Методы решения уравнений высших степеней 11 класс

Урок алгебры и начала анализа по теме «Методы решения уравнений высших степеней». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

“Под методом же я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное и без излишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, это способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что доступно”.

Цель урока: обеспечение условий для усвоения каждым учащимся знаний об уравнениях высших степеней, способах их решений.

Образовательные задачи: обобщить, углубить знания обучающихся по изучаемой теме, закрепить умение узнавать и применять изученные приемы решения уравнений высших степеней.

Развивающие задачи:

Воспитательные задачи:

Форма урока – установочный практикум.

Обеспечение: 1) листы с заданиями (приложение 1); 2) типы уравнений высших степеней; 3) возможны презентации докладчиков; 4) презентация учителя (приложение 2).

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний (фронтальная работа с классом) (10 минут)

Учитель:

1. Объявляется тема урока, обращается внимание обучающихся на эпиграф урока.
2. Какие уравнения называются уравнениями высших степеней? Назовите виды таких уравнений.
3. Назовите общие методы решения уравнений высших степеней.
   Какой из перечисленных методов вам наиболее близок и понятен?
   Перечислите аналитические приёмы, с помощью которых можно решить уравнения высших степеней названным методом.
4. А теперь я предлагаю вам составить схему (кластер) методов решения уравнений высших степеней и провести классификацию уравнений по методам решений (обучающиеся работают с предложенными уравнениями на специальных листах).

1) х 3 – 6х 2 + 11х – 6 = 0; (разложение на множители)
2) 9х 4 – 9х 3 + 10х 2 – 3х + 1 = 0; (введение новой переменной, возвратное уравнение)
3) х 5 + 3х 3 = 11 – х; (функционально-графический)
4) (х 2 + 3х + 2)(х 2 + 9х + 20) = 4; (введение новой переменной)
5) х 3 – 5х 2 +3х +1 = 0; (разложение на множители)
6) 2х 4 – 5х 3 + 5х – 2 = 0; (разложение на множители)
7) х 7 + 3х + 2 = 0; (функционально-графический)
8) 4х 3 – 10х 2 + 14х – 5 = 0; (введение новой переменной)
9) х 4 – 8х + 63 =0; (разложение на множители, функционально-графический, применение производной функции)
10) х 6 + х 2 – 8х + 6 = 0. (функционально-графический с использованием уравнения касательной)

1. К доске приглашается один ученик, который представляет свою схему и классификацию. Учитель показывает свою схему, проверяется умение обучающихся определять способы решения уравнений на первый взгляд.

Разложение многочлена на множители

Метод замены переменной

Функционально-графический методСпособом группировкиБиквадратные уравненияТеорема о монотонности функцийПо формулам сокращенного умноженияВозвратные уравненияИспользование производной функцииПо теореме БезуУравнения, в которых выделяются одинаковые многочлены.Составление уравнения касательнойСхема ГорнераВведение неопределенных коэффициентовДеление многочлена на многочлен

1. Взаимопроверка в парах. (“5” – 9-10 уравнений; “4” – 7-8 уравнений; “3” – 5-6 уравнений; “2” – меньше 5 уравнений”), отложили на край парты.
2. Выявление проблемы: какие методы решения уравнений высших степеней вызывают затруднения (существуют ли другие методы решения ).
3. Сформулируйте задачи нашего урока.

II. Включение в систему знаний (проверка домашнего задания, восприятие и осознание учебного материала) (15 минут):

Востребованные докладчики объясняют:

• Идею метода.
• Показывают решение конкретного примера.

Остальные учащиеся слушают объяснения, задают вопросы докладчику, записывают решение.

III. Закрепление знаний (17 минут):

1. Решение предложенных уравнений различными методами по рядам:
   I ряд – решают введением новой переменной, II ряд –функционально-графическим, III ряд – разложением на множители.
2. В последнее время уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Особое внимание уделяется уравнениям с параметром.

У доски ученик решает уравнение с параметром №3.4(г).

ах 3 – 3х 2 – 5х – а 2 = 0, р= -1 – корень уравнения.

