Методы решения уравнений с параметром презентация

Презентация по теме: Уравнения с параметрами
презентация к уроку по математике (11 класс) на тему

Презентация по теме: Уравнения с параметрами

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита (х, у, z ,…) , параметры – первыми буквами (а, b , c , …) .

Уравнением с параметром а называют уравнение вида f ( x , a ) = 0 , которое надо решить относительно х и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число .

Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения или доказать, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение ax = 1 . Решение. 1. если a ≠ 0 : 2 . если a = 0 : 0 · x = 1 – не имеет решений ;

Пример 2 . Решить уравнение a 2 x – 1 = x + a . Решение. a 2 x – 1 = x + a ; a 2 x – x = a + 1; x ( a 2 – 1) = a + 1 ; 1 . если a 2 – 1 ≠ 0 , то есть a ≠ ±1 : 2 . если a = 1 , то есть 0 · x = 2 : уравнение не имеет решений; 3. если a = –1 , то есть 0 · x = 0 :

Решение. ОДЗ : х – 4 ≠ 0 ; х ≠ 4 ; х – 2а = 0; х = 2а ; х ≠ 4 : 2а ≠ 4 ; а ≠ 2 ; а ≠ 2 : x = 2a ; a = 2 : уравнение не имеет решений ; Ответ: если а ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a; если a = 2, то уравнение не имеет решений.

Пример 4 . Решить уравнение |x – a| = 2 . Решение. x 1 = a + 2 , x 2 = a – 2 ; Ответ: x 1 = a + 2 , x 2 = a – 2 .

Пример 5 . Решить уравнение |x| + |x – a| = 0 . Решение.

Пример 6. При всех значениях параметра а определим число корней кубического уравнения х 3 – 3х + 2 – а = 0 . Решение. а = х 3 – 3х + 2 ; – 2 – 1 1 x 2 4 а 4 : уравнение имеет один корень ; а = 0 и а = 4 : уравнение имеет два корня ; 0 4, то данное уравнение имеет один корень один корень; если а = 0 и а = 4 – два корня; если 0 Мне нравится

Презентация — Способы решения задач с параметром

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

с «Решение задач с параметром»
«СПОСОБЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ»
Авторы :

учителя математики
Краснодонской городской гимназии

,
Казимир Наталья Семеновна

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ
Уравнения (неравенства), в которых некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквенными выражениями, называются уравнениями (неравенствами) с параметром.
Решить уравнение (неравенство) с параметром означает следующее:
исследовать, при каких значениях параметра уравнение (неравенство) имеет решения и сколько их в зависимости от значений параметра;
найти все решения и указать для каждого из них значения параметра.
Описание многих физических процессов и геометрических закономерностей проводится с помощью уравнений и неравенств с параметром.

аналитический
графический
Решение относительно паракметра
Способы решения
уравнений и неравенств
Решение задач с параметром
рассмотреть наиболее встречающиеся аналитический и графический методы при решении уравнений и неравенств с параметром
Цель занятия:

«… 10 из 100 математиков мыслят формулами… Но остальные мыслят образами; их интуиция геометрическая. Картинки несут гораздо больше информации, чем слова. В течение многих лет школьников отучали пользоваться картинками, потому что «они не строгие»… Да, они не строгие, но они помогают думать, а такого рода помощью никогда не следует пренебрегать»
Ян Стюарт
ПРЕИМУЩЕСТВА
ГРАФИЧЕСКОГО СПОСОБА:
подсказка на более рациональный
аналитический
метод решения
отсутствие сложных и громоздких вычислений
экономия времени
Решение задач с параметром

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ
в задачах, которые нельзя решить другими способами
в уравнениях -математических моделях
других задач
ПРИМЕНЕНИЕ
ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА
при обосновании классических методов решения неравенств
в задачах, в которых он
наиболее рационален
Решение задач с параметром

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ
План решения задач с параметром графическим методом
Соответствующее множество на плоскости
Формулировка ответа
на вопрос задачи
Условие задачи
Построение графика функции,
графика уравнения
Чтение графика
Решение задач с параметром

