Методы решения уравнений в страницах

Методы решения уравнений — обзор

В этой статье дан краткий обзор всех основных методов решения уравнений. Здесь также приведены ссылки на материалы с подробной информацией по каждому методу. Это дает возможность познакомиться со всеми методами решения уравнений, а в случае необходимости — изучить методы решения уравнений углубленно.

Метод введения новой переменной (замены переменной)

Метод введения новой переменной, он же метод замены переменной, позволяет решать уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная, а также уравнения, которые могут быть приведены к указанному виду. Состоит метод во введении новой переменной t=g(x) . Введение переменной позволяет от исходного уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) перейти к уравнению с новой переменной f(t)=0 или f₁(t)=f₂(t) соответственно. Дальше находятся корни полученного уравнения с новой переменной: t₁, t₂, …, t_n . После этого осуществляется возврат к старой переменной, для чего составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n . Решение этой совокупности дает интересующее нас решение исходного уравнения.

Например, метод введения новой переменной позволяет решить уравнение . Здесь стоит принять . Это позволяет перейти от исходного уравнения к квадратному уравнению t 2 −3·t+2=0 с новой переменной t , которое имеет два корня t₁=1 и t₂=2 . Обратная замена происходит путем составления совокупности двух уравнений и . Это рациональные уравнения. Решением первого является x=2 , а решением второго является x=1,5 . Так методом введения новой переменной получено решение исходного уравнения: 1,5 , 2 .

Подробное описание метода введения новой переменной, включающее обоснование метода, алгоритм решения уравнений этим методом и примеры решения характерных уравнений, дано в этой статье.

Метод разложения на множители

Метод разложения на множители предназначен для решения уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 , где f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) – некоторые выражения, x – переменная. То есть, методом разложения на множители решаются уравнения, в левой части которых находится произведение нескольких выражений, а в правой – нуль. Суть метода состоит в замене решения уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 решением совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения.

Приведем простой пример. Уравнение может быть решено методом разложения на множители. Переходим от исходного уравнения к совокупности двух уравнений и . Иррациональное уравнение имеет единственное решение x₁=1 . Логарифмическое уравнение тоже имеет единственное решение x₂=4 . Значит, совокупность уравнений имеет два решения x₁=1 , x₂=4 . Но области допустимых значений для исходного уравнения, которой является множество (3, +∞) , принадлежит лишь одно из решений x₁=1 , x₂=4 , а именно, x₂=4 . Оно и является единственным корнем уравнения .

Подробное описание этого метода и решения других характерных примеров смотрите в статье «метод разложения на множители».

Метод решения уравнений «дробь равна нулю»

Из названия понятно, что этот метод используется при решении уравнений f(x)/g(x)=0 . Например, он позволяет решить уравнение . Метод состоит в переходе от решения уравнения f(x)/g(x)=0 к решению уравнения f(x)=0 на ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, чтобы решить уравнение , надо решить уравнение (x−1)·(x 2 −4)=0 на ОДЗ для исходного уравнения.

Обоснование метода и примеры с решениями смотрите здесь.

Метод решения уравнений через преобразования

Метод базируется на преобразовании уравнений с целью выстраивания последовательностей равносильных уравнений и уравнений-следствий со сравнительно простыми последними уравнениями, по решениям которых находятся решения исходных уравнений.

Например, для решения уравнения 3·x 4 −48=0 последовательно проводятся два преобразования: переносится слагаемое −48 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком, после чего проводится деление обеих частей уравнения на число 3 . В результате получается равносильное уравнение x 4 =16 , причем очень простое в плане решения. Оно имеет два корня x₁=−2 и x₂=2 . Они и составляют решение исходного уравнения.

Вот другой пример. Замена выражения в левой части уравнения тождественно равным выражением (x−1)·(x+2) дает уравнение-следствие (x−1)·(x+2)=0 , имеющее два корня x₁=1 и x₂=−2 . Проверка показывает, что только первый корень является корнем исходного уравнения, а второй корень – посторонний.

Какие преобразования используются при решении уравнений? Когда нужно делать проверку для отсеивания посторонних корней, а когда такую проверку делать необязательно? Ответы на эти и многие другие вопросы по теме есть в этом материале.

Метод решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам

Иногда в результате преобразования уравнений получаются числовые равенства. Например, уравнение сводится к верному числовому равенству 0=0 , а уравнение сводится к неверному числовому равенству 0=5 . Решением уравнений, сводящихся к верным числовым равенствам, является множество, совпадающее с ОДЗ для исходного уравнения. Так, решением уравнения является множество x≥0 . А уравнения, сводящиеся к неверным числовым равенствам, не имеют решений. То есть, уравнение не имеет решений.

Здесь есть один нюанс. Если среди преобразований, приводящих уравнение к верному числовому равенству, есть возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то нельзя утверждать, что решением уравнения является любое число из ОДЗ. Этот нюанс разобран в статье «решение уравнений, сводящихся к числовым равенствам».

Функционально-графический метод

Обзор методов решения уравнений продолжаем функционально-графическии методом. Этот метод предполагает использование функций, отвечающих частям решаемого уравнения, а точнее, их графиков и свойств. Можно выделить три основных направления функционально-графического метода:

• Графический метод
• Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций
• Метод оценки

Давайте рассмотрим их.

Графический метод

Первое направление базируется на использовании графиков функций. Это так называемый графический метод решения уравнений. По этому методу, во-первых, выполняется построение в одной прямоугольной системе координат графиков функций, отвечающих частям уравнения. Во-вторых, по чертежу определяется количество точек пересечения графиков, сколько точек пересечения – столько и корней у решаемого уравнения. В-третьих, определяются абсциссы точек пересечения – это значения корней.

