Методы решения уравнений неравенств и систем уравнений

Методы решения уравнений, неравенств и их систем

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

1. Выражаем из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую.
2. Подставляем вместо этой переменной полученное выражение во второе уравнение.
3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
4. Находим соответствующие значения второй переменной.

Просмотр содержимого документа
«Методы решения уравнений, неравенств и их систем»

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Однако решению всех видов уравнений и неравенств уделяется недостаточно внимания. Актуальность рассмотрения данной темы обусловлена противоречием между тем, что задания, связанные с уравнениями и неравенствами и их системами регулярно встречаются в материалах ЕГЭ и ОГЭ и тем, что их решение, вызывают у учащихся значительные трудности.

Целью данной работы является: Рассмотреть методические основы профильного и углубленного обучения теме «Уравнения, неравенства и их системы».

Из данной цели вытекают задачи:

Выделить методы решения уравнений, неравенств и их систем.

Выполнить логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства и их системы» по школьным учебникам «Алгебра» Ю.Н. Макарычева за 7-9 класс и «Алгебра» А.Г. Мордковича 10-11 класс.

Разработать конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы» для 8 класса.

Данные практические разработки могут быть использованы в школе.

Данная работа состоит из трех параграфов:

§1. Методы решения уравнений, неравенств и их систем.

§2. Логико-дидактический анализ по теме «Уравнения, неравенства и их системы» по школьным учебникам «Алгебра» Ю.Н. Макарычева за 7-9 класс и «Алгебра» А.Г. Мордковича 10-11 класс.

§3. Конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы» для 8 класса.

§1. Методы решения уравнений, неравенств и их систем

Методы решения целых уравнений первой степени.

Раскрытие скобок (умножаем многочлен на многочлен). Пример: (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x

Домножение на НОК знаменателей дробей обеих частей уравнения. Пример: —

Способы решения целых уравнений.

Разложение многочлена на множители. Пример: +3=0

С помощью теоремы о корне многочлена. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Метод неопределенных коэффициентов. Пример:

Графический способ. Пример:

С помощью алгоритма решения квадратных уравнений:

Алгоритмы и способы решения дробно-рациональных уравнений.

а) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

б) Решаем полученное целое уравнение.

в) Исключаем из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.

Пример:

Используя нестандартные преобразования. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Введение вспомогательной переменной. Пример:

Графический способ решения. Пример:

Способы решения целых неравенств с одной переменной.

1.Используя свойства дискриминанта квадратного уравнения и свойств графика квадратичной функции. Пример:

2. Метод интервалов. Пример:

3. Используя свойства графика квадратной функции. Пример:

Способы решения дробно-рациональных неравенств с одной переменной.

Разложение на множители числителя и знаменателя. Пример:

Используя систему. Примеры:

Способы решения уравнений с переменной под знаком модуля.

Замена на систему уравнений. Пример:

Замена совокупность из двух систем. Пример:

Графический способ с дальнейшей заменой на совокупность из трех систем уравнений. Пример:

Способы решения неравенств с переменной под знаком модуля.

Замена на систему неравенств. Пример:

Используя свойство модуля. Пример:

Графический способ с дальнейшей заменой на совокупность из трех систем неравенств. Пример:

Способы решения уравнений с параметром.

Вынесение многочлена за скобку. Пример: ax-2x=a 2 +a-6

Используя дискриминант. Пример:

Способы решения дробно-рациональных уравнений с параметром.

Домножение на общий знаменатель. Пример:

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

Выражаем из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую.

Подставляем вместо этой переменной полученное выражение во второе уравнение.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Умножаем левые и правые части уравнений.

Складываем почленно левые и правые части уравнений.

Решаем получившееся при сложении уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

б) Разложение на линейные множители.

Способы решения линейных неравенств с двумя переменными.

Графический. Пример: 4x-5y20

Способы решения неравенств с двумя переменными выше первой.

Способы решения системы неравенств с двумя переменными.

Способы решения неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля.

Методы решения уравнений высших степеней.

Используя делители свободного члена уравнения. Пример: x 3 +2x 2 -7x-12=0

Деления обеих частей уравнения на x 2 . Пример: 3x 4 -2x 3 -9x 2 -4x+12=0

Метод замены двух переменных. Пример: 2(x 2 +x+1)-7(x-1) 2 =13(x 3 -1)

Графический метод. Пример: x 5 +5x-42=0

Используя производную функции. Пример: x 4 -8x+63=0

Методы решения показательных уравнений.

Метод введения новой переменной. Пример: 4 x +2 x +1 -24=0

Методы решения показательных неравенств.

Метод уравнивания показателей. Пример:

Метод введения новой переменной. Пример:

Деления обеих частей уравнения на число с наибольшим показателем в степени. (однородные уравнения второй степени) Пример: 8 x +18 x 2∙27 x

Используя свойство дискриминанта. Пример: (x 2 +x+1) x ≤1

Методы решения логарифмических уравнений.

Введение новой переменной. Пример: lg 2 x+lg x+1=

Методы решения логарифмических неравенств.