Решение задач
с параметром
в координатной
плоскости (хОу)
в координатной
плоскости (хОа)
1. Строим график функции у=f(х;а), задающий семейство кривых, зависящих от параметра а.
2. Определяем преобразование, позволяющее перейти от одной кривой семейства к другой.
3. Читаем график и находим необходимый графический образ.
Записываем уравнение F(x;a) = 0
в виде а = f (x) и строим график
этой функции.
2. Находим точки пересечения
графика функции a = f(x) с прямыми
вида a = a0, параллельными оси Ох.
3. Выбираем абсциссы точек
пересечения, определяющие решения
в соответствии с условием задачи.
Структура решения задач с параметром
ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
С ПАРАМЕТРОМ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Решение задач с параметром

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ (хОа)
1. (а+4х-х2-1)(а+1-|х- 2|)=0
а = -1
x
1
a=|x-2|-1
2
a=x2-4х+1
3
Пример 1. При каких значениях а уравнение (а+4х-х2-1)(а+1-|х-2|)=0 имеет три корня?
Решение.
Ответ: при а = – 1.
4. При а = – 1 данное уравнение имеет три корня.
2. График этой совокупности – объединение
«уголка» и параболы.
a
0
1
-1
-3
3. а=а0 – прямая, параллельная оси Ох.
Решение задач с параметром

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ (хОу)
3. График уравнения x2+y2=1 – единичная окружность
с центром в начале координат.
4. Cистема имеет по четыре решения при а = 1
Пример 2. Сколько решений имеет система
в зависимости от значений параметра a?
x

1
1
-1
-1
0
a
-a
a
-a
—
—
●
●
●
●
●
●
●
Решение.
Ответ: если а , то нет решений; если а = 1 или а = — четыре решения; если 1 0 график первого уравнения — гомотетичные
квадраты с вершинами (а;0), (0;-а), (-а;0), (0;а) и
центром гомотетии в начале координат.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Элективный курс
«Решение задач с параметром»
при 1 система решений не имеет.
и а = ,
1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ (хОу)
3. График уравнения x2+y2=1 – единичная окружность
с центром в начале координат.
4. Cистема имеет по четыре решения при а = 1
Пример 2. Сколько решений имеет система
в зависимости от значений параметра a?
x

1
1
-1
-1
0
a
-a
a
-a
—
—
●
●
●
●
●
●
●
Решение.
Ответ: если а , то нет решений; если а = 1 или а = — четыре решения; если 1 0 график первого уравнения — гомотетичные
квадраты с вершинами (а;0), (0;-а), (-а;0), (0;а) и
центром гомотетии в начале координат.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
при 1 система решений не имеет.
и а = ,
1

Спасибо за внимание!
Решение задач с параметром

Презентация «Решение уравнений с параметром»

Решение уравнений с параметром, примеры и способы решения.

Просмотр содержимого документа
«Презентация «Решение уравнений с параметром»»

Учитель математики МБОУ СОШ №33

Учитель математики ОГАОУ «БИЮЛИ»

• Линейные уравнения с параметром
• Квадратные уравнения с параметром
• Экзаменационные задания из материала ГИА.
• Экзаменационные задания из материала ЕГЭ.

Линейным уравнением с параметром относительно х называют уравнение вида

где a и b – некоторые выражения, зависящие только от параметра, а х – неизвестное.

Линейное уравнение с параметром приводят к виду ax = b .

При а ≠ 0 оно имеет единственное решение x = ,

при а=0 и b =0 его решением является любое число;

если же а=0, а b =0 ,то уравнение решений не имеет.

Для всех значений параметра а решить уравнение 2а(а — 2) х=а — 2.

Решение:. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, необходимо решить уравнение при следующих значениях параметра:

Рассмотрим эти случаи.

• При а= 0 уравнение принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2 уравнение принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения получаем, х=

0 т в е т: 1) если а= 0 , то корней нет; 2) если а= 2 , то х — любое действительное число;

Приведем уравнение к виду ax = b .

При a ≠ -3 мы получим

При а=-3 уравнение х(а+3)=6а+4 примет вид : 0*х=-14.

Очевидно, что оно решений не имеет.

Ответ : при а=-3 корней нет;

Пример 3 Для всех значений параметра а решить уравнение.

