Методы решения уравнений и неравенств в общеобразовательной школе

Способы решения уравнений и неравенств

Разделы: Математика

Анализируя опыт моей работы в старших классах, (а я выпустила уже 4 класса, сдающих ЕГЭ) я сделала вывод: необходимо знакомить учащихся как можно с большим количеством методов решения задач. Проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний, привить навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач, т. к. знание некоторых приемов позволит многие трудные задачи сделать вполне посильными. Выбраны способы, овладение которыми может оказаться полезными при решении заданий части С.

Например, при изучении темы “ Иррациональные уравнения” помимо основного способа возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень рассмотреть следующие методы, выполняя поставленные цели и задачи:

• показать нестандартные приемы решения иррациональных уравнений;
• повысить уровень понимания и практической подготовки в решении уравнений и неравенств;
• формировать и развивать качества мышления, характерные для математической деятельности.

• научиться решать уравнения и неравенства более высокого, по сравнению с обязательным, уровнем сложности;
• овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования.

I. Иррациональные уравнения.

1) Решив, такой пример сначала обычным способом определив, что проверка корней связана с определенными трудностями, необходимо предложить более простой способ решения, который не требует столь скрупулезной проверки.

Обратим внимание, что при таком способе нет необходимости делать проверку, так же как и проверять, попадет ли найденное значение корня в область допустимых значений уравнения. Вместо этого мы по ходу решения следили за тем, чтобы вновь введенные переменные удовлетворяли условиям u ≥ 0, z ≥ 0.

Проверкой убеждаемся, что x = 5 корень исходного уравнения.

4) Метод сведения иррациональных уравнений к системам рациональных эффективно применять при решении таких уравнений:

Проверкой убеждаемся, что оба числа являются корнями исходного уравнения.

5) Умножение обеих частей уравнения на функцию, имеющую смысл на ООУ. При решении необходимо следить за равносильностью преобразований на ООУ, либо в конце решения надо сделать проверку, так как могут появиться посторонние корни.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем исходного уравнения.

6) Рассмотрим еще один очень эффективный метод решения некоторых иррациональных уравнений, который редко применяется. Речь идет о заменах, но не алгебраических, а тригонометрических.

установим взаимнооднозначное соответствие между х и γ, ограничим промежуток изменения следующим неравенством: 0≤ γ≤ π

Оба слагаемых в левой части неотрицательны, т. к. их сумма равна нулю, то каждое из них также равно нулю, значит:

Задания, в которых можно применять указанный метод:

II. Задачи связанные с исследованием свойств, входящих в них функций.

1) Использование ОДЗ

Проверка

2) Использование оценки множества значений функции.

(Использование ограниченности функций.)

Уравнение имеет решение обе части уравнения одновременно равны 4.

III. Использование монотонности функции.

а) Если f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на промежутке L, то уравнение f(x) = С, где С – const, может имеет не более одного решения на промежутке L.

б) Если f(x) и g(x) – непрерывные на промежутке L функции f(x) строго возрастает, а g(x) строго убывает на этом промежутке, то уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного решения на промежутке L.

в) Если y = f(x) возрастает при а ≤ x ≤ b

y = g(x) убывает и f(а) > g(а), то корней уравнения для а ≤ x ≤ в нет.

1а) log₂ (7 – x) = x – 1

О.О.У x х + 4 х + 5 х = 6 х

Делим на 5 х ≠ 0.

x = 2 и этот корень один.

IV. Использование графиков функций.

Иногда полезно рассмотреть эскиз графиков правой и левой части в одной системе координат.

Но эскиз лишь помогает найти решение, ответ еще надо обосновать.

Преобразования не обещают ничего хорошего, но в левой части сумма двух взаимообратных положительных величин, т.е. всегда ≥2.

Правая часть определена при x≥0 и x 2 + 1≥2x.

Ответ: х = 1,

Методы решения уравнений, неравенств и их систем

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

1. Выражаем из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую.
2. Подставляем вместо этой переменной полученное выражение во второе уравнение.
3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
4. Находим соответствующие значения второй переменной.

Просмотр содержимого документа
«Методы решения уравнений, неравенств и их систем»

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Однако решению всех видов уравнений и неравенств уделяется недостаточно внимания. Актуальность рассмотрения данной темы обусловлена противоречием между тем, что задания, связанные с уравнениями и неравенствами и их системами регулярно встречаются в материалах ЕГЭ и ОГЭ и тем, что их решение, вызывают у учащихся значительные трудности.

Целью данной работы является: Рассмотреть методические основы профильного и углубленного обучения теме «Уравнения, неравенства и их системы».

Из данной цели вытекают задачи:

Выделить методы решения уравнений, неравенств и их систем.

Выполнить логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства и их системы» по школьным учебникам «Алгебра» Ю.Н. Макарычева за 7-9 класс и «Алгебра» А.Г. Мордковича 10-11 класс.

Разработать конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы» для 8 класса.