Представление обеих частей неравенства в виде логарифмов с одинаковым основанием. Пример: (16+4x—x 2 )≤-4

Введение новой переменной. Пример:

Методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Раскрытие модуля по определению. Пример:

Графический способ. Пример:

Используя совокупность уравнений (неравенств). Пример:

Методы решения иррациональных уравнений.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в степень. Пример:

Введение двух новых переменных. Пример:

Умножение обеих частей уравнения на выражение сопряженное данному. Пример:

Методы решения иррациональных неравенств.

Используя совокупность неравенств. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Методы решения систем уравнений.

Перемножением правых и левых частей уравнения. Пример:

Системы показательных уравнений и неравенств

Вы будете перенаправлены на Автор24

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Решить систему уравнений

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.

Подставим $y$ во второе уравнение:

Ответ: $(-4,6)$.

Решить систему уравнений

Решение.

Данная система равносильна системе

Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть $2^x=u\ (u >0)$, а $3^y=v\ (v >0)$, получим:

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

Тогда из второго уравнения, получим, что

Возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:

Ответ: $(0,1)$.

Готовые работы на аналогичную тему

Системы показательных неравенств

Cистемы неравенств, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных неравенств.

Решение систем показательных неравенств будем рассматривать на примерах.

Решить систему неравенств

Решение:

Данная система неравенств равносильна системе

Для решения первого неравенства вспомним следующую теорему равносильности показательных неравенств:

Теорема 1. Неравенство $a^ >a^ <\varphi (x)>$, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

Изобразим оба решения на числовой прямой (рис. 11)

Рисунок 11. Решение примера 3 на числовой прямой

Ответ: $(3,+\infty )$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 22 03 2021

Способы решения уравнений и неравенств

Разделы: Математика

Анализируя опыт моей работы в старших классах, (а я выпустила уже 4 класса, сдающих ЕГЭ) я сделала вывод: необходимо знакомить учащихся как можно с большим количеством методов решения задач. Проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний, привить навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач, т. к. знание некоторых приемов позволит многие трудные задачи сделать вполне посильными. Выбраны способы, овладение которыми может оказаться полезными при решении заданий части С.

Например, при изучении темы “ Иррациональные уравнения” помимо основного способа возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень рассмотреть следующие методы, выполняя поставленные цели и задачи:

• показать нестандартные приемы решения иррациональных уравнений;
• повысить уровень понимания и практической подготовки в решении уравнений и неравенств;
• формировать и развивать качества мышления, характерные для математической деятельности.

• научиться решать уравнения и неравенства более высокого, по сравнению с обязательным, уровнем сложности;
• овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования.

I. Иррациональные уравнения.

1) Решив, такой пример сначала обычным способом определив, что проверка корней связана с определенными трудностями, необходимо предложить более простой способ решения, который не требует столь скрупулезной проверки.

Обратим внимание, что при таком способе нет необходимости делать проверку, так же как и проверять, попадет ли найденное значение корня в область допустимых значений уравнения. Вместо этого мы по ходу решения следили за тем, чтобы вновь введенные переменные удовлетворяли условиям u ≥ 0, z ≥ 0.

Проверкой убеждаемся, что x = 5 корень исходного уравнения.

4) Метод сведения иррациональных уравнений к системам рациональных эффективно применять при решении таких уравнений:

Проверкой убеждаемся, что оба числа являются корнями исходного уравнения.

5) Умножение обеих частей уравнения на функцию, имеющую смысл на ООУ. При решении необходимо следить за равносильностью преобразований на ООУ, либо в конце решения надо сделать проверку, так как могут появиться посторонние корни.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем исходного уравнения.

6) Рассмотрим еще один очень эффективный метод решения некоторых иррациональных уравнений, который редко применяется. Речь идет о заменах, но не алгебраических, а тригонометрических.

установим взаимнооднозначное соответствие между х и γ, ограничим промежуток изменения следующим неравенством: 0≤ γ≤ π

Оба слагаемых в левой части неотрицательны, т. к. их сумма равна нулю, то каждое из них также равно нулю, значит:

Задания, в которых можно применять указанный метод:

II. Задачи связанные с исследованием свойств, входящих в них функций.

1) Использование ОДЗ

Проверка

2) Использование оценки множества значений функции.

(Использование ограниченности функций.)

Уравнение имеет решение обе части уравнения одновременно равны 4.

III. Использование монотонности функции.

а) Если f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на промежутке L, то уравнение f(x) = С, где С – const, может имеет не более одного решения на промежутке L.

б) Если f(x) и g(x) – непрерывные на промежутке L функции f(x) строго возрастает, а g(x) строго убывает на этом промежутке, то уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного решения на промежутке L.

в) Если y = f(x) возрастает при а ≤ x ≤ b

y = g(x) убывает и f(а) > g(а), то корней уравнения для а ≤ x ≤ в нет.

1а) log₂ (7 – x) = x – 1

О.О.У x х + 4 х + 5 х = 6 х

Делим на 5 х ≠ 0.

x = 2 и этот корень один.

IV. Использование графиков функций.

Иногда полезно рассмотреть эскиз графиков правой и левой части в одной системе координат.

Но эскиз лишь помогает найти решение, ответ еще надо обосновать.

Преобразования не обещают ничего хорошего, но в левой части сумма двух взаимообратных положительных величин, т.е. всегда ≥2.

Правая часть определена при x≥0 и x 2 + 1≥2x.

Ответ: х = 1,