Запишем уравнение в стандартном виде

. Если , т.е. , то имеем 0 * Х = 0, решением является множество

Пример4 . Решите уравнение . Решение: По смыслу задачи (5 a + x )( x -5 a ) ≠ 0 , то есть х ≠ ± 5а . Умножив обе части уравнения на произведение (5 a + x )( x -5 a ), получим уравнение Или . При а=0 уравнение примет вид 0*х=0, решением которого будет любое число, кроме нуля (так как х ≠ ± 5а ). При а ≠ 0 имеем х=5а. Этот корень попадает под ограничение х ≠ ± 5а. Ответ: при а=0 уравнение имеет бесконечно много решений – все действительные числа, кроме нуля; При любом а(-∞;0)U(0;+∞) решений нет. В меню Далее

Квадратные уравнения с параметром.

Известно, что уравнение

называется квадратным только в случае а≠0.

Однако решение таких уравнений очень часто начинают с нахождения дискриминанта. Это неверно! В качестве коэффициента при может быть выражение с параметром. А оно вполне может быть равным нулю, и данное уравнение квадратным не будет, получится линейное уравнение.

Поэтому, решая квадратное уравнение с параметром, необходимо первым делом смотреть на коэффициент при . Если этот коэффициент – выражение с параметром, то нужно отдельно выделить случай, когда оно равно нулю, и решить получившееся линейное уравнение.

Пример1 . Решить уравнение:

«Особо» нужно выделить значение а=0, так как при таком а уравнение линейное, а при остальных – квадратное, а также необходимо выяснить, при каких а дискриминант трёхчлена положителен, отрицателен, равен 0 .

Таким образом, при а=0 – одно решение х=0,

при а≠0 – два решения

Ответ : При a =0, x =0;

Пример 2. Решить уравнение ax=x 2 +3 Решение:

Ответ:1) при 2) при 3)при

уравнение не имеет решений

0. Тогда, очевидно, надо найти ординату вершины А( ), . Тогда можно получить полный ответ: если a ≤0, то n =1; если 0если a =1,то n =2; если a 1, то n =1. » width=»640″

Пример3 . Найдите число решений уравнения .

Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически.

Положим . Тогда имеем систему

Далее рассмотрим графики На рисунке приведены пять различных случаев. Два из них очевидны.

Если a =0, то точек пересечения двух графиков – две. Но одна из них – (0;0), что по условию задачи не подходит в качестве решения. Следовательно, при a =0 снова имеем единственное решение.

Пусть теперь a 0. Тогда, очевидно, надо найти ординату вершины А( ), . Тогда можно получить полный ответ:

если a ≤0, то n =1;

если a 1, то n =1.

1, то n =1. В меню Далее » width=»640″

.Ответ: если a ≤0, то n =1;

если a 1, то n =1.

Экзаменационные задания из материала ГИА.

Пример 1. (Базовый уровень)Определите ненулевые коэффициенты p и q квадратного уравнения так, чтобы его корни были равны p и q .

Из т. Виета следует

Пусть , где p ≠0, q ≠0 (из условия).

Пример 2.(Повышенный уровень) Часть2. Найдите все значения m , при которых парабола имеет с прямой x + my — 1=0 одну – единственную общую точку

Так как парабола и прямая имеют общую точку, следовательно, получится уравнение

Начнём решение данного уравнения с «вырожденного случая» m =0: уравнение примет вид 1*х=0, его корень х=0.

При D =0, квадратное уравнение имеет единственное решение.

Вывод: при — парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку.

Ответ : при m=0 , m=-1 , m= парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку.

0 Далее рассмотрим графики у= и y=a . На рисунке приведены три различных случая 4 решения при а 3 решения при а=7; 2 решения при а7. Ответ: 4 решения при а 3 решения при а=7; 2 решения при а7. В меню » width=»640″

Пример 3.(Повышенный уровень) Часть2. Определите количество корней уравнения при всех положительных значениях параметра а.

Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически. ,а 0

Далее рассмотрим графики у= и y=a . На рисунке приведены три различных случая

4 решения при а

3 решения при а=7;

2 решения при а7.

4 решения при а

3 решения при а=7;

2 решения при а7.

Экзаменационные задания из материала ЕГЭ. Пример 1.Укажите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно три решения

Решение :В одной системе координат a ох построим графики функций

Получили, что при а=4 уравнение имеет три решения.

Ответ: при а=4 уравнение имеет три решения.

Пример 2. . Найдите значение параметра а, при котором уравнение имеет единственное решение. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.

Решение: В одной системе координат аох построим графики функций

Получили, что при а=-0,5 и а=-1,5 уравнение имеет единственное решение. -0,5+(-1,5)=-2