Методы решения уравнения и неравенства 9 класс

Решение уравнений и неравенств. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Тип урока: урок обобщения знаний.

Систематизировать и повторить из курса 8-9 классов способы решения уравнений и неравенств.
Развивать аналитическое мышление и эстетическое чувство.
Побуждение к самостоятельному выбору методов решения.

Оборудование: проектор, экран.

1. Организационный момент (2-3 минуты).

1) Уравнения:	2) Неравенства
а) х 2 – 7 = 0	а) х 2 – 9 2 + 10х = 0	б) х 2 – 25 > 0
в) 3х 2 + 300 = 0	в) х 2 ≥ 10
г) х 2 + 3х – 40 = 0	г) 10х 2 ≤ 20
д) х 2 – 9х + 20 = 0	д) х 2 – 20х > 0
е) х 2 + 11х – 12 = 0	е) (х+1)(х – 3) / .

1 – посторонний корень.

х 4 – 10х 2 + 1 = 0

-х 2 – 2х + 8 2 + 2х – 8 > 0

1-й способ (методом интервалов).

х₁ = -4; х₂ = 2 по теореме Виета.

2-ой способ (с помощью параболы).

4. Самостоятельная работа (на экране) с проверкой в классе.

3. х 6 – 9х 3 + 8 = 0

4. 3х 2 – х + 1 2 – 5х ≤ -4

1	2	3	4	5
		1; 2	Решения нет.	[1;4]

2. х 4 – 4х 3 + 5х 2 – 4х + 1 = 0

Урок по теме «Решение уравнений и неравенств » 9 класс.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Чернышова Светлана Леонидовна

Тема урока «Решение уравнений и неравенств » (9 класс)

Цели : 1) Обобщить и систематизировать материал по теме «Уравнения и неравенства »;способствовать развитию умений и навыков в решении уравнений различными способами; организовать работу по отработке способов решения уравнения: введение новой переменной, разложение на множители так, чтобы каждый ученик научился решать целые уравнения высших степеней хотя бы одним способом, наиболее приемлемым для него;

Выявить степень усвоения материала каждым учеником.

2) развивать математическую культуру в чтении и оформлении записи решения уравнения; развивать интерес к решению уравнений различными способами;

3) воспитывать чувство товарищества, деликатности и дисциплинированности, умение работать в группах.

Оборудование: проектор, презентация, карточки с дифференцированным д/з, заготовки для рефлексии, индивидуального листа ,исследовательской карты, листа диагностики.

УМК: Учебник Ю. Н. Макарычев и др. «Алгебра 9класс», Москва., «Просвещение», 2009., Ю.Н. Макарычев. Дидактические материалы., Москва., «Просвещение».

Приветствие учащихся. «Здравствуйте, ребята!

Вопрос – Чему вы сегодня хотите научиться на уроке.

— какие качества в себе хотите сегодня развить.

На сегодняшнем уроке нам будет необходимо трудолюбие и терпение, так как мы обобщаем способы решения уравнений. Тема имеет практическую значимость при последующем изучении математики . Без уравнений мы не сможем решить много практических задач ,систем уравнений. Задача нашего урока обобщить материал по теме «Уравнения » и выявить степень усвоения материала каждым из вас.

Эта тема занимает ведущее место при подготовке к ГИА и к ЕГЭ. Мы будем работать сегодня и в парах, по группам и индивидуально. Пусть девизом урока будут слова Сухомлинского: « Сегодня мы учимся вместе – я ваш учитель , и вы мои ученики ,но в будущем ученик должен превзойти учителя ,иначе в науке не будет прогресса». Результаты своей работы ребята будете отмечать в и индивидуальных листах.(Приложение 1)

Этап «Найди ошибку» (1-3 группа) , тест (2-4 группа)

Цель : проверка вычислительных навыков, умений переключаться с одного типа заданий на другое ,что у нас и требуется в вариантах ГИА, умение анализировать ситуацию.

Х – 5(х-4) = 6х+5 2. 2х² +32=0 3. 2х² -3х -5 =0 4. = 1

Х – 5х — 4= 6х +5 2х²= — 32 D = 49 >0 , 2 корня

-4х -4 = 6х +5 х² = — 16 х =

Х=8 или х = -9 Ответы

Одновременно тест (2-4 группа)

Критерии 1 ) За тест: если правильно решены все задания , то 5 баллов.

2) «Найди ошибку» ;если правильно нашёл 1 ошибку ,то 3б,если нашёл

2 ошибки -4б,3ошибки – 5 баллов.

Сразу же проверка решений

Одновременно у доски 3человека для решения уравнений:

Дети оценивают друг друга работая в парах (взаимообмен тетрадями) и отмечают результаты в индивидуальных листах

Микровывод : Что для вас показалось наиболее трудным? На что надо обратить внимание ?Что удалось? Что не удалось? Какими навыками и умениями надо обладать, что успешно справляться данными заданиями?

Опрос по теории

Какие типы уравнений вы знаете?

Какой вид имеет полное квадратное уравнение?

Определение приведённого квадратного уравнения.

От чего зависит число корней квадратного уравнения ?

Общий вид дробно-рационального уравнения?

Какие методы решения уравнений ,вы знаете ? (биквадратные, с помощью подстановки, метод разложения на множители, метод группировки)

Микровывод : Что вам показалось наиболее трудным?

2-й этап . «Классификация» .

Цель: распределить уравнения по типам и результаты занести в исследовательскую карту. Причём ,обращаю ваше внимание в конце урока надо в данную карту записать общие виды уравнений.(Приложения 2)

Уравнения записаны на слайде

Даны уравнения : квадратные, линейные, дробно-рациональные ,целые, биквадратные ,метод группировки, вынесение множителя за скобки.

