Мгту им баумана уравнения лагранжа

Теоретическая механика. Уравнения Лагранжа

В этой статье мы попробуем разобраться с такой темой, как «Уравнения Лагранжа». Вообще, уравнения Лагранжа довольно полезная штука, например, на их основе решаются задачи на малые колебания. В МГТУ им. Баумана в третьем семестре предлагается самостоятельное домашнее задание, в котором нужно записать уравнения Лагранжа для системы с двумя степенями свободы.

Итак, типовое задание выглядит так.

Прежде чем броситься решать эту задачу, посмотрим на задание и проанализируем его. Есть призма 3, которая движется поступательно по горизонтальной плоскости без трения. В призме сделан паз 2, по которому движется шарик 1. Если вы помните темы прошлого семестра, то легко увидите, что шарик совершает сложное движение — переносное поступательное вместе с призмой 3 и относительное поступательное по пазу 2. Далее есть стержень 4, который соединяет призму и каток 5. Очевидно, что скорость центра катка С равна скорость призмы. Каток движется без скольжения, это важный момент. Движение системы описывается двумя обобщенными координатами, которые любезно выбрал для нас составитель задания.

Итак, приступим к решению.

Поскольку обобщенных координат две (две степени свободы), система уравнений Лагранжа будет выглядеть так:

Расчет начинаем с записи уравнений связи — выражаем скорости всех ключевых точек и тел, имеющих массу, через обобщенные координаты. Из сказанного ранее понятно, что нам понадобится линейная скорость призмы 3, линейная скорость катка 5, угловая скорость катка 5 и скорость шарика 1. С поступательным движением все просто

С угловой скоростью катка тоже все понятно. Так как проскальзывание отсутствует

Самое трудное — выразить скорость шарика 1. Как мы уже говорили, он совершает сложное движение, значит, его скорость складывается из относительной и переносной. Переносная — это скорость поступательного движения призмы 3. Относительное — скольжение вдоль паза 2, которое описано координатой S. Значит

Векторно складываем эти две скорости

Второе выражение здесь — это теорема косинусов. Если нанести все векторы на рисунок, станет понятно, почему так.

Определившись со скоростями, записываем выражение для кинетической энергии системы Т. Полная кинетическая энергия складывается из кинетических энергий всех тел, обладающих массой. То есть в нашем случае, тел 1, 3, 5.

Шарик 1 обладает энергией

Призма 3 движется поступательно

Каток 5 совершает плоское движение, так что его кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательного движений

Полная кинетическая энергия системы

Для записи уравнений Лагранжа это выражение нужно несколько раз продифференцировать.

Сначала по координате x. Частные производные

Производную по x с точкой дифференцируем по времени

Теперь то же самое по координате S. Частные производные

Производная по времени

Левая часть уравнений Лагранжа готова. Займемся правой частью. Для нее нужно посчитать обобщенные силы по каждой координате. Есть несколько способов это сделать, мы предпочитаем делать это через элементарную работу на малом приращении координаты. В общем случае формула выглядит так

На практике это применяется следующим образом. Сначала нанесем на рисунок все действующие силы. В нашем случае это сила упругости пружины и силы тяжести.

Сначала считаем обобщенную силу по координате x. Для этого мысленно «замораживаем» координату S, и позволяем системе свободно двигаться по координате x. То есть шарик «приклеивается» к пазу 2, и внутри него никуда не движется. Все перемещение происходит по координате x. Очевидно, что сила упругости работу не совершает, так как ее длина не меняется. Очевидно, что силы тяжести работу не совершают, так как движение происходит горизонтально. Официальным языком это записывается так

Теперь обобщенная сила по координате S. Мысленно «замораживаем» координату x. Получается, что призма 3 вместе с пазом 2 и катком 5 стоит на месте, а внутри неподвижного паза движется шарик. Сила упругости совершает работу, также как и сила тяжести шарика 1. Пружина была растянута на величину статической деформации δ и дополнительно растянута на S в произвольный момент времени, то есть сила упругости равна с·(δ+S). Работа силы упругости отрицательна, так как пружина растягивается. Работа силы тяжести шарика 1 положительна, так как шарик движется вниз. Силы тяжести призмы 3 и катка 5 работу не совершают, так как эти тела покоятся. Получаем

Собственно, все. Собираем все посчитанные величины в уравнения Лагранжа и получаем систему дифференциальных уравнений, описывающих движение системы.

Для проверки можно посмотреть размерности, в обеих частях выражения размерности должны совпадать (обычно это ньютоны).

Конечно, разные задачи немного отличаются в ходе решения, но алгоритм всех задач примерно такой.

1) Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты

2) Записать уравнения связей

3) Записать выражение для кинетической энергии

4) Взять необходимые производные

5) Записать обобщенные силы по каждой координате

6) Записать уравнения Лагранжа

Если что-то не получается, не отчаивайтесь, мы всегда рады помочь.