Например, графически можно решить уравнение . Из чертежа, приведенного ниже, видно, что графики имеют единственную точку пересечения с абсциссой 2 . Это единственный корень уравнения.

Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций

Второе направление в своей основе имеет использование свойств возрастающих и убывающих функций. Соответствующий метод используется тогда, когда есть возможность подобрать корень уравнения и доказать возрастание функции, отвечающей одной из частей уравнения, и убывание функции, отвечающей другой части уравнения. В этом случае подобранный корень является единственным.
Приведем пример. Для уравнения 3 (1−x) 3 +1=2 x несложно подобрать корень, им является число 1 . Также несложно обосновать убывание функции, соответствующей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Это доказывает единственность подобранного корня.

За более полной информацией следуйте сюда

Метод оценки

Третье направление основано на использовании свойств ограниченности функций. Это так называемый метод оценки. Согласно этому методу, в первую очередь нужно оценить значения выражений, находящихся в левой и правой части уравнения. Если множества, соответствующие полученным оценкам, не пересекаются, то уравнение не имеет корней. Если множества имеют конечное число общих элементов t₁ , t₂ , …, t_n , то решение уравнения f(x)=g(x) заменяется решением совокупности систем , , …, . Если же множества, соответствующие оценкам имеют бесконечно много общих элементов, то надо либо уточнять оценки, либо искать другой метод решения.

Например, методом оценки можно решить уравнение . Значения левой части этого уравнения не превосходят нуля, а значения правой части не меньше нуля. Это позволяет перейти к системе , решение которой дает искомое решение уравнения.

Метод освобождения от внешней функции

Метод освобождения от внешней функции используется для решения уравнений h(f(x))=h(g(x)) , где f , g и h – функции, причем функция y=h(t) принимает каждое свое значение по одному разу, в частности, строго возрастает или строго убывает, а x – независимая переменная. Этот метод состоит в переходе от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения.

Например, методом освобождения от внешней функции можно решить уравнение . Здесь в качестве внешней функции выступает y=h(t) , где . Эта функция возрастающая как сумма двух возрастающих функций и , значит, каждое свое значение она принимает по одному разу. Это позволяет перейти от исходного уравнения к уравнению . Равносильные преобразования позволяют привести последнее уравнение к квадратному уравнению x 2 +x−2=0 , которое имеет два корня x₁=−2 и x₂=1 . Из этих корней только x₁=−2 принадлежит ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, x₁=−2 – единственный корень исходного уравнения.

Рекомендуем детально разобраться с этим методом решения уравнений, обратившись к материалу статьи «метод освобождения от внешней функции».

Метод решения уравнений через ОДЗ

Через ОДЗ решаются уравнения, области допустимых значений которых являются либо пустыми множествами, либо состоят из конечного количества чисел. Когда ОДЗ есть пустое множество, уравнение не имеет решений. Когда ОДЗ состоит из конечного количества чисел, то следует по очереди проверить эти числа через подстановку. Те из них, которые удовлетворяют решаемому уравнению являются его корнями, остальные – не являются.

Например, уравнение не имеет решений, так как ОДЗ для него есть пустое множество. А для уравнения ОДЗ состоит из двух чисел −1 и 7 . Проверка подстановкой показывает, что −1 является корнем уравнения, а 7 – не является.

Более полная информация по этому методу решения уравнений содержится в этой статье.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Этот метод, в основном, используется для решения иррациональных уравнений. Он заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень с целью избавления от корней. Например, возведение обеих частей уравнения в квадрат дает уравнение без корня 1−5·x=(x−3) 2 . Возведение в нечетную степень дает равносильное уравнение. Возведение в четную степень в общем случае дает уравнение-следствие, поэтому, при этом необходимо позаботиться об отсеивании посторонних корней. Причем отсеивание следует проводить способом, не связанным с ОДЗ, обычно, через проверку подстановкой, так как возведение частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в рамках ОДЗ.

Аналогично разбираемый метод может использоваться и для решения уравнений, в которых фигурируют степени с рациональными и иррациональными показателями. Решения соответствующих примеров смотрите здесь.

Метод решения уравнений по определению логарифма

По определению логарифма, как правило, решают уравнения следующего вида log_h(x)f(x)=g(x) , например, log₂(x 2 +4·x+3)=3 , log₂(9−2 x )=3−x , log_x(3·x lgx +4)=2·lgx и т.п.

Согласно методу решения уравнений по определению логарифма, решение уравнения log_h(x)f(x)=g(x) заменяется решением уравнения f(x)=(h(x)) g(x) на ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Например, от уравнения log_x(3·x lgx +4)=2·lgx можно перейти к уравнению 3·x lgx +4=x 2·lgx на ОДЗ для исходного уравнения.

Более полная информация содержится в основной статье.

Метод потенцирования

Методом потенцирования решаются логарифмические уравнения, обе части которых являются логарифмами по одному и тому же основанию, например, lgx=lg(3·x+5) , и т.п. Метод заключается в замене решения уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) решением уравнения f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения. По этому методу от уравнения lgx=lg(3·x+5) следует перейти к уравнению x=3·x+5 на ОДЗ для исходного уравнения, которая определяется двумя условиями: x>0 , 3·x+5>0 .

Обоснование метода и примеры с подробными решениями смотрите в этой статье.

