Методы решения уравнений высших степеней метод горнера

Схема Горнера

Схема Горнера – способ деления многочлена

на бином $x-a$. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число $a$, взятое из бинома $x-a$:

После деления многочлена n-ой степени на бином $x-a$, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна $n-1$. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.

Разделить $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, используя схему Горнера.

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$, расположенные по убыванию степеней переменной $x$. Заметьте, что данный многочлен не содержит $x$ в первой степени, т.е. коэффициент перед $x$ в первой степени равен 0. Так как мы делим на $x-1$, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число $5$, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: $1\cdot 5+5=10$:

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: $1\cdot 10+1=11$:

Для пятой ячейки получим: $1\cdot 11+0=11$:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Естественно, что так как степень исходного многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ равнялась четырём, то степень полученного многочлена $5x^3+10x^2+11x+11$ на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю, то единица является корнем многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$.

Разделить многочлен $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ по схеме Горнера.

Сразу оговорим, что выражение $x+3$ нужно представить в форме $x-(-3)$. В схеме Горнера будет учавствовать именно $-3$. Так как степень исходного многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:

Полученный результат означает, что

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^3+4x-17)+4$$

В этой ситуации остаток от деления $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ равна $4$. Или, что то самое, значение многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ при $x=-3$ равно $4$. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой $x=-3$ в заданный многочлен:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, – до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни, как рассмотрено в примере №3.

Найти все целочисленные корни многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$, используя схему Горнера.

Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед $x^6$) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ и $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Проверим, к примеру, число $1$:

Как видите, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=1$ равно $192$ (последнее число в второй строке), а не $0$, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение $x=-1$. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение $1$, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.

Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.

Итак, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=-1$ равно нулю, т.е. число $-1$ есть корень этого многочлена. После деления многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ на бином $x-(-1)=x+1$ получим многочлен $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:

Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа $45$. Попробуем ещё раз проверить число $-1$. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:

Итак, число $-1$ является корнем многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Этот результат можно записать так:

Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:

Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^4-22x^2+24x+45$, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа $45$). Проверим еще раз число $-1$:

Число $-1$ является корнем многочлена $x^4-22x^2+24x+45$. Этот результат можно записать так:

С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:

Теперь ищем корни многочлена $x^3-x^2-21x+45$. Проверим еще раз число $-1$:

Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число $3$:

В остатке ноль, посему число $3$ – корень рассматриваемого многочлена. Итак, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Теперь равенство (5) можно переписать так:

Проверим ещё раз число $3$:

Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):

Из последней скобки видно, что число $-5$ также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение $x=-5$, но необходимости в этом нет. Итак,

Числа $-1; \; 3; \; 5$ – корни данного многочлена. Причем, так как скобка $(x+1)$ в третьей степени, то $-1$ – корень третьего порядка; так как скобка $(x-3)$ во второй степени, то $3$ – корень второго порядка; так как скобка $(x+5)$ в первой степени, то $x=-5$ – корень первого порядка (простой корень).

Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:

Из таблицы следует вывод, полученный нами ранее с подробным решением:

Убедиться, что числа $2$ и $-5$ являются корнями многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$. Разделить заданный многочлен на биномы $x-2$ и $x+5$.

Степень многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$ равна $6$. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на $2$, т.е. станет равна $4$.

Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.

1. Методы решения уравнений высших степеней различными способами.

1. Метод замены переменной.

Пример 1. Дано: (х 2 -9) 2 -8(х 2 -9) +7=0

Решение. Введем новую переменную, обозначив х 2 -9=t, тогда получаем:

t 2 -8t+7=0, D=b 2 -4ac=36, t 1 =7; t 2 =1.

Возвращаемся к “старой” переменной х 2 -9=1, х=± √ 10; х 2 -9=7, х=±4.

Ответ: х 1 =+ √ 10; х 2 =- √ 10; х 3 =-4; х 4 =4.

Пример 2. Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение . Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:

(х 2 + 3х)(x 2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x 2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t 2 + 2t – 24 = 0, t 1 = -6; t 2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x 2 + 3x = -6, x 2 + 3x + 6 = 0, D

Уравнение x 2 + 3x = 4 имеет корни х 1 = -4, х 2 = 1.

Ответ : х 1 = -4, х 2 = 1.

Пример 3. Дано: (х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2

Решение . Разложим на множители х 2 + 15 + 50.

х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).

Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х 2 + х – 20)( х 2 + 8х – 20) = 18х 2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х 2 . Получим:

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t 2 +9t-10=0, t 1 = -10, t 2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

Решим первое уравнение х 2 + 10х – 20 = 0, D = 180, х 1 = ; х 2 =

Решим второе уравнение х 2 — х – 20 = 0, D =81, х 3 = — 4, х 4 = 5.

Ответ : х 1 = ; х 2 = ; х 3 = — 4, х 4 = 5.

Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х 4 +324=х 4 +18 2 ,

(х 2 +18) 2 =х 4 +36х 2 +324, тогда х 4 +324= х 4 +36х 2 +324-36х 2 . Получим:

Приведем левую и правую части к одному знаменателю:

Приравняем к нулю. Получим:

Решим уравнение в числителе методом группировки:

Разложим на множители , приравняв к нулю:

, введем новую переменную: х 2 =t, получаем:

х 2 -25=0, или х 2 +6х+18=0

Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 5. Дано: (х-1) 4 -х 2 +2х-73

(х-1) 4 -(х 2 -2х+1)-72, (х-1) 4 -(х-1) 2 -72.

Введем новую переменную: (х-1) 2 =t, t 2 -t-72=0, D=1+288=289

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х+1-9=0, х 2 -2х+1+8=0 ,

х 2 -2х-8=0 х 2 -2х+9=0

D=4+32=36 D=4 — 36= -32, D

Пример 6. Дано: (х 2 -2х-1) 2 +3х 2 -6х-13=0

Решение. Выполним преобразования: (х 2 -2х-1) 2 +3(х 2 -2х-1)-10=0.

Введем новую переменную: х 2 -2х-1=t

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х-1+5=0, х 2 -2х-1-2=0 ,

х 2 -2х+4=0 х 2 -2х-3=0

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на (х-1) 2 , получим

Решение . В левой части выделим полный квадрат разности:

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t 2 + 18t – 40 = 0; t 1 = -20, t 2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Решение . х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х:

Решим это уравнение:

Вернемся к “старой” переменной:

Решаем первое уравнение х 2 – 14х + 15 = 0

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Введем новые переменные: (х-1) 2 =а; (х+1) 2 =b, получаем:

а 2 +9b 2 -10аb=0, поделим на а 2 , 1+9( 2 -10( ), вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение:

9t 2 -10t+1=0, D=100-36=64, t 1,2 =

Возвращаемся к «старым» переменным: 1) (х+1) 2 =(х-1) 2 ; 2) (х-1) 2 =9(х+1) 2 .

1. х 2 +2х+1=х 2 -2х+1, 2) х 2 -2х+1=9х 2 +18х+9,

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:

Проводим преобразования и получаем:

х 1 =-2. Введем замену: х 2 +4х=t, тогда

Решая уравнения, получаем:

Подставляем значение t, получаем уравнение:

х 2,3 = Ответ: х 1 =-2; х 2 =-2+ ; х 3 = -2- .

Пример 2. Дано: х 4 +2х 3 +2х+1=0

Решение. Поделим на уравнение на х 2 , получим:

х 2 +2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:

вводим новую переменную: t= х+ , t 2 +2t-2=0, D=4+8=12,

x 2 + (1− )x +1 = 0, D=-1-2

x 2 + (1+ )x +1 = 0, D= ,

Пример 3. Дано: х 4 +х 3 -72х 2 +9х+81=0

Решение. Поделим уравнение на х 2 и сгруппируем:

(х 2 + +(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:

(х+ ) 2 +( х+ )-90=0, вводим новую переменную: t= х+ , решаем уравнение:

t 2 +t-90=0, D=1+360=361,

t 1,2 = Решаем уравнения, подставляя значения t:

х 2 +10х+9=0, D=100-36=64

х 2 -9х+9=0, D=81-36=45

Ответ: х 1 х 2 =-1; х 3,4 =

Определение. Уравнение р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =0, где n – натуральное число, а — произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением n – й степени .

Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n на двучлен х-а равен Р(а).

Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:

Если р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =(b 0 x n-1 +b 1 x n-2 +…+b n-2 x+b n-1 )(x-a)

Схема Горнера. Примеры

РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

4x 3 — 19x 2 + 19x + 6 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 — 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -4 — 19 — 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 4 ∙ 8 — 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

4x 3 — 19x 2 + 19x + 6 = (x — 2)(4x 2 — 11x — 3)

И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения

4x 2 — 11x — 3 = 0
D = b 2 — 4ac = (-11) 2 — 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня