Методы решения уравнений логарифмические показательные уравнения

Решение показательных уравнений методом логарифмирования

Знакомство с логарифмом числа открывает возможность использования метода логарифмирования для решения уравнений. Преимущественно методом логарифмирования решаются показательные уравнения. В этой статье мы подробно разберем, как проводится решение показательных уравнений методом логарифмирования. Здесь мы дадим необходимую теорию и, конечно же, рассмотрим характерный пример решения показательного уравнения методом логарифмирования.

Теория

Решение каких показательных уравнений проводится методом логарифмирования

В основном, методом логарифмирования решаются показательные уравнения в двух следующих случаях:

• В одной части уравнения находится степень, произведение или частное степеней, а в другой – положительное число. Например, 2 x−1 =10 , и др.
• И в одной, и в другой части уравнения находится степень, произведение или частное степеней, возможно с положительным числовым коэффициентом. Например, 3 x 2 −1 =5·2 x+1 и др.

Как проводится решение

Во-первых, нужно убедиться, что обе части показательного уравнения принимают только положительные значения на ОДЗ для исходного уравнения. Во-вторых, проводится логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию. В-третьих, решается уравнение, полученное в результате логарифмирования. Это дает решение исходного уравнения.

По какому основанию логарифмировать

В принципе, в качестве основания логарифма можно брать любое положительное и отличное от единицы число. Обычно логарифмирование проводят по основанию, равному основанию одной из степеней, фигурирующих в исходном уравнении. Также в ходу основание 10 . Это удобно тем, что дает возможность проводить некоторые попутные вычисления при помощи таблицы десятичных логарифмов.

Пример решения показательного уравнения

Рассмотрим характерный пример решения показательного уравнения методом логарифмирования.

Решите показательное уравнение .

Методы решения показательных и логарифмических уравнений

Тема занятия: Методы решения показательных и логарифмических уравнений

Тип занятия: обобщение и систематизация знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением

Цели занятия:

1. Образовательные:

— создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»;

— активизировать деятельность учащихся по применению комплекса знаний и умений на практике;

— подготовка к ЕГЭ.

2. Развивающие:

— развивать способности применять теоретические знания на практике;

— развивать навыки работы с заданиями № 5 базового уровня ; № 13 профильного уровня

— развивать навыки самоконтроля , логическое мышление, память, внимание.

3. Воспитательные:

— воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Оборудование урока: презентация, компьютер, проектор, карточки с заданиями, диагностические карты.

Просмотр содержимого документа
«Методы решения показательных и логарифмических уравнений»

Тема занятия: Методы решения показательных и логарифмических уравнений

Тип занятия: обобщение и систематизация знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением

— создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»;

— активизировать деятельность учащихся по применению комплекса знаний и умений на практике;

— подготовка к ЕГЭ.

— развивать способности применять теоретические знания на практике;

— развивать навыки работы с заданиями № 5 базового уровня ; № 13 профильного уровня

— развивать навыки самоконтроля , логическое мышление, память, внимание.

— воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Оборудование урока: презентация, компьютер, проектор, карточки с заданиями, диагностические карты.

Организация начала занятия (Приветствие, объявляю тему и цель занятия)

Девиз сегодняшнего занятия звучит так: «Математика, друзья, абсолютно всем нужна. На уроках работай старательно, и успех тебя ждёт обязательно

Только твой труд при изучении математики может принести плоды. На сегодняшнем занятии перед нами стоит задача: повторить основные типы показательных и логарифмических уравнений и методы их решения. Знания, полученные вами при изучении темы, должны дать положительные результаты при выполнении подобных заданий в тестовой работе ЕГЭ.

Каждый из вас сегодня оценит свои знания по теме, постарается понять, где имеются пробелы.

Итак, мы начинаем.

Актуализация знаний обучающихся

Формулы Свойства степени;

Формулы Свойства логарифмов;

Фронтальная работа с классом:

Вычислить: 2) = 3 ) = 81 4) =6 5) = 3

6) ; ; 8)

Проверяем ответы по формулам у доски: по одному ученику каждый вид формул (работа экспертов), затем сверяем ответы по слайду.

Далее – графический диктант по свойствам логарифмической и показательной функций

Согласны-:Λ, не согласны :_

1.Функцию вида у=а х, где а0 и а≠1, называют показательной функцией.

2.Областью определения логарифмической функции является вся числовая прямая.

3.Областью значений показательной функции является промежуток (0;+∞).

4.Логарифмическая функция при а1 является убывающей.

5.Функцию вида у = log _а х называют логарифмической функцией.

6.Областью определения показательной функции является вся числовая прямая.

7.Областью значений логарифмической функции является промежуток (-∞;+∞).

8.Показательная функция при 0

Проверяем: С какими высказываниями вы не согласны и почему. Сверяем правильность ответов с презентацией.

Комплексное применение знаний на практике

Свойства логарифмической и показательной функций используем на практике при решении уравнений

Простейшие показательные уравнения имеют вид:

= , которые равносильны уравнению

f(x)=g(x). Такое уравнение может встретиться в КИМах ЕГЭ в задании №5

=b – логарифмируем левую и правую части уравнения по основанию a:

и решаем дальше

Пример: решить уравнение = ( у доски решает ученик),

= ; 9-х=2х; -3х=-9; х=3.