Метод логарифмирования

Метод подразумевает логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию. К нему следует прибегать тогда, когда логарифмирование позволяет избавиться от степеней с переменной в показателях. В частности, его можно использовать для решения показательных уравнений, обе части которых являются степенями с одинаковыми основаниями, например, 5 1−x =5 2·x+1 . Почленное логарифмирование этого уравнения дает очень простое уравнение 1−x=2·x+1 , решение которого дает решение исходного уравнения.

Также метод подходит для решения показательных уравнений, степени в которых имеют разные основания и отличающиеся показатели, например, . Более того, метод логарифмирования является чуть ли не основным методом решения показательно-степенных уравнений, вроде таких x lgx−1 =100 , .

Более детальная информация и примеры с решениями есть в этом материале.

Общие методы решения уравнений
статья по алгебре (11 класс) на тему

В школьном курсе математики решаются различные уравнения: линейные, иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические и другие. С решением уравнений учащиеся встречаются не только на уроках алгебры при решении непосредственно уравнений, систем уравнений, задач на составление уравнений, но и на уроках геометрии, физики, химии, биологии.

Следовательно, основная задача, стоящая перед школьным курсом математики — научить учащихся решать уравнения разных типов и разными способами. Статья полезна учителям, работающим в старшей школе.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

В помощь учителю.

Учитель математики Сыроватская Е.А.

В школьном курсе математики решаются различные уравнения: линейные, иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические и другие.

С решением уравнений учащиеся встречаются не только на уроках алгебры при решении непосредственно уравнений, систем уравнений, задач на составление уравнений, но и на уроках геометрии, физики, химии, биологии.

Следовательно, основная задача, стоящая перед школьным курсом математики — научить учащихся решать уравнения разных типов и разными способами.

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

— некоторый многочлен. Решить уравнение — значит найти множество всех корней (решений) этого уравнения на его области определения или доказать, что решений нет.

Число a называется корнем уравнения с переменной x, если выполняется равенство

В процессе решения уравнений обычно производим некоторые преобразования, т.е. последовательно заменяем данное уравнение другими уравнениями, равносильными (эквивалентными) данному, или уравнениями – следствиями.

Два уравнения f 1 (x)=g 1 (x) называются равносильными на некотором множестве M , если они имеют в этом множестве одни и те же решения, т. е. каждый корень данного уравнения, принадлежащий множеству М, является корне полученного уравнения, и, наоборот, каждый корень уравнения f 1 (x)=g 1 (x) , принадлежащий множеству М, является корнем уравнения .

Пример: х+4=3х и х-2=0 равносильные. Т. к. каждое из них имеет единственный корень х=2 на множестве R. <х-4=3х>

Уравнение f 1 (x)=g 1 (x) называется следствием уравнения , если при переходе от уравнения к уравнению f 1 (x)=g 1 (x) не происходит потери корней, т.е. все корни данного уравнения являются корнями уравнения следствия. .

Пример : <х=1>, где х=1 является единственным корнем первого уравнения, и вместе с тем это число – корень второго уравнения.

Решение уравнений школьного курса алгебры основано на шести теоремах о равносильности.

Теорема 1. Если какой – либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному: f(x)= g(x)

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение a f(x) =a g(x) ( где a

Теорема 4. Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение h(x) , которое:

а) имеет смысл всюду в области определения ( в области допустимых значений ) уравнения

б) нигде в этой области не обращается в ноль, т. е. получится уравнение , равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное данному: f(x) n =g(x) n

Теорема 6. Если f(x)>0 и g(x)>0 , то логарифмическое уравнение log a f(x)= log a g(x) , где a>0, a

Решение многих уравнений легче осуществить за счет перехода к равносильным уравнениям или уравнениям – следствиям.

При решении уравнений любых видов используются наиболее общие методы решения уравнений.

Первый метод – метод замены уравнения h(f(x))=h(f(x)) уравнением . Этот метод применяется при решении показательных уравнений a f(x) =a a(x) (a>0, a , когда от данного уравнения переходим к уравнению

При решении логарифмических уравнений, когда переходим от уравнения log a f(x)= log a g(x) к уравнению (где f(x)>0; g(x)>0); при решении иррациональных уравнений, когда переходим от уравнения = к уравнению , при x ОДЗ .

Этот метод можно применять только в том случае, когда y=h(x) — монотонная функция, которая свое значение применяет по одному разу. Например, y=x 7 — возрастающая функция, поэтому от уравнения можно перейти к уравнению 2х+2=5х-9, откуда находим х= .

Расширение ОДЗ здесь не произошло, значит это равносильное преобразование уравнения.

Если же y=h(x) немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корня. Так заменить уравнение (2x+2) 4 =(5x-9) 4 уравнением 2x+2=5x-9 нельзя, т.к. произошла потеря корня х=1. По той же причине нельзя переходить от уравнения к уравнению 17x=7x.

Пример : решить уравнение . Потенцируя, получим: x=6-x 2 , x 2 +x-6=0, x 1 =2, x 2 =-3.

С учетом ОДЗ получим х=2. Значение х=2. Значение х=-3 не удовлетворяет ОДЗ. Ответ: х=2.

Второй метод – метод разложения на множители Этот метод основан на теореме: произведение нескольких функций обращается в ноль только и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют. Уравнение f(x)*g(x)*h(x)=0 можно заменить совокупностью уравнений: , если x

Решив уравнения этой совокупности, мы должны взять те корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Пример : решить уравнение: ( -3)(2 x2+6x+5 -1)

Область допустимых значений уравнения задается системой неравенств:

Решение уравнения сводится к решению совокупности трех уравнений:

Из четырех корней лишь х=9 удовлетворяет ОДЗ. Ответ: х=9.

