Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
«Уравнения будут существовать вечно».
Цели урока:
- Образовательные:
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
- Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- способствовать улучшению психологического климата в классе.
- Развивающие:
- способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
- способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;
Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.
1 урок
I. Актуализация опорных знаний
Устно решить уравнения:
1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0
1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.
II. Изучение нового материала
– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).
Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.
Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.
(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)
1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители
sin 4x = 3 cos 2x
Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.
2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.
2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение
cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.
Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos
cos 3x + 2 sin сos = 0,
сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,
cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит
Ответ:
3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.
Для решения уравнения воспользуемся формулой
Ответ:
4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,
Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,
. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.
Значит sin x = . Поэтому .
Ответ:
III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова
1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)
(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)
№ 164 (а)
2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда
Ответ: –.
№ 167 (а)
3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.
Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.
Ответ:
№ 168 (а )
Ответ:
№ 174 (а )
Ответ:
Решить уравнение:
Ответ:
2 урок (урок-лекция)
IV. Изучение нового материала (продолжение)
– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.
5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений
Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.
sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.
Получим tg x – 1 = 0.
Ответ:
Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.
sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.
tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.
Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.
тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.
В итоге x = arctg 2 + , x =
Ответ: arctg 2 + ,
Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).
Ответ: arctg 2 + k,
6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений
Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.
Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:
Учитывая, что и, получим:
Ответ:
7 способ. Введение дополнительного аргумента
Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:
.
(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)
Введём дополнительный аргумент – угол такой, что
Тогда
Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.
Учтём, что . Тогда получим
0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим
Ответ: – arcsin 0,8 + +
8 способ. Уравнения вида Р
Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .
Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.
Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:
t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.
sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =
Ответ:
9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.
Решить уравнение:
В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:
Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.
1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.
Условию удовлетворяют только решения
Ответ:
10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.
Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:
Решение системы
Ответ:
V. Итог урока
Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.
(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )
Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).
Методы решения уравнений с тригонометрическими функциями
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению.
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
5. Введение вспомогательного угла.
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
6. Преобразование произведения в сумму.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
Основные методы решения тригонометрических уравнений
п.1. Разложение на множители
Алгоритм простого разложения на множители
Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения \(f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot . \cdot f_n(x)=0\) где \(f_i(x)\) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от \(x\).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: \( \left[ \begin
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(2cosx cos2x=cosx\) \begin
Мы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые \(60^<\circ>=\frac\pi3\) Поэтому: \begin |
Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара \(\frac\pi2+\pi k,\ \ \pm\frac\pi6+\pi k\), равнозначная c \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\).
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.
Алгоритм разложения на множители со знаменателем
Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ \frac
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: \( \begin
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(ctgx-tgx=\frac
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=\frac
Полученное уравнение равносильно системе: \begin
Записываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: \begin |
За счет требования \(x\ne\frac<\pi k><2>\) исключаются семейства \(x=\frac\pi2+2pi k\) и \(x=2\pi k\).
Остается только \(x=\frac\pi4+\pi k\).
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)
п.2. Приведение к квадратному уравнению
Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где \(f(x)\) — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=f(x)\). Решить полученное квадратное уравнение: \begin
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(3sin^2x+10cosx-6=0\)
Заменим \(sin^2x=1-cos^2x\). Получаем: \begin
Ответ: \(\pm arccos\frac13+2\pi k\)
п.3. Приведению к однородному уравнению
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени
Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=0\)
Делим на \(cosx\). Получаем: \(tgx+1=0\Rightarrow tgx=-1\Rightarrow x=-\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k\)
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени
Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^2x\) \begin
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3\)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): \begin
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg\frac43+\pi k\)
Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени
Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^n x\)
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=tgx\). Решить полученное алгебраическое уравнение: \begin
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(2sin^3x=cosx\)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: \begin
Раскладываем на множители: \begin
Получаем: \(2t^3-t^2-1=0\Leftrightarrow t-1=0\)
Возвращаемся к исходной переменной:
\(tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)
п.4. Введение вспомогательного угла
Например:
Решим уравнение \(\sqrt<3>sin3x-cos3x=1\)
Делим уравнение на \( p=\sqrt<3+1>=2: \) \begin
Ответ: \(-\frac\pi3+\frac<2\pi k><3>,\ \ \frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\)
п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
При решении уравнений вида \begin
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).
Например:
Решим уравнение \(cos3x+sin2x-sin4x=0\)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sin\frac<2x-4x><2>cos\frac<2x+4x>=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: \begin
Получаем, что семейства решений \(\frac\pi6+2\pi k\) и \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\) уже содержатся во множестве \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\). |
п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
При решении уравнений вида \begin
Например:
Решим уравнение \(sin5xcos3x=sin6xcos2x\)
Заметим, что: \begin
Семейства решений не пересекаются. |
Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: \( \left[ \begin
п.7. Понижение степени
При решении уравнений вида \begin
Например:
Решим уравнение \(sin^2x+sin^22x=1\)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: \begin
\(x=\frac\pi2+\pi k\) является подмножеством \(x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\) Поэтому \begin |
п.8. Замена переменных
При решении уравнений вида \(f(sinx\pm cosx,\ sinxcosx)=0\) используется замена \begin
Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=1+sinxcosx\)
Замена: \(t=sinx+cosx\)
Тогда \(t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosx\Rightarrow sinxcosx=\frac
Подставляем: \begin
п.9. Использование ограничений области значений функций
Уравнения вида \begin
Поэтому решаем систему: \( \begin
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.