Пример: решить уравнение

=3;

х-4= ;

х=4+ = + = ; —

решают на закрытой части доски, затем открываем и проверяем с классом;

Простейшие логарифмические уравнения:

= при выполнении условий:

=c, f(x)= по определению логарифма.

2) = ; 15+х=3; х=3-15; х=3.

— на закрытой доске с последующей проверкой

Проверяем навыки применения методов решения простейших уравнений на практике –

Решение показательных и логарифмических уравнений в классах с углублённым изучениАем математики.
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Алгоритм решения показательных и логарифмических уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №22 с УИОП»

Решение показательных и логарифмических уравнений в классах с углубленным изучением математики.

Учитель математики Куликова Н.В.

Решению показательных и логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начал математического анализа уделяется большое внимание, так как изучение этого вопроса открывает широкие возможности для четкого восприятия свойств функции, а также для повторения некоторых ранее изученных разделов алгебры (решение квадратных уравнений и т.д.)

Показательные уравнения принадлежат к классу уравнений, носящих название трансцендентных уравнений. Для этих уравнений нельзя указать общего способа решения. До окончательного решения трансцендентного уравнения неясно, сколько оно имеет корней. При решении показательных уравнений возможно получение посторонних корней, поэтому в тех случаях, где это необходимо, корни следует проверять подстановкой.

Показательные уравнения можно разбить на три типа, каждый из которых решается определённым способом.

К перовому типу можно отнести уравнения, в которых равные основания даны в неявном виде.

Исходное уравнение свелось к уравнению вида . Данное уравнение равносильно уравнению при условии, что и .

С учетом изложенного уравнение (*) равносильно уравнению

Необходимо сделать проверку, т.к. областью допустимых значений Х является не всё множество действительных чисел.

Можно разделить левую и правую части уравнения на произведение Это сделать можно, так как данное произведение не ровно 0 ни при каких Х.

Исходное уравнение свелось к уравнению . С учётом изложенного выше

Ко второму типу можно отнести уравнения, левая часть которых требует предварительного разложения на множители.

Степени равны, показатели степеней тоже равны при неравных основаниях, значит показатели степеней равны 0, т.е.

К третьему типу можно отнести уравнения, решение которых сводится к решению квадратного уравнения. При этом используется метод введения новой переменной с отбором корней на промежуточном этапе.

Если обозначить , ( по свойству показательных функций), то исходное уравнение сведётся к уравнению

не удовлетворяет условию .

В данном случае необходимости в проверке не существует.

Решение простейших логарифмических уравнений связано с определением логарифма и основным логарифмическим тождеством вида , где .

На основании определения логарифма решаются задачи, в которых по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определятся число и по данному числу и логарифму определятся основание. Решения уравнений вышеприведенного характера обычно затруднений не вызывают. В школьной программе чаще всего встречаются уравнения, которые решаются либо непосредственным потенцированием, либо потенцированием с предварительным упрощением данного выражения, либо логарифмированием обеих частей уравнения.

Желательно, не приступая к решению уравнения, найти область допустимых значений функции, стоящей в левой части уравнения.

При наличии предварительного исследования проверку делать не обязательно. Если же исследование не проводится, то проверка решения необходима.

В данном случае

С учётом проведенного исследования проверка решения не нужна.

С учётом проведенных исследований возможно перейти к решению уравнения

Данное решение удовлетворяет ОДЗ, следовательно является корнем исходного уравнения.

Необходимо прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10

Решив данное уравнение относительно , можно получить

С учётом ОДЗ является корнем исходного уравнения.

Логарифмирование обеих частей уравнения используется в основном для уравнений, в которых показатель степени содержит логарифмы.

Несколько примеров решения уравнений с усложнёнными условиями:

Естественно заметить, что , , . Используя определение логарифма, можно перейти к следующим равенствам:

Тогда с учетом новой переменной исходное уравнение примет вид

не удовлетворяет ОДЗ

Решив данное уравнение относительно , можно получить откуда

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок — семинар в 11 классе «Решение показательных и логарифмических уравнений с модулем»

Данный урок — семинар рекомендуется для работы в профильном классе, а также материал этого занятия можно использовать на факультативном занятии. Здесь предложен конспект урока, презентация, разадаточн.

Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Разработка урока по теме «Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений .

Урок алгебры в 11 классе с углубленным изучением математики по теме: «Решение показательных и логарифмических уравнений с переменным основанием. Введение сложной экспоненты».

Форма: урок-практикум.Задачи: путем введения сложной экспоненты научить решать показательные и логарифмические уравнения с переменным основанием.Цели урока:Образовательные: -.

Обобщающий урок по теме:»Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» в 10 — 11 классе

Ребятам нравится практичесое приложение данного материала, спор двух очень сложных для решения и понимания функций (показательной и логарифмической).Решение большого количества различных заданий дает .

Урок алгебры в 11 классе «Решение показательных и логарифмических уравнений»

Презентация предназначена для проведения урока по алгебре (11 класс).Урок адресован:- учителям математики, работающим в выпускных классах, которым нужно не просто закрепить тему, но и подготовит.

Крупноблочное изучение тем : «Показательная логарифмическая функция», «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств»

Данная методическая разработка поможеть учителю в планировании учебной деятельности.

Повторение 11 класс Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Рассматривается материал повторения решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.