Пример : решить уравнение: x 3 -7x+6=0

Заменим данное уравнение равносильным x 3 -x-6x+6=0 , группируем слагаемые (x 3 -x)-(6x-6)=0

(x-1)(x 2 +x-6)=0 x-1=0 или x 2 +x-6=0

X 1 =1; x 2 =2, x 3 =-3.

Все три значения переменной являются корнями заданного уравнения.

Третий метод – метод введения новой переменной. Этот метод основан на том, что если уравнение f(x)=0 можно преобразовать к виду p(q(x))=0 то нужно ввести новую переменную U=q(x), решить уравнение p(U)=0 , а затем решить совокупность уравнений: , где U 1 , U 2 ,…U n — корни уравнения p(U)=0

Удачный выбор переменной намного упростит решение уравнения.

Пример : решить уравнение: + =

Удачной будет замена x 2 -x=U , тогда данное уравнение примет вид: + = .

Возведем обе части уравнения во вторую степень:

U 2 +9U-22=0, U 1 =2, U 2 = -11- посторонний корень, т.к. , , — не существуют в области действительных чисел

Возвращаемся к исходной переменной: x 2 -x=2; x 2 -x-2=0; x 1 =2, x 2 = -1.

Пример : Решить уравнение: Преобразуем данное уравнение, заменив его равносильным: .

При решении этого уравнения уместна замена 3 x =a, где а>0. Получим уравнение и далее имеем: 3a 2 +a=252 3a 2 +a-252=0, a 1 =9, a 2 = — (не удовлетворяет условию) Возвращаясь к исходной переменной, получим: 3 x =9, 3 x =3 2 , x=2. Ответ: x=2

Пример: Решить уравнение: 1+ ( )= ( ) 2

1+ ( )= 2 ) |*2 2+2 ( )= Выполним замену переменной: , тогда ( ) 2 =t 2 , t 2 =1+ , t 2 -1 Исходное уравнение примет вид: 2+2 t=1-(t 2 -1) t 2 +2 t=0 t(t+2 )=0 t=0 или t+2 =0 Возвращаемся к замене переменной или (решений нет) x= Ответ: x=

Пример : Решить уравнение: lg 2 x 3 + -7=0 Используя свойства логарифмов, упростим каждое из слагаемых уравнения: lg 2 x 3 =(3lgx) 2 =9lg 2 x, = -lg10x= -(lg10+lgx)= -1-lgx Исходное уравнение примет вид: 9lg 2 x-lg x-8=0, область определения уравнения x>0 Замена переменной очевидна lg x=U, тогда 9U 2 -U-8=0 Решаем полученное квадратное уравнение: D=1+4*9*8=289=17 2 , U= ; U 1 =1; U 2 = — ; Далее lg x=1 или lg x= ; x 1 =10, x 2 = Ответ: x 1 =10, x 2 = , с учетом области определения.

Четвертый метод — функционально-графический. Идея этого метода состоит в том, что для решения уравнения надо построить графики функций y=f(x), y=g( x) и найти точки их пересечения- корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, указать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней.

Пример : Решить графически уравнение: = Построим графики функций: y= , D(y)=[0;+ ); E(y)=[0;+ ) y=|x-2|, D(y)=R; E(y)=[0;+ )

В некоторых случаях построение графиков можно заменить опорой на свойства функций. Если одна из функций y=f(x), y=g( x) возрастает, а другая убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно угадать.

Пример. Решить уравнение: =2-x. Функция y= возрастает на множестве [0;+ ). Функция y=2-x убывает на множестве R. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень. «Угадываем» корень уравнения, х=1.

Пятый метод- метод оценок значений функций. Предварительная оценка левой части или правой части уравнения помогает решить уравнение или убедиться в том, что уравнение не имеет решений. Пример. Решить уравнение: 2 =5 Оценим левую часть уравнения: т.к. |sinx| , то | . Следовательно, данное уравнение не имеет корней. Пример. Решить уравнение: Левая часть уравнения является возрастающей функцией, а правая- убывающей функцией. Следовательно, уравнение имеет единственный корень: х=1 (ОДЗ: 5 х -4 ) Ответ: х=1.

В школьном курсе математики решение уравнений занимает одно из центральных мест. Не может быть какого-то единого и, более того, всеобщего метода решения уравнений. Для каждого типа уравнений разработаны нестандартные приемы, вытекающие из общих идей, но часто более эффективные в конкретных ситуациях.

1. «Лекции и задачи по элементарной математике», В.Г. Болтянский и др., изд. «Наука», Москва, 1972г., стр.276-287.
2. Газета «Математика», №47-2000г., «Алгебраические уравнения в курсе элементарной математики», стр.15-17.
3. Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 кл»., А.Д. Мордкович, Москва, 2000г., стр.302-304.
4. «Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы», Г.В. Дорофеев, изд. «Дрофа», Москва, 2001г.
5. «Математика»(подготовка к ЕГЭ-2004), Лысенко Ф.Ф. и др., Ростов-на-Дону, 2003.
6. Учебник «Алгебра и начала анализа 11кл.», М.И. Башмаков., Москва, изд. «Просвещение», 1993г.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по теме «Общие методы решения уравнений» 11 класс

Обобщение и систематизация знаний о методах решения уравнений.

Урок-практикум по теме «Общие методы решения уравнений» п.56, «Алгебра и начала анализа 10-11 классы», авт.А.Г. Мордкович и презентации по данной теме.

Цели: Систематизировать, обобщить знания и умения учащихся по применению различных методов решения уравнений.Развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математич.