Аналогично, уравнение вида \begin
Например:
Решим уравнение \(sinx+cos4x=2\)
Для этого нужно решить систему: \begin
Пересечением двух семейств решений будет только \(\frac\pi2+2\pi k\). Поэтому \begin |
п.10. Примеры
Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) \(4sin\left(\frac\pi2\right)+5sin^2x=4\)
Приводим уравнение к квадратному:
\(5sin^x+4cosx-4=0\)
\(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0\)
\(-5cos^2x+4cosx+1=0\)
\(5cos^2x-4cosx-1=0\)
Замена: \(t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\) \begin
б) \(6sinxcosx=5cos2x\)
\(6sinxcosx=3\cdot 2sinxcosx=3sin2x\)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
\(3sin2x=5cos2x\ |\ :\ cos2x\)
\(3tg2x=5\Rightarrow tg2x=\frac53\Rightarrow 2x=arctg\frac53+\pi k\Rightarrow x=\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>\)
Ответ: \(\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>\)
в) \(9cos^2x-5sin2x=-sin^2x\)
\(5sin2x=5\cdot 2sinxcosx=10sinxcosx\)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
\(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0\ |:\ cos^2x\)
\(tg^2x-10tgx+9=0\)
Замена: \(t=tgx\) \begin
г) \(cos3x-1=cos6x\)
Косинус двойного угла: \(cos6x=2cos^2 3x-1\)
Подставляем и раскладываем на множители:
\(cos3x-1=2cos^2 3x-1\)
\(cos3x-2cos^2 3x=0\)
\(cos3x(1-2cos3x)=0\) \begin
Ответ: \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>,\ \ \pm\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\)
д) \(\sqrt<3>sin2x-cos2x=-\sqrt<3>\)
Разделим на \(p=\sqrt<3+1>\) и введем дополнительный угол:
\(\frac<\sqrt<3>><2>sin2x-\frac12 cos2x=-\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(\frac12cos2x-\frac<\sqrt<3>><2>sin2x=\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(cos\left(2x-\frac\pi3\right)=\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(2x-\frac\pi3=\pm\frac\pi6+2\pi k\)
\(2x=\frac\pi3\pm\frac\pi6+2\pi k= \left[ \begin
\( \left[ \begin
Ответ: \(-\frac<\pi><12>+\pi k,\ \ \frac\pi4+\pi k\)
е) \(cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x\)
Формула понижения степени: \(cos^2x=\frac<1+cos2x><2>\)
Подставляем: \begin
Пример 2*. Решите уравнения:
a) \begin
1) Если \(cosx\ne 0\), то последнее слагаемое \(\frac
Получаем: \begin
2) Проверим, является ли \(cosx=0\) решением.
При \(cosx=0,\ x=\frac\pi2+\pi k,\ tgx\rightarrow\infty\). Первое слагаемое \(\frac<4>
Второе слагаемое \(\frac<18>
Третье слагаемое \(\frac
Сумма слагаемых в пределе \(tgx\rightarrow\infty\) равна \(0+0+1=1\ne 0\)
\(cosx=0\) решением не является.
Ответ: \(-arctg10+\pi k\)
б) \(\frac<3>
ОДЗ: \(cosx\ne 0,\ x\ne\frac\pi2+\pi k\) \begin
Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(\frac\pi4,\ arctg\frac43,\ \frac<5\pi><4>\) и \(\pi+arctg\frac43\), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях. Выбираем только точки в 1-й четверти: \(\frac\pi4\) и \(arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения период будет не \(\pi k\), а \(2\pi k\). \begin |
2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) \begin
Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(-\frac\pi4,\ -arctg\frac43,\ \frac<3\pi><4>\) и \(\pi-arctg\frac43\), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях. Выбираем только точки вo 2-й четверти: \(\frac<3\pi><4>\) и \(\pi-arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом \(2\pi k\). \begin |
3) Объединяем полученные решения: \begin
По аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: \begin |
Окончательно получаем: \( \left[ \begin
Ответ: \((-1)^k arctg\frac43+\pi k,\ \ (-1)^k \frac\pi4+\pi k\)
г) \(3sinx-4cosx=5\)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
\(p=\sqrt<3^2+4^2>=5\)
\(\frac35sinx-\frac45 cosx=1\)
\(sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
\(sin\alpha sinx-cos\alpha cosx=1\)
\(cos\alpha cosx-sin\alpha sinx=-1\)
\(cos(x+\alpha)=-1\)
\(x+\alpha=\pi+2\pi k\)
\(x=-\alpha+\pi+2\pi k=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\)
Способ 2. Делаем универсальную подстановку: \begin
Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\ \ \text<и>\ x=2arctg3+2\pi k $$ равнозначны, т.е. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3\), и равны углы: $$ arcsin\frac35=\pi-2arctg3\ \ (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) \(2arctg3=\varphi\). Тогда \(arctg3=\frac\varphi2\) и \(tg\frac\varphi2=3\).
А в левой части равенства (*) \(arcsin\frac35=\alpha\) и \(sin\alpha=\frac35\)
Угол \(0\lt arcsin\frac35\lt \frac\pi2\) расположен в 1-й четверти.
Угол \(\varphi=2arctg3\) расположен во 2-й четверти \((cos\varphi\lt 0,\ sin\varphi\gt 0)\). $$ cos\varphi=\frac<1-tg^2\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<1-3^2><1+3^2>=-\frac45,\ \ sin\varphi=\frac<2tg\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<2\cdot 3><1+3^2>=\frac35 $$ Получаем, что для угла \(\alpha:\ sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
Для угла \(\varphi:\ sin\varphi=\frac35,\ cos\varphi=-\frac45\)
Откуда следует, что \(\alpha=\pi-\varphi\). Что и требовалось доказать.
Ответ: \(-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\) или \(2arctg3+2\pi k\) (т.к. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3)\)
http://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/osnovnye-metody-resheniya-trigonometricheskih-uravnenij/