Методы решения уравнений контрольная работа

Контрольная работа по теме: «Методы решения уравнений».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

К.р. №5 по теме: «Методы решения уравнения» (11 класс)

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Найдите корень уравнения .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Оценка «3» — 5 – 7 баллов «4» — 8 – 11 баллов «5» — 12 – 16 баллов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 574 868 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (базовый уровень) », Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

Глава 5. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Другие материалы

16.12.2020
118
2

16.12.2020
206
6

16.12.2020
1266
78

16.12.2020
146
9

16.12.2020
146
6

16.12.2020
182
14

16.12.2020
149
14

16.12.2020
1160
54

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

16.12.2020 235
DOCX 70.6 кбайт
19 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Козишкурт Надежда Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 7 лет и 5 месяцев
Подписчики: 0
Всего просмотров: 1329
Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Спецификация контрольной работы по теме: «Решение уравнений»
методическая разработка по математике (3 класс)

Назначение контрольной работы – установить степень соответствия подготовки обучающихся 3-х классов образовательного учреждения требованиям федерального компонента государственного образовательного стандарта начального общего образования по математике.

Скачать:

Вложение	Размер
spets.docx	20.89 КБ

Предварительный просмотр:

контрольной работы по теме: «Решение уравнений» по МАТЕМАТИКЕ для обучающихся 3 классов.

1. Назначение контрольной работы – установить степень соответствия подготовки обучающихся 3-х классов образовательного учреждения требованиям федерального компонента государственного образовательного стандарта начального общего образования по математике.

2. Документы, определяющие содержание контрольной работы

Содержание и основные характеристики проверочных материалов определяются на основе следующих документов:

1. Обязательный минимум содержания начального общего образования . Образовательная область «Математика» (Приложение к приказу Минобразования России №1235 от 19.05.1998г.

2. Примерная программа начального общего образования образовательного учреждения. Начальная школа / [сост. Е.С.Савинов]. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2010. – 204с.; с.119-125)

3. Основная образовательная программа начального общего образования ГБОУ СОШ «Центр образования» пос. Варламово

4. Программа для начальных классов общеобразовательных учреждений « Математика» 3 класс. Автор: М.И. Моро, С.И.Волкова, С.В.Степанова М.«Просвещение», 2011 г.

5. Поурочные разработки по математике к УМК М.И. Моро, С.И.Волковой, С.В.Степановой. «Школа России» Т.Н. Ситникова, И.Ф.Яценко, М.: ВАКО, 2015

3. Время выполнения и условия проведения контрольной работы

Для выполнения заданий контрольной работы по математике отводится 45 минут . Для инструктажа обучающихся отводится дополнительные 3- 5 минут .

Для выполнения контрольной работы по математике требуется черновик.

4. Структура контрольной работы

Общее количество заданий в работе -5

Контрольная работа не разделяется на части. Она включает задания из разных содержательных блоков.

Проверяемые элементы содержания

В работе представлены 4 содержательных блока «Числа, величины и вычисления», «Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин», «Текстовая задача». Контрольная работа составлена в 2-х параллельных вариантах, для формирования которых разработан общий план контрольной работы. Параллельность вариантов контрольной работы обеспечивается на этапе её разработки и достигается за счёт включения в работу взаимозаменяемых, однотипных по уровню сложности заданий, расположенных под одними и теми же порядковыми номерами во всех вариантах работы и проверяющих сформированность одних и тех же предметных и общих учебных умений.

Распределение заданий контрольной работы по содержанию

Выполнение контрольной работы по математике требует от обучающихся 3-х классов применения специальных предметных и общих учебных умений.

Контрольная работа: 10 способов решения квадратных уравнений

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Автор: Реутова Екатерина Викторовна, 11 кл.

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 — х . Разность между ними 2х .

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у 2 — 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

Бхаскара пишет под видом:

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A — A 2 , равно BD , то A равно В и равноD ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

х 2 + 10х — 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = — 12 . Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х — 24 = 0 .

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2• х • 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х — 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 — 3 2 — 7 = (х + 3) 2 — 9 — 7 = (х + 3) 2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 — 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х₁ = 1, или х + 3 = -4, х₂ = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b 2 — 4ac,

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 — 4 ac >0 , уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 — 4х + 1 = 0,

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 — 4 ac = 0 , то уравнение

ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x ₁ x ₂ = q ,

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р 2 – 3 x + 2 = 0; x ₁ = 2 иx ₂ = 1, так какq = 2 > 0 иp = — 3 2 + 8 x + 7 = 0; x ₁ = — 7 иx ₂ = — 1, так какq = 7 > 0 иp = 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0 .

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

равносильно данному. Его корни у₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у₁ = 5 х₁ = 5/2 x ₁ = 2,5

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1,

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x₁ + x₂ = — а + b/a= -1 – c/a,

1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0 .

В. Приведенное уравнение

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости —

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1) Решим графически уравнение х 2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4 . Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13) . Прямая и парабола пересекаются в двух точках

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 — 2х + 1 = 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х — 1 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N (1/2; 0) . Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1 . Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 5х — 5 . Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 5 . Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х₁ ; 0 ) и D (х₂ ; 0), где х₁ и х₂ — корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра ( AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х₁ ; 0) и D (х₂ ; 0) , где х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х₁ ; 0) , где х₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

1) Для уравнения z 2 — 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни

2) Решим с помощью номограммыуравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

3) Для уравнения

коэффициенты p и qвыходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0 .

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у — 3 . Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25 , или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = — 2.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.

источники:

http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2019/02/11/spetsifikatsiya-kontrolnoy-raboty-po-teme-reshenie-uravneniy

http://www.bestreferat.ru/referat-176467.html

Название: 10 способов решения квадратных уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 23:54:37 24 ноября 2010 Похожие работы
Просмотров: 18917 Комментариев: 30 Оценило: 14 человек Средний балл: 4.6 Оценка: 5 Скачать

Методы решения уравнений контрольная работа

Контрольная работа по теме: «Методы решения уравнений».

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Материал подходит для УМК

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Автор материала

Дистанционные курсы для педагогов

Подарочные сертификаты

Спецификация контрольной работы по теме: «Решение уравнений» методическая разработка по математике (3 класс)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Для выполнения заданий контрольной работы по математике отводится 45 минут . Для инструктажа обучающихся отводится дополнительные 3- 5 минут .

Контрольная работа: 10 способов решения квадратных уравнений

Дистанционные курсы
для педагогов

Спецификация контрольной работы по теме: «Решение уравнений»
методическая разработка по математике (3 класс)