методическая разработка урока «Общие методы решения уравнений»

Способы решения уравнений, которые предлагаются учащимся в школьных учебниках, усваиваются достаточно хорошо. Поэтому при повторении решили пользоваться различными пособиями по элементарной математике.

Разработка урока по теме: «Общие методы решения уравнений»

Разработка содержит:-конспект урока;-презентацию к уроку;-работы учащихся.

Развёрнутый конспект урока в логике ФГОС в 11 классе по теме: «Общие методы решения уравнения».

Развёрнутый конспект урока в логике ФГОС в 11 классе по теме: «Общие методы решения уравнения».Тип урока: урок отработки умений и рефлексии.УМК: ,Алгебра и начала математического анализа. 10 -11 класс.

Общие методы решения уравнений 11 класс

Презентация для проведения обобщающего урока по теме «Общие методы решения уравнений».

Уравнение — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Уравнения

Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений

1. Понятие уравнения и его корней

Определение:

Равенство с переменной называется уравнением. В общем виде уравнение с одной переменной

Под этой краткой записью понимают математическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны

Пример:

— линейное уравнение;

— квадратное уравнение;

— иррациональное уравнение (содержит переменную под знаком корня)

Корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет

— корень уравнения , так как при получаем верное равенство: , то есть

2. Область допустимых значений (ОДЗ)

Областью допустимых значений (или областью определения) уравнения называется общая область определения для функций и , стоящих в левой и правой частях уравнения

Для уравнения ОДЗ: , то есть , так как область определения функции определяется условием: , а область определения функции — множество всех действительных чисел

3. Уравнения-следствия

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Если из правильности первого равенства следует правильность каждого последующего, то получаем уравнения-следствия.

При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений-следствий проверка полученных корней подстановкой их в исходное уравнение является составной частью решения.

Пример:

Решение:

► Возведем обе части уравнения в квадрат:

Проверка, — корень (см. выше); — посторонний корень (при получаем неверное равенство ).

4. Равносильные уравнения

Определение:

Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни.

То есть каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. (Схема решения уравнений с помощью равносильных преобразований приведена в пункте 5 этой таблицы)

Простейшие теоремы

1. Если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве)
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получим уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного уравнения)

5. Схема поиска плана решения уравнений

— исходное уравнение;

— уравнение, полученное в результате преобразования исходного;

— символические изображения направления выполненных преобразований

Применение свойств функций к решению уравнений рассмотрено в пункте 3.2.

Объяснение и обоснование:

Понятие уравнения и его корней

Уравнение в математике чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны. Поэтому в общем виде уравнения с одной переменной записывают так:

Часто уравнения определяют короче — как равенство с переменной.

Напомним, что корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Например, уравнение имеет единственный корень ,

а уравнение не имеет корней, поскольку значение не может быть отрицательным числом.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения

Если задано уравнение , то общая область определения для функций и называется областью допустимых значений этого уравнения. (Иногда используются также термины «область определения уравнения» или «множество допустимых значений уравнения».) Например, для уравнения областью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так: , поскольку функции и имеют области определения .

Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как области определения функции , так и области определения функции (иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.

Например, в уравнении функция определена при всех действительных значениях , а функция только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается системой из которой получаем систему не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Заметим, что нахождение ОДЗ данного уравнения может быть полезным для его решения, но не всегда является обязательным элементом решения уравнения.

Методы решения уравнений

Для решения уравнений используют методы точного и приближенного решений. А именно, для точного решения уравнений в курсе математики 5-6 классов использовались зависимости между компонентами и результатами действий и свойства числовых равенств; в курсе алгебры 7-9 классов — равносильные преобразования уравнений, а для приближенного решения уравнений — графический метод.

Графический метод решения уравнений не дает высокой точности нахождения корней уравнения, и с его помощью чаще всего можно получить только грубые приближения корней. Иногда удобно графически определить количество корней уравнения или найти границы, в которых находятся эти корни. В некоторых случаях можно графически доказать, что уравнение не имеет корней. По указанным причинам в школьном курсе алгебры и начал анализа под требованием «решить уравнение» понимается требование «используя методы точного решения, найти корни данного уравнения». Приближенными методами решения уравнений можно пользоваться только тогда, когда об этом говорится в условии задачи (например, если ставится задача решить уравнение графически).

В основном при решении уравнений разных видов нам придется применять один из двух методов решения. Первый из них состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, имеющим те же корни,— равносильным уравнением. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым, равносильным ему, и т. д. В результате получаем простейшее уравнение, которое равносильно заданному и корни которого легко находятся. Эти корни и только они являются корнями данного уравнения.

Второй метод решения уравнений состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, среди корней которого находятся все корни данного, то есть так называемым уравнением-следствием. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым уравнением-следствием, и так далее до тех пор, пока не получим простейшее уравнение, корни которого легко находятся. Тогда все корни данного уравнения находятся среди корней последнего уравнения. Поэтому, чтобы найти корни данного уравнения, достаточно корни последнего уравнения подставить в данное и с помощью такой проверки получить корни данного уравнения (и исключить так называемые посторонние корни — те корни последнего уравнения, которые не удовлетворяют заданному).

В следующем пункте будет также показано применение свойств функций к решению уравнений определенного вида.

Уравнения-следствия

Рассмотрим более детально, как можно решать уравнения с помощью уравнений-следствий. При решении уравнений главное — не потерять корни данного уравнения, и поэтому в первую очередь мы должны следить за тем, чтобы каждый корень исходного уравнения оставался корнем следующего. Фактически это и является определением уравнения-следствия:

в том случае, когда каждый корень первого уравнения является корнем второго, второе уравнение называется следствием первого.

Это определение позволяет обосновать такой ориентир: для получения уравнения-следствия достаточно рассмотреть данное уравнение как верное числовое равенство и гарантировать (то есть иметь возможность обосновать), что каждое следующее уравнение мы можем получить как верное числовое равенство.

Действительно, если придерживаться этого ориентира, то каждый корень первого уравнения обращает это уравнение в верное числовое равенство, но тогда и второе уравнение будет верным числовым равенством, то есть рассматриваемое значение переменной является корнем и второго уравнения, а это и означает, что второе уравнение является следствием первого.

Применим приведенный ориентир к уравнению (пока что не используя известное условие равенства дроби нулю).

Если правильно то, что дробь равна нулю, то обязательно ее числитель равен нулю. Таким образом, из заданного уравнения получаем уравнение-следствие . Но тогда верно, что . Последнее уравнение имеет два корня: и . Подставляя их в заданное уравнение, видим, что только корень удовлетворяет исходному уравнению. Почему это случилось?

Это происходит поэтому, что, используя уравнения-следствия, мы гарантируем только то, что корни заданного уравнения не теряются (каждый корень первого уравнения является корнем второго). Но второе уравнение, кроме корней первого уравнения, имеет еще и другой корень, который не является корнем первого уравнения. Для первого уравнения этот корень является посторонним, и, чтобы его отсеять, выполняется проверка подстановкой корней в исходное уравнение. (Более полно причины появления посторонних корней рассмотрены в таблице 9.) Таким образом, чтобы правильно применять уравнения-следствия для решения уравнений, необходимо помнить еще один ориентир: при использовании уравнений-следствий возможно появление посторонних корней, и поэтому проверка подстановкой корней в исходное уравнение является составной частью решения.

Схема применения этих ориентиров дана в таблице 8. В пункте 3 этой таблицы приведено решение уравнения

(1)

Для решения этого уравнения с помощью уравнений-следствий достаточно данное уравнение рассмотреть как верное числовое равенство и учесть, что в случае когда два числа равны, то и их квадраты также будут равны:

(2)

То есть мы гарантируем, что если равенство (1) верно, то и равенство (2) также будет верным, а это и означает (как было показано выше), что уравнение (2) является следствием уравнения (1). Если мы хотя бы один раз использовали уравнения-следствия (а не равносильные преобразования), то можем получить посторонние корни, и тогда в решение обязательно входит проверка полученных корней подстановкой их в заданное уравнение.

Замечание. Переход от данного уравнения к уравнению-следствию можно обозначить специальным значком , но его использование для записи решения не является обязательным. Вместе с тем, если этот значок записан, то это свидетельствует о том, что мы воспользовались уравнениями-следствиями, и поэтому обязательно в запись решения необходимо включить проверку полученных корней.

Равносильные уравнения

С понятием равносильности вы знакомы еще из курса алгебры 7 класса, где равносильными назывались те уравнения, которые имели одни и те же корни. Заметим, что равносильными считались и такие два уравнения, которые не имели корней. Формально будем считать, что и в этом случае уравнения имеют одни и те же корни, поскольку ответы к таким уравнениям одинаковы: «уравнения не имеют корней» (точнее: одинаковыми являются множества корней таких уравнений — они оба пустые, что обозначается символом ).

В курсе алгебры и начал анализа мы будем рассматривать более общее понятие равносильности, а именно: равносильность на определенном множестве.

Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни, то есть каждый корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Для уравнений, заданных на множестве всех действительных чисел (например, для линейных), мы можем однозначно дать ответ на вопрос: «Равносильны ли данные уравнения?» Например, уравнения и — равносильные, поскольку оба имеют одинаковый корень и других корней не имеют. Таким образом, каждое из них имеет те же решения, что и второе. При рассмотрении равносильности уравнений на множестве, которое отличается от множества всех действительных чисел, ответ на вопрос «Равносильны ли данные уравнения?» может существенно зависеть от того, на каком множестве мы рассматриваем эти уравнения. Например, если рассмотреть уравнения:

(3)

(4)

то, как было показано выше, уравнение (3) имеет единственный корень , а уравнение (4) — два корня: и . Таким образом, на множестве

всех действительных чисел эти уравнения не являются равносильными, поскольку у уравнения (4) есть корень , которого нет у уравнения (3). Но на множестве положительных действительных чисел эти уравнения равносильны, поскольку на этом множестве уравнение (3) имеет единственный положительный корень и уравнение (4) также имеет единственный положительный корень . Следовательно, на множестве положительных чисел каждое из этих уравнений имеет те же решения, что и второе.

Укажем, что множество, на котором рассматривается равносильность уравнений, как правило, не задается искусственно (как в последнем случае), а чаще всего таким множеством является ОДЗ исходного уравнения. Договоримся, что далее

все равносильные преобразования уравнений (а также неравенств и систем уравнений и неравенств) мы будем выполнять на ОДЗ исходного уравнения (неравенства или системы).

Отметим, что в том случае, когда ОДЗ заданного уравнения является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем ее записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных уравнений). И в других случаях главное — не записать ОДЗ в решение уравнения, а реально учесть ее при выполнении равносильных преобразований данного уравнения.

Например, для уравнения задается неравенством . Когда мы переходим к уравнению , то для всех его корней это уравнение является верным равенством. Тогда выражение , стоящее в правой части этого равенства, всегда неотрицательно (), таким образом, и равное ему выражение также будет неотрицательным: . Но это и означает, что ОДЗ данного уравнения () учтено автоматически для всех корней второго уравнения и поэтому при переходе от уравнения к уравнению ОДЗ заданного уравнения можно не записывать в решение.