а 2 + а – 2 = 0, а = -2 или а = 1.

При а = -2 уравнение принимает вид: 2х 3 + 3х 2 + 5х + 4 = 0.

При а=1 уравнение принимает вид: х 3 – 3х 2 – 5х – 1 = 0.

х 2 – 4х – 1 = 0, х = 25.

Ответ: – 1; 25.

1. На слайдах в презентации показывается историческая справка.

Из истории математики

Для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы не используют в школьной программе. После того, как были выведены формулы корней для уравнений третьей и четвёртой степени, на протяжении почти 300 лет, учёные-математики пытались вывести формулы для нахождения корней уравнений пятой степени и выше, но труды их оказались безуспешными.

Нильс Хенрик Абель (1802-1829)– норвежский математик. В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

1. Фронтальный опрос о приемах решения уравнений самостоятельно, ответы и решения сверяются с помощью презентации.
2. Самооценка. Проанализируйте свою работу, сделайте выводы о своих навыках и умении решать уравнения высших степеней различными методами.

IV. Домашнее задание (1 минута):

П. 3. №№ 3.20(б); 3.26(а); 3.29(г); 3.33(б).

Задание творческого характера: найти в различных источниках приемы решения уравнений высших степеней, о которых не упоминалось на уроке, привести примеры.

V. Итог урока (2 минуты):

1. Оценка работы отдельных учащихся на уроке.
2. Рефлексия:
   – Какой метод для вас оказался самым легким?
   – Какой метод для вас оказался самым трудным?
   – Какие приемы помогают вам в решении уравнений высших степеней?
   – Чей доклад вам больше понравился? Почему?
   – Как вы оцениваете работу класса? Как вы оцениваете собственную работу?

Литература:

1. А.Г. Мордкович, П. В. Семенов “Алгебра и начала анализа 11 (профильный уровень)”, Москва “Мнемозина”, 2012.
2. А.Г. Мордкович и др. “Алгебра и начала анализа 11 класс (профильный уровень)”, задачник. Москва “Мнемозина” 2012.
3. А.П. Карп “Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10-11” (М: Просвещение, 1999).
4. Ф.М. Мурзабаева. Презентация “Методы решения уравнений высших степеней” 11 класс (профильный уровень), г. Баймака, 2013.

Программа элективного курса по алгебре для учащихся 11 классов. » Методы решения уравнений высших степеней»
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

Учащиеся средней школы умеют решать по формулам квадратные уравнения, умеют применять теорему Виетта для приведенных квадратных уравнений ; решают биквадратные уравнения, но уравнения высших степеней в школьной программе не изучают, однако на ЕГЭ встречаются задачи, где требуются решить уравнения выше 2 степени.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Программа элективного курса по алгебре для учащихся 11 классов. «Методы решения уравнений высших степеней»

Учитель математики СОШ №6 г. Щелково Калашникова Л.М.

Учащиеся средней школы умеют решать по формулам квадратные уравнения, умеют применять теорему Виетта для приведенных квадратных уравнений; решают биквадратные уравнения, но уравнения высших степеней в школьной программе не изучают однако, на ЕГЭ встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени.

Решая задачи пред профильной подготовки учащихся , элективный курс ориентирован на углубление и расширение знаний по теме « Уравнения», а также на развитие логического, критического и творческого мышления, поисковой активности учащихся. Программа курса рассчитана на 15 часов и включает в себя различные виды решения алгебраических уравнений.

Цель элективного курса :

Овладение рациональными методами решения уравнений.

Задачи элективного курса:

1. Сформировать целостное представление об уравнениях:
2. Развить поисковую активность учащихся и интерес к исследовательской деятельности
3. Формирование у учащихся коммуникативных умений и навыков:

умений работать в группе, умений объективно оценить результаты своей деятельности и деятельности своих товарищей.