Критерии :если правильно сделана классификация ,то в лист учёта ставим 5 баллов, если 1-2 ошибки ,то 4 балла, если 3-4 ошибки, то ставим3 балла ,в остальных случаях 2б.

Дети оценивают друг друга работая в парах (взаимообмен тетрадями) и отмечают результаты в индивидуальных листах.

Микровывод ; Что для вас показалось наиболее трудным? На что надо обратить внимание ?Что удалось? Что не удалось? Какими навыками и умениями надо обладать ,что успешно справляться данными заданиями?

3-й этап :На 20-й минуте : (слайд10)

РАЗВИВАЮЩИЙ КАНОН D >0 2

Найти закономерность и сказать по какому признаку уравнения находятся в одной группе?

А) х² -7х+6 =0 Б) 20х² +100=0 в)

(у всех корень 1) (нет корней)

Упражнения для глаз

4-й этап .После того как проведена классификация уравнений по видам. Мы переходим к следующему этапу урока; Индивидуально- дифференцированная работа в группах с консультантами. (Приложение 3)

Цель : выявить степень овладения каждым из вас ,ребята способами решения уравнений. Здесь у вас будут разные типы уравнений ,которые мы изучали с 5 класса по 9 класс. .Они у нас встречаются в ГИА и в ЕГЭ.

Проведём эту работу в виде «Силового многоборья» Задания подобраны разных уровней .

Каждое уравнение со своим номером написано на отдельной карточке. Это всё находится у вас на столах. Вам раздаются макеты гирь. На ручках этих макетов пишете свою фамилию. Объясняю правила многоборья : Каждый из вас, ребята выбирает тот вес ,который хотите поднять (каждое уравнение оценено определённым количеством баллов , т.к трудность разная) И приступаете к решению. После того как уравнение решено .ученик подходит к консультанту или к любому из арбитров и арбитр проверяет ответ. Если «вес » взят , то арбитр на гире спортсмена рядом с номером уравнения пишет его вес. Если «вес не взят» ,т.е уравнение решено неверно, арбитр или консультант консультирует ученика. Спортсмен ,который «взял вес» и зафиксировал это у арбитра, выбирает себе новое уравнение. Таким образом все спортсмены в течение урока пытаются поднять как можно больше веса, чтобы получить оценку за урок в соответствии с нормативами. В конце урока каждый ученик считает общий поднятый вес ,соотносит этот вес с нормативами и сдаёт гирю арбитрам. Разрешается демонстрировать свои достижения у доски ,решая уравнения.

Решить уравнение ,предварительно,

Нормативы а) мастер спорта (свыше 50 кг) — 5 баллов

Б) кандидат в мастера спорта ( 0т 30 до 49кг) – 4 балла

В) первый юношеский разряд (от 11 до 29 кг) – 3 балла

Ребята отмечают результаты в индивидуальных листах

5-й этап Подведение итогов работы . Подсчёт баллов в листах учёта.

Анализ работы учителем. Спрашиваю учеников : Чему мы сегодня научились? Что в себе воспитали ?Что развивали? … Урок закончим словами:

1. Составить тест по уравнениям, используя Открытый банк заданий.

2.Написать сочинение на тему «Уравнения в моей жизни»

7-й этап. Рефлексия.+ Заполнение диагностического листа.

Урок закончим словами : «Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий.
А. Маркушевич.

Исследовательская карта ученика(цы) 9 кл ________________________________________

(х² -5х)( х² -5х +10 ) +24 =0

Найдите область определения выражения :

При каких значениях параметра а уравнение 4х² — 4ах +1 =0 не имеет корней.

Не решая уравнения 3х² +3х -1 =0 найдите

Найдите все значения параметра р ,при которых разность корней уравнения

х² +рх+12 =0 равна 1.

Найдите корень уравнения ,удовлетворяющий неравенству — (5 -2х) > — (6,5 -3 x )

Индивидуальный лист ученика(цы) 9б класса ____________________________________________________

правильно нашёл 1 ошибку — 3б,

ошибки -4б, 3 ошибки – 5 баллов

правильно решены все 5 заданий- 5 баллов ;4 задания – 4б; 3 задания – 3б.

3.Работа у доски

Правильное решение 5б

4.Работа с определениями.

Правильный ответ 1б

Если правильно ,без ошибок сделана классификация – 5б; 1,2 ошибки — 4б;

Если 3-4 ошибки-3б; Более 5 ошибок -2б.

Правильное решение 2б

7. «Силовое многоборье» — работа в группах

Каждое правильно выполненное задание 1 части – 3б ; второй части – 4б

Метод интервалов, решение неравенств

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

где x — переменная,

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

графический метод;
метод интервалов.

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
D 2 + bx + c.

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, 2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.

Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.

Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.

Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

Если неравенство со знаком 2 + 4x — 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).

Определим знак трехчлена x 2 + 4x — 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:

2 2 + 4 * 2 — 5 = 4 + 8 — 5 = 7.

7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.

Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:

0 2 + 4 * 0 — 5 = 0 + 0 — 5 = -5.

Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.

Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:

(-6) 2 + 4 * (-6) — 5 = 36 — 24 — 5 = 7.

Следовательно, искомый знак — плюс.

Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

если a 2 — 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 — 5x + 6 ≥ 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители.

Неравенство примет вид:

Проанализируем два сомножителя:

Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Построим чертеж.

Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.
Отобразим эти данные на чертеже:

2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
(25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0
Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.

Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.
Если (х — 3) * (х — 2) > 0:
Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

источники:
http://infourok.ru/urok-po-teme-reshenie-uravnenij-i-neravenstv-9-klass-4337935.html
http://skysmart.ru/articles/mathematic/metod-intervalov-reshenie-neravenstv