Данные практические разработки могут быть использованы в школе.

Данная работа состоит из трех параграфов:

§1. Методы решения уравнений, неравенств и их систем.

§2. Логико-дидактический анализ по теме «Уравнения, неравенства и их системы» по школьным учебникам «Алгебра» Ю.Н. Макарычева за 7-9 класс и «Алгебра» А.Г. Мордковича 10-11 класс.

§3. Конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы» для 8 класса.

§1. Методы решения уравнений, неравенств и их систем

Методы решения целых уравнений первой степени.

Раскрытие скобок (умножаем многочлен на многочлен). Пример: (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x

Домножение на НОК знаменателей дробей обеих частей уравнения. Пример: —

Способы решения целых уравнений.

Разложение многочлена на множители. Пример: +3=0

С помощью теоремы о корне многочлена. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Метод неопределенных коэффициентов. Пример:

Графический способ. Пример:

С помощью алгоритма решения квадратных уравнений:

Алгоритмы и способы решения дробно-рациональных уравнений.

а) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

б) Решаем полученное целое уравнение.

в) Исключаем из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.

Пример:

Используя нестандартные преобразования. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Введение вспомогательной переменной. Пример:

Графический способ решения. Пример:

Способы решения целых неравенств с одной переменной.

1.Используя свойства дискриминанта квадратного уравнения и свойств графика квадратичной функции. Пример:

2. Метод интервалов. Пример:

3. Используя свойства графика квадратной функции. Пример:

Способы решения дробно-рациональных неравенств с одной переменной.

Разложение на множители числителя и знаменателя. Пример:

Используя систему. Примеры:

Способы решения уравнений с переменной под знаком модуля.

Замена на систему уравнений. Пример:

Замена совокупность из двух систем. Пример:

Графический способ с дальнейшей заменой на совокупность из трех систем уравнений. Пример:

Способы решения неравенств с переменной под знаком модуля.

Замена на систему неравенств. Пример:

Используя свойство модуля. Пример:

Графический способ с дальнейшей заменой на совокупность из трех систем неравенств. Пример:

Способы решения уравнений с параметром.

Вынесение многочлена за скобку. Пример: ax-2x=a 2 +a-6

Используя дискриминант. Пример:

Способы решения дробно-рациональных уравнений с параметром.

Домножение на общий знаменатель. Пример:

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

Выражаем из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую.

Подставляем вместо этой переменной полученное выражение во второе уравнение.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Умножаем левые и правые части уравнений.

Складываем почленно левые и правые части уравнений.

Решаем получившееся при сложении уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

б) Разложение на линейные множители.

Способы решения линейных неравенств с двумя переменными.

Графический. Пример: 4x-5y20

Способы решения неравенств с двумя переменными выше первой.

Способы решения системы неравенств с двумя переменными.

Способы решения неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля.

Методы решения уравнений высших степеней.

Используя делители свободного члена уравнения. Пример: x 3 +2x 2 -7x-12=0

Деления обеих частей уравнения на x 2 . Пример: 3x 4 -2x 3 -9x 2 -4x+12=0

Метод замены двух переменных. Пример: 2(x 2 +x+1)-7(x-1) 2 =13(x 3 -1)

Графический метод. Пример: x 5 +5x-42=0

Используя производную функции. Пример: x 4 -8x+63=0

Методы решения показательных уравнений.

Метод введения новой переменной. Пример: 4 x +2 x +1 -24=0

Методы решения показательных неравенств.

Метод уравнивания показателей. Пример:

Метод введения новой переменной. Пример:

Деления обеих частей уравнения на число с наибольшим показателем в степени. (однородные уравнения второй степени) Пример: 8 x +18 x 2∙27 x

Используя свойство дискриминанта. Пример: (x 2 +x+1) x ≤1

Методы решения логарифмических уравнений.

Введение новой переменной. Пример: lg 2 x+lg x+1=

Методы решения логарифмических неравенств.

Представление обеих частей неравенства в виде логарифмов с одинаковым основанием. Пример: (16+4x—x 2 )≤-4

Введение новой переменной. Пример:

Методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Раскрытие модуля по определению. Пример:

Графический способ. Пример:

Используя совокупность уравнений (неравенств). Пример:

Методы решения иррациональных уравнений.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в степень. Пример:

Введение двух новых переменных. Пример:

Умножение обеих частей уравнения на выражение сопряженное данному. Пример:

Методы решения иррациональных неравенств.

Используя совокупность неравенств. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Методы решения систем уравнений.

Перемножением правых и левых частей уравнения. Пример:

Рабочая программа элективного курса по математике «Нестандартные способы решения уравнений и неравенств» для 9-11 классов

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Мучкапская средняя общеобразовательная школа

Учебной элективной дисциплины

« Нестандартные методы решения

уравнений и неравенств»

для 9-11 классов

Рабочая программа учебной элективной дисциплины

«Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

для 9 – 11 классов общеобразовательной школы.