Для выполнения равносильных преобразований попробуем выделить общие ориентиры, аналогичные соответствующим ориентирам получения уравнений-следствий. Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования уравнений, необходимо учесть ОДЗ данного уравнения — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований уравнений. По определению равносильности уравнений необходимо гарантировать, чтобы каждый корень первого уравнения был корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения был корнем первого. Для первой части этого требования мы уже выделили общий ориентир: достаточно гарантировать сохранение правильности равенства при переходе от первого уравнения ко второму.

Но тогда, чтобы выполнить вторую часть этого требования, достаточно второе уравнение рассмотреть как верное равенство (то есть взять такое значение переменной, которое является корнем второго уравнения) и гарантировать, что при переходе к первому верное равенство сохраняется (этот корень остается и корнем первого уравнения). Фактически из определения равносильности уравнений получаем, что каждое из равносильных уравнений является следствием другого уравнения). Таким образом, при выполнении равносильных преобразований мы должны гарантировать сохранение правильности равенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях — это и является вторым ориентиром для решения уравнений с помощью равносильных преобразований. (Соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 8.)

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований уравнение достаточно учесть его ОДЗ: и условие равенства дроби нулю (дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Также следует обратить внимание на то, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильности равенства.

Запись решения в этом случае может быть такой:

. ОДЗ: . Тогда . Отсюда (удовлетворяет условию ОДЗ) или (не удовлетворяет условию ОДЗ).

Для выполнения равносильных преобразований уравнений можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности уравнений обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности, известных из курса алгебры 7 класса.

Теорема 1. Если из одной части уравнения перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве).

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получаем уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований данного уравнения.

Замечание. Для обозначения перехода от данного уравнения к равносильному ему уравнению можно применять специальный значок , но его использование при записи решений не является обязательным. Например, запись решения последнего из рассмотренных уравнений может быть такой.

Пример №423

Решите уравнение .

Решение:

► ОДЗ: и

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

то есть

Учтем ОДЗ. При

Таким образом, — корень.

Ответ:

Используем равносильные преобразования для решения данного уравнения. Для этого необходимо учесть ОДЗ, поэтому зафиксируем ее ограничения в начале решения.

Укажем, что в уравнениях ограничения ОДЗ можно только зафиксировать, но не решать, а в конце проверить, выполняются ли эти ограничения для найденных корней.

При переносе члена данного уравнения из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получаем уравнение (1), равносильное заданному.

Приводя к общему знаменателю, раскрывая скобки и приводя подобные члены, снова получаем верное равенство и можем обосновать, что при выполнении обратных действий равенство также не нарушается, таким образом, полученные уравнения (1)-(3) равносильны заданному (на его ОДЗ).

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Но второе условие уже учтено в ограничениях ОДЗ, таким образом, получаем уравнение (4), равносильное заданному уравнению на его ОДЗ. Поскольку все преобразования были равносильными только с учетом ОДЗ, то мы должны проверить, удовлетворяет ли полученное число ограничениям ОДЗ.

Причины появления посторонних корней и потери корней при решении уравнений

Наиболее типичные случаи появления посторонних корней и потери корней приведены в таблице 9. Там же указано, как в каждом из этих случаев получить правильное (или полное) решение.

Применение свойств функций к решению уравнений

1. Конечная ОДЗ

Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения

Пример:

— корень (),

— не корень ().

2. Оценка левой и правой частей уравнения

Если надо решить уравнение вида и выяснилось, что то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда и одновременно равны

Пример:

►

(так как ).

Итак, заданное уравнение равносильно системе

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю

Пример:

►

Итак, заданное уравнение равносильно системе

Из первого уравнения получаем , что удовлетворяет всей системе

3. Использование возрастания и убывания функций

Схема решения уравнения

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.

2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения)

Теоремы о корнях уравнения

Если в уравнении функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение имеет единственный корень , то есть ), поскольку функция возрастает на всей области определения

Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение имеет единственный корень ( то есть ), поскольку возрастает на всей области определения , a убывает (на множестве , а следовательно, и при )

Объяснение и обоснование:

Конечная ОДЗ

Напомним, что в случае, когда дано уравнение , общая область определения для функций называется областью допустимых значений этого уравнения. Понятно, что каждый корень заданного уравнения принадлежит как области определения функции , так и области определения функции . Таким образом, каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях за счет анализа ОДЗ получить решение уравнения. Например, если дано уравнение \, то его ОДЗ можно записать с помощью системы . Решая эту систему, получаем то есть . Таким образом, ОДЗ данного уравнения состоит только из одного значения . Но если только для одного числа необходимо выяснить, является ли оно корнем данного уравнения, то для этого достаточно подставить это значение в уравнение. В результате получаем верное числовое равенство (). Следовательно, — корень данного уравнения. Других корней у этого уравнения быть не может, поскольку все корни уравнения находятся в его ОДЗ, а там нет других значений, кроме .

Рассмотренный пример позволяет выделить ориентир для решения аналогичных уравнений:

если ОДЗ уравнения (а также неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Замечание. В том случае, когда ОДЗ — пустое множество (не содержит ни одного числа), мы можем сразу дать ответ, что данное уравнение не имеет корней.

Например, если необходимо решить уравнение , то его ОДЗ задается системой то есть системой которая не имеет решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Оценка левой и правой частей уравнения

Некоторые уравнения можно решить с помощью оценки левой и правой частей уравнения.

Пусть дано уравнение , и нам удалось выяснить, что для всех допустимых значений значение , а значение .

Рассмотрим два случая:

Если , то равенство не может выполняться, потому что , то есть при данное уравнение корней не имеет. Остается только случай , но, учитывая необходимость выполнения равенства , имеем, что тогда и . Таким образом, мы обосновали, что выполнение равенства (при условии и ) гарантирует одновременное выполнение равенств и (и наоборот, если одновременно выполняются равенства и , то выполняется и равенство . Как было показано в п. 3.1, это и означает, что уравнение равносильно системе

Коротко это можно записать так:

Пример использования такого приема решения уравнений приведен в пункте 2 таблицы 10.

Аналогично предыдущим рассуждениям обосновывается и ориентир по решению уравнения , в котором все функции-слагаемые неотрицательны .

Если предположить, что , то сумма всех функций, стоящих в левой части этого уравнения, может равняться нулю только тогда, когда сумма будет отрицательной. Но это невозможно, поскольку по условию все функции неотрицательные. Таким образом, при данное уравнение не имеет корней. Эти же рассуждения можно повторить для любой другой функции-слагаемого. Остается единственная возможность — все функции-слагаемые равны нулю (очевидно, что в этом случае равенство обязательно будет выполняться). Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Например, чтобы решить уравнение , достаточно перенести все члены в одну сторону, записать уравнение в виде и учесть, что функции неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Из второго уравнения получаем , что удовлетворяет и всей системе. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень .

Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений

Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений опирается на такое свойство: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения.

Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения.

Теорема 1. Если в уравнении функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 52. Прямая пересекает график возрастающей на промежутке функции только в одной точке. Это и означает, что уравнение не может иметь больше одного корня на промежутке . Докажем это утверждение аналитически.

• Если на промежутке уравнение имеет корень , то . Других корней быть не может, поскольку для возрастающей функции при получаем неравенство , а при — неравенство . Таким образом, при . Аналогично и для убывающей функции при получаем .

Теорема 2. Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 53.

• Если на промежутке уравнение имеет корень , то . Других корней быть не может, поскольку, например, для возрастающей функции и убывающей функции при имеем , a , таким образом, . Аналогично и при .

Каждая из этих теорем утверждает, что в рассмотренном промежутке данное уравнение может иметь не более чем один корень, то есть или это уравнение совсем не имеет корней, или оно имеет единственный корень. Если нам удалось подобрать один корень такого уравнения, то других корней в заданном промежутке уравнение не имеет.

Например, чтобы решить уравнение , достаточно заметить, что функция является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что — корень этого уравнения (). Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень .

Корень получен подбором. Как правило, подбор начинают с целых значений: которые подставляются в данное уравнение.

Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня уравнения (если он есть) только на промежутке возрастания (или убывания) соответствующей функции. Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, то приходится рассматривать каждый из них отдельно.

Пример:

Решим с помощью теоремы 2 уравнение .

► Сначала следует учесть его ОДЗ: и вспомнить, что функция на всей области определения не является ни убывающей, ни возрастающей (п. 2.2), но она убывает на каждом из промежутков и . Поэтому рассмотрим каждый из этих промежутков отдельно.

1) При данное уравнение имеет корень . Функция возрастает при (как было показано выше, она возрастает на множестве ), а функция убывает на промежутке . Таким образом, данное уравнение при имеет единственный корень .

2) При данное уравнение имеет корень . Функция возрастает при , а функция убывает на этом промежутке. Поэтому данное уравнение при имеет единственный корень . В ответ следует записать все найденные корни (хотя на каждом из промежутков корень единственный, но всего корней — два). Итак, данное уравнение имеет только два корня: 1 и -1.

Примеры решения задач:

Пример №424

Решите уравнение .

Решение:

► ОДЗ: . На ОДЗ . Тогда функция (как сумма двух взаимно обратных положительных чисел), а функция .

Таким образом, данное уравнение равносильно системе . Из второго уравнения системы получаем , что удовлетворяет и первому уравнению. Таким образом, система (а значит, и данное уравнение) имеет единственное решение .

Если раскрыть скобки и привести обе части уравнения к общему знаменателю, то для нахождения корней полученного уравнения придется решать полное уравнение восьмой степени, все корни которого мы не сможем найти.

Попытаемся оценить области значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Поскольку на ОДЗ , то в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. В правой части из 2 вычитается неотрицательное число . Таким образом, при всех значениях получаем значение, меньшее или равное 2. Равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 2.

Пример №425

Решите систему уравнений

Решение:

► ОДЗ: Рассмотрим функцию . На своей области определения эта функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций). Тогда первое уравнение заданной системы, которое имеет вид , равносильно уравнению . Таким образом, на ОДЗ заданная система равносильна системе

Подставляя во второе уравнение системы, имеем , . Учитывая, что на ОДЗ , получаем . Тогда .

Иногда свойства функций удается применить при решении систем уравнений. Если заметить, что в левой и правой частях первого уравнения заданной системы стоят значения одной и той же функции, которая является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то равенство для возрастающей функции возможно тогда и только тогда, когда , поскольку возрастающая функция может принимать одинаковые значения только при одном значении аргумента. (Заметим, что такое же свойство будет иметь место и для убывающей функции.)

Замечание. Утверждение, обоснованное в комментарии к задаче 2, может быть использовано при решении аналогичных задач. Коротко его можно сформулировать так: если функция является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве

• Метод математической индукции
• Система координат в пространстве
• Иррациональные числа
• Действительные числа
• Интеграл и его применение
• Первообразная и интегра
• Уравнения и неравенства
• Уравнения и неравенства содержащие знак модуля

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.