Предполагаются следующие формы организации обучения:

— индивидуальная ( консультации, тесты)

— групповая ( творческие работы)

— коллективная ( беседы, практикумы)

-взаимное обучение ( работа в парах)

— саморазвитие ( работа с учебной литературой, работа с информационным и методическим материалом)

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:

— защита творческих заданий;

Методы и формы обучения.

Обобщение знаний учащихся по темам: « Решение квадратных и биквадратных уравнений. Теорема Витта

Тестирование по решению квадратных и .биквадр. уравнений

Рациональные и другие виды уравнений, приводимые к квадратным

Эвристическая беседа. Групповая работа.

Разрешимость в радикалах. Уравнения, которые решаются.

Алгебраические уравнения и группы Галуа

Использование схемы Горнера как способ решения уравнений

Лекция с элементами беседы

Сколько существует способов решения уравнений высших степеней.

( работа в группах)

Нестандартные приемы решения уравнений

Создание « методички» по решению уравнений вида:

-уравнения высших степеней;

Проектная деятельность учащихся с целью « Приобретение целостного представления об уравнениях и способах их решения»

Защита учащимися проекта « Что я знаю о способах решения уравнений»

Семинар — «Круглый стол»

1. И.Ф. Шарыгин « Факультативный курс по математике « Решение задач» 10 класс М. Просвещение 1989 г
2. М.И.Башмаков. Школьная алгебра. Уравнения и неравенства. Учебное пособие 1994 г.
3. Энциклопедия для детей « Аванта+», М.: « Аванта+» 1998 г.
4. С.А. Шестаков, П.И. Захаров. « Уравнения и системы уравнений.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методы решения уравнений высших степеней

Проект урока по алгебре в 11 классе.Составлен по УМК А.Г. Мордковича.

Методы решения уравнений высших степеней.Схема Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Исследовательская работа ученика 9 класса Степанова Андрея : «Методы решения уравнений высших степеней»

Исследовательская работа ученика 9 класса Степанова Андрея : «Методы решения уравнений высших степеней».

Программа элективного курса по математике для 9 класса: Методы решения текстовых задач

Программа курса «Математических задач» разработана для обеспечения подготовки девятиклассников к успешному обучению в старших классах, осознанному выбору профильного предмета.Решение задачи стан.

Занятие элективного курса «Методы решения уравнений высших степеней»

Семинарское занятие по решению уравнений высших степеней.Рассматриваются различные методы их решения.Метод разложения на множители.Понижение степени уравнения.Применение теоремы Безу. Деление многочле.

Урок алгебры в 10 классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней».

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов .

Решение уравнений высших степеней

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x :

a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · ( a n ) n — 1 · x + a 0 · ( a n ) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Схема решения уравнения

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 ( x ) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 ( x ) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 ( x ) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) · P n — 2 ( x ) = 0 .Здесь P n — 2 ( x ) будет частным от деления P n — 1 ( x ) на x — x 2 .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m ( x ) = 0 . Здесь P n — m ( x ) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение P n — m ( x ) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на ( х — 1 ) в столбик:

Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 :

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 ( — 1 ) 3 + 2 · ( — 1 ) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на ( х + 1 ) в столбик:

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = ( x — 1 ) ( x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ) = = ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + x + 3 )

Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1 :

— 1 2 + ( — 1 ) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 ( — 3 ) 2 + ( — 3 ) + 3 = 9 ≠ 0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11 0

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

Далее мы приходим к разложению x — 1 x + 1 x 2 + x + 3 = 0 . Потом, проверив оставшиеся делители равенства x 2 + x + 3 = 0 , вычисляем оставшиеся корни.

Ответ: х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

Условие: решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

Решение

У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

Проверяем их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 ( — 1 ) 4 — ( — 1 ) 3 — 5 · ( — 1 ) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

В итоге мы получим x — 2 ( x 3 + x 2 — 3 x — 6 ) = 0 .

Проверяем делители дальше, но уже для равенства x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 , начиная с двойки.

2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2 :

В итоге получим ( x — 2 ) 2 · ( x 2 + 3 x + 3 ) = 0 .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3 0

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Ответ: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

Заменяем переменные y = 2 x :

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

Ответ: x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.