Государственной программой изучения математики в 9 – 11 классах предусматривается изучение стандартных методов решения уравнений и неравенств, однако, на практике при сдаче единого государственного экзамена, при поступлении в различные учебные заведения, при выполнении олимпиадных заданий, а также при участии в рейтинговом тестировании в вузах часто приходится решать такие упражнения, где стандартные методы решения заводят в тупик или приводят к очень длинному запутанному решению. Для решения таких задач лучше применять приёмы, которые не совсем привычны для учащихся.

При разработке предлагаемой программы преследовалась цель: познакомить учащихся с различными методами решения, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, казалось бы, трудных задач, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний, привить навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач.

Изучение элективного курса «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» в 9 – 11 классах общеобразовательной школы направлено на достижение следующих задач:

· познакомить учащихся с методами решения уравнений и неравенств, основанными на геометрических воображениях, свойствах функций (монотонность, ограниченность, чётность), применении производной и т.д.

· научить применять эти методы при решении;

· привить умение выбирать наиболее рациональный метод при решении конкретной задачи;

· развить умение приобретённые навыки использовать при выполнении домашних заданий, при решении задач подготовительных курсов при вузах, при решении олимпиадных заданий, при сдаче ЕГЭ.

Программа предусматривает поурочную форму обучения.

Итоговой формой контроля является зачёт.

Программа рассчитана на 85 часов (9 класс – 17 часов, 10 класс – 34 часа, 11 класс – 34 часа).

I. Разложение на множители (5 часов)

Вынесение общего множителя. Применение формул сокращенного умножения. Группировка. Метод неопределенных коэффициентов.

Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициенту.

Метод введения параметра. Метод введения новой переменной. Комбинирование различных методов.

II. Алгебраические уравнения (6 часов)

Простейшие способы решения уравнений. Симметрические уравнения третьей степени, четвертой степени. Возвратные уравнения. Умножение уравнения на функцию. Угадывание корня уравнений.

III. Системы нелинейных уравнений (3 часа)

Простейшие способы решения систем. Способ введения новых переменных. Комбинирование различных методов.

IV. Решение алгебраических неравенств (3 часа)

Простейшие способы решения неравенств. Метод интервалов, Обобщенный метод интервалов.

I. Алгебраические уравнения (4 часа)

Понижение степени уравнения.

Решение уравнений вида: (х+α) 4 + (х+β) 4 = С

II. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины (8 часов)

Раскрытие знаков модулей

Уравнения вида

Неравенства вида

Неравенства вида

Уравнения и неравенства вида ,

Использование свойств абсолютной величины.

III. Рациональные уравнения (6 часов)

Уравнения вида

IV. Решение тригонометрических уравнений (6 часов)

Простейшие способы решений уравнений. Последовательность отбора корней уравнения. Геометрический, арифметический и алгебраические способы отбора корней. Тригонометрические уравнения, содержащие знак абсолютной величины.

V. Решение уравнений с использованием свойств, входящих в них функций (6 часов)

Использование ОДЗ. Использование ограничений функций. Использование монотонности функций. Использование графиков функций. Использование свойств синуса и косинуса.

VI. Итоговое повторение (4 часа)

11 класс (34 часа)

I. Решение уравнений с параметрами (5 часов)

Решение линейных уравнений с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами. Существование корней трехчлена второй степени с параметрами, выявление их количеств. Расположение корней на числовой прямой относительно заданных точек, промежутков.

II. Решение уравнений и неравенств, содержащих радикалы (5 часов) Возведение в степень.

Уравнения вида

Умножение уравнения на функцию.

Уравнение вида

Уравнение вида

III. Решение некоторых уравнений и неравенств, сведением их к решению систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной

Уравнения вида

Неравенства вида

Использование ограниченности функции.

IV. Применение производной (5 часов)

Использование монотонности функции. Использование наибольшего и наименьшего значений функций. Применение теоремы Лагранжа.

V. Уравнения и неравенства, содержащие логарифмы (8 часов)

Переход к числовому основанию. Переход к основанию, содержащему неизвестную.

Уравнения вида

Уравнения вида

Неравенства вида

Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени.

VI. Итоговое повторение (5 часов)

Требования к уровню

В результате изучения элективной дисциплины ученик должен

* эвристические приёмы общего характера, применяемые в исследованиях и на любом другом математическом материале, ценные для математического развития личности;

* значение, широту и в то же время ограниченность применения различных математических методов к анализу и исследованию процессов явлений, происходящих в окружающей действительности;

* значение практики для формирования и развития математических знаний;

* универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применяемость во всех областях человеческой деятельности;

* раскладывать многочлен на множители различными способами и

применять это при решении уравнений, неравенств и их систем

* решать рациональные, показательные, логарифмические, иррациональные и тригонометрические уравнения, неравенства и

их системы повышенного уровня; * решать уравнения, неравенства и системы повышенного уровня с

применением графических представлений, свойств функций,

* решать уравнения и неравенства, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины;