ∙ (х – 1 + 2х + 4) = 0 х – 1 — 2х – 4 = 0 или х – 1 + 2х + 4 = 0 — х — 5 = 0 3х + 3 = 0 x = — 5 x = — 1 Пример: Ответ:-5;-1

Введение новой переменной + раскрытие модуля на интервалах │4 |x |+ 5│= 6|x | | x |= a, где a > 0, тогда | 4а+5 |=6а 4а+5 =-6а 4а+5 =6а Не удовлетворяет условию а>0 , значит, Ответ: Пример:

Раскрытие модуля на интервалах ( начиная с внутреннего) На промежутке На промежутке Не удовлетворяет условию Не удовлетворяет условию │4 |x |+ 5│= 6|x | Пример: Ответ:

Использование свойства четности у=│4 |x |+ 5│= 6|x | . 4х + 5 = 6х и 4х + 5 = — 6х Пример: Ответ:

Графический способ решения уравнений, содержащих модуль |4 – x| + |(x – 1)(x – 3)| = 1 Ответ: 3 y1= | (x-1)(x-3) | y2= 1 — | x-4 | |(x – 1)(x – 3)| = 1- |4 – x| Пример:

Уравнения с параметрами Уравнение с параметрами – математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Способы решения: Графический Аналитический

Задача: При каких значениях a один корень квадратного уравнения x2-(a+1)x+2a2=0 больше , а другой меньше ?

Шаг 1 Функция y=x2-(a+1)x+2a2 График этой функции — парабола, ветви направлены вверх

Задача: При каких значениях b система имеет единственное решение? ; ,

2 способ График первого уравнения — окружность с центром в начале координат и радиусом 3. График второго уравнения — прямая F , ;

Схема Горнера Делим уравнение на (x-1) Пример: Делим уравнение на (x-2) Решаем квадратное уравнение, x=3 и x=4 Ответ: 1;2;3;4 1 -10 35 50 24 1 -10 35 50 24 x=1 1 -9 26 -24 0 1 -10 35 -50 24 x=1 1 -9 26 -24 0 x=2 1 -7 12 0

Формулы Виета Найти кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения Обозначим корни искомого кубического уравнения как Ответ: Задача:

Решение с выделением полного квадрата Пример: x4 – 2×3 – 3×2 + 4x + 4 = 0. Представим – 3×2 как (x2 – 4×2) x4 – 2×3 + x2 – 4×2 + 4x + 4 = 0 Свернем по формуле и вынесем общий множитель (x2 – x)2 – 4(x2 – x) + 4 = 0 Введем замену y = (x2 – x) Решим уравнение, y=2 2= (x2 – x) x=-1 или x=2 Ответ: -1;2

Разделим обе части уравнения на ; или Ответ: Пусть , тогда получим корней нет Идея однородности Пример: ,

Решение уравнений относительно коэффициентов или ; Определяем коэффициенты и решаем квадратное уравнение: ; ; Пример: +

Ответ: 2 квадратных уравнения; корней нет; — посторонний корень

Ответ: Метод разложения на простейшие дроби Выделяем из числителя 1 и переносим:

Неравенство треугольника (Евклидова геометрия) Внешний угол больше внутреннего, с ним не смежного Против большей стороны лежит больший внутренний угол Против большего внутреннего угла лежит большая сторона

Из всех равновеликих треугольников найти треугольник наименьшего периметра. Пусть x, y, z– стороны треугольника, тогда: Применим неравенство Коши: Наименьшее значение периметра равно Достигается при x=y=z Задача:

Неравенства с модулем Соотношение двух величин, одна из который имеет модуль, показывающее, что одна величина больше или меньше другой. Методы решения: Метод промежутков Графический

Пример: 1. Рассмотрим 2. Ответ: 1 2

Пример: Если дискриминанты положительны, то при D/4=4+5+a=a+9 D/4=4+5-a=9-a Ответ: (0;9)

Пример: Ответ: |3х — 1| — |х — 1| № слайда 35 ϕ (a,b,c,…k,x), где a,b,c» title=»Неравенства с параметрами Неравенство f (a,b,c,…k,x) > ϕ (a,b,c,…k,x), где a,b,c»>

Неравенства с параметрами Неравенство f (a,b,c,…k,x) > ϕ (a,b,c,…k,x), где a,b,c,…k – параметры, а x –действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Пример: Ответ: Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство: ; ; ; ; ;

Задача: Найдите все значения а при которых неравенство не имеет решений Ответ: (1;5) График – парабола, ветви вверх

Найти все значение параметра q, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства Задача:

Ответ: при исходное неравенство не содержит ни одного решения неравенства

Метод “Ромашки” f(х) = -натуральные числа f(х) >0 (соответственно

(х + 1)(х — 2) 2 > 0 Пример: Ответ: (—1; 2) (2; +∞). Рассмотрим функцию f(x)=(x+1)(x-2)(x-2) Нули функции: х1=-1, х2=х3=2

≥0 Пример: Ответ: (0; 3] <7>. Рассмотрим функцию f(x)= х≠0. х≠4 Нули функции: х=3, х=7

Заключение Мы поставили перед собой задачи: Изучить нестандартные методы решения уравнений и неравенств Научиться использовать их на практике Создать наглядную и понятную презентацию для ознакомительных целей Ознакомить класс с этими методами при помощи наглядных примеров Создать папку с материалами работы Считаем, что намеченные нами цели достигнуты.

Спасибо за внимание!

Чтобы скачать материал, введите свой email, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку

Нажимая кнопку, Вы соглашаетесь получать от нас email-рассылку

Если скачивание материала не началось, нажмите еще раз «Скачать материал».