Мгту им баумана уравнения лагранжа

На кафедре ТМ с 1969 по 1985 г .г. было выпущено четыре издания сборников курсовых заданий по теме «Уравнения Лагранжа 2-го рода».

Первые выпуски изданы в 1969 и 1972 г .г. под редакцией Брызгалова И. М. Это была одна из тем в сборнике курсовых заданий по теоретической механике.

Задание по вышеупомянутой теме содержало 29 вариантов, в кинематические схемы которых входили планетарные редукторы, системы твердых тел, часть из которых связана между собой невесомыми нерастяжимыми нитями. В некоторых вариантах два тела в схеме связаны линейной пружиной. Положение самой механической системы, содержащей в основном не более трех тел, описывалось с помощью двух обобщенных координат, причем одно из тел находилось в сложном движении. Все тела совершали плоское движение, за исключением одного варианта со схемой дифференциального редуктора, шестерня-сателлит в котором находилась в сферическом движении.

Если в схеме присутствовал каток, то он двигался без скольжения. Нити, охватывающие блоки и катки, не проскальзывают по ним.

В каждом из вариантов необходимо было определить ускорения опреде­ленных точек, угловые ускорения тел в зависимости от требований задачи с помощью дифференциальных уравнений, полученных с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода, а также вычислить тангенциальные силы взаимодействия в зацеплении или силы натяжения нитей с помощью динамических уравнений плоского движения твердого тела.

После почти десяти лет использования этого задания ввиду разной сложности вариантов оно было заменено в 1981 г . на новое под редакцией В.В. Дубинина [1].

По сравнению с предыдущим курсовым заданием сокращено число схем с планетарными редукторами, все тела находятся в плоском движении, в большинстве вариантов присутствуют упругие линейные или спиральные пружины, а также на звенья действуют силы, величина которых изменяется со временем по закону cos(wt).

Необходимо было с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода составить дифференциальные уравнения движения системы. Далее для начального мо­мента времени, в котором система покоилась, определить ускорения точек или угловые ускорения звеньев в зависимости от требований задачи, а также силы взаимодействия между телами или силу натяжения троса с помощью принципа Даламбера или общего уравнения динамики.

Данное курсовое задание в 1985 г . было обновлено [2]. В данное задание добавлены схемы, в которых катки проскальзывают при движении. В нескольких вариантах курсового задания кинематические схемы заменены на схемы двухстепенных роботов и манипуляторов, звенья которых совершают плоское движение.

Для методического обеспечения данного задания в 1988 г . было издано методическое пособие по выполнению данного курсового задания под редакцией Дронга В. И. [3], в котором был решен ряд задач, элементы схем, в которых соответствовали вариантам курсовых заданий.

В 2002 г . вышло обновленное задание [4] по теме «Аналитическая механика». Очень полезна работа [5], в которой рассмотрены основные понятия аналитической механики, даны примеры решения задач.

Теоретическая механика. Динамика

от 15 до 16 недель

от 7 до 8 часов в неделю

понадобится для освоения

4 зачётных единицы

для зачета в своем вузе

Пользователи курса смогут овладеть вторым разделом курса Теоретическая механика. В курсе наглядно, в сочетании с математической строгостью, рассматривается движение материальной точки и твердого тела и механической системы на основе базовых понятий и теорем механики. Традиционный теоретический материал сопровождается разбором практико-ориентированных задач с составлением 2D- и 3D расчетных схем. Курс выгодно отличается от традиционных курсов по Теоретической механике наличием анимации, которая позволяет наглядно понять общие законы взаимодействия и движения материальных объектов.

О курсе

Данный курс ориентирован на реализацию образовательных программ по направлениям подготовки из области образования «Инженерное дело, технологии и технические науки». Курс содержит систематизированное изложение основных понятий и принципов механики, описание методов математического моделирования инженерных конструкций и типовых машин и механизмов. Содержание курса ориентировано на подготовку к восприятию последующих дисциплин, формирующих направленность образовательной программы.

Формат

Курс рассчитан на 16 недель. Недельная нагрузка обучающегося по курсу — 8 академических часов.

Еженедельные занятия будут включать:

· просмотр тематических видео-лекций с анимацией;

· просмотр тематических видео-семинаров с решением типовых задач;

· самостоятельное изучение примеров;

· выполнение многовариантных теоретических тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов;

· выполнение многовариантных заданий по решению практических задач с автоматизированной проверкой результатов

Предусмотрено промежуточное контрольное тестирование по каждому разделу курса.

Информационные ресурсы

1. Курс теоретической механики / Под ред. К.С.Колесникова. – М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005, 2007, 2011, 2017 — 736 с.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 2003, 2005 и более поздние издания. – 719 с.

3. Сборник задач по теоретической механике / Под ред. К.С.Колесникова – М.: Наука, 2007, 2008 и более поздние издания. – 448 с.

4. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2010 – 448 с.

5. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики.– СПб.: Лань, 2009.

6. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Учебник. – М.: Высшая школа, 2008. — 415 с.

7. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. – М.: Наука, тт. 1-3, 1966 г. и след.

8. Саратов Ю.С., Баранов В.Н., Нарская Н.Л. Динамика материальной точки. Методические указания к курсовой работе по теоретической механике. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

9. Общие теоремы динамики. Метод. указания по выполнению курсовой работы. / В.В. Дубинин, Н.Н. Никитин, О.П. Феоктистова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1989.

10. Витушкин В.В., Максимов Г.М., Русанов П.Г. Избранные принципы аналитической механики. Уравнения Лагранжа 2-го рода: Метод. указания к выполнению курсовой работы по теоретической механике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

11. Витушкин В.В., Максимов Г.М. Избранные принципы аналитической механики. Уравнения Лагранжа 2-го рода: Метод. указания к выполнению курсовой работы по теоретической механике. / Под ред. В.В. Дубинина. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012.

12. Лямин В.И., Темнов А.Н. Аналитическая механика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1990.

Требования

Изучение курса предполагает предварительное освоение следующих дисциплин:

• Математический анализ;
• Линейная алгебра и аналитическая геометрия;
• Интегралы и дифференциальные уравнения;
• Кратные интегралы и ряды;
• Начертательная геометрия;
• Физика — раздел «Механика» в объёме среднего общего образования.

Программа курса

Неделя 1.

Динамика материальной точки.

Основные положения динамики. Аксиомы динамики Ньютона. Инерциальная система отсчета. Дифференциальные уравнения динамики точки в векторной форме и в проекциях на декартовы и естественные оси координат. Две основные задачи динамики точки. Интегралы уравнений движения точки. Случай несвободного движения материальной точки.

Неделя 1. Решение задач

Неделя 2.

Дифференциальные уравнения движения точки в неинерциальной системе отсчета, динамическая теорема Кориолиса. Принцип относительности Галилея-Ньютона. Равновесие и движение точки относительно поверхности Земли.

Неделя 2. Решение задач

Тестирование по результатам недель 1-2

Неделя 3.

Механическая система. Классификация сил, действующих на механическую систему: силы внешние и внутренние. Равенство нулю главного вектора и главного момента внутренних сил. Масса системы. Центр масс системы и его координаты. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс системы. Закон сохранения движения центра масс. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Количество движения материальной точки и механической системы. Элементарный импульс и импульс силы за конечный промежуток времени, проекции на координатные оси. Теорема об изменении количества движения в дифференциальной и конечной формах. Закон сохранения количества движения системы.

Неделя 3. Решение задач

Неделя 4.

Моменты инерции системы и твердого тела относительно оси и полюса. Радиус инерции. Теорема Штейнера, вычисление моментов инерции тел простейшей формы. Момент количества движения точки относительно центра и оси. Главный момент количеств движения (кинетический момент) механической системы относительно центра и оси. Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента системы. Закон сохранения кинетического момента. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Движение точки под действием центральной силы. Понятие о секторной скорости. Теорема площадей.

Неделя 4. Решение задач

Неделя 5.

Кёнигова система отсчета. Формула для кинетического момента системы материальных точек при сложном движении. Теорема об изменении кинетического момента системы материальных точек в относительном движении по отношению к центру масс. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

Неделя 5. Решение задач

Неделя 6.

Элементарная и полная работа силы. Мощность. Работа равнодействующей силы. Работа внутренних сил системы, работа сил, приложенных к твердому телу, при его различных движениях.

Неделя 6. Решение задач

Неделя 7.

Кинетическая энергия точки и системы точек. Вычисление кинетической энергии при сложном движении (теорема Кенига). Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях его движений. Теорема об изменении кинетической энергии для точки и системы материальных точек.

Неделя 7. Решение задач

Неделя 8.

Потенциальное силовое поле. Элементарная и полная работа силы в потенциальном силовом поле. Силовая функция и потенциальная энергия поля. Условия существования силовой функции. Поверхности уровня и их свойства. Примеры вычисления силовых функций: однородного поля силы тяжести, линейной силы упругости, поля притяжения по закону Ньютона. Закон сохранения полной механической энергии системы.

Тестирование по результатам недель 3-8

Неделя 9.

Принцип Даламбера для материальной точки, сила инерции. Принцип Даламбера для механической системы. Главный вектор и главный момент сил инерции. Приведение сил инерции твердого тела к центру в общем и частных случаях движения твердого тела. Определение с помощью принципа Даламбера динамических реакций при несвободном движении точки и механической системы — метод кинетостатики.

Неделя 9. Решение задач

Неделя 10.

Связи и их классификация. Возможные перемещения точки и механической системы. Обобщенные координаты. Вариации обобщенных координат. Число степеней свободы голономной системы. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа).

Неделя 10. Решение задач

Неделя 11.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа). Пример. Обобщенные силы. Различные способы вычисления обобщенных сил. Обобщенные силы в случае потенциального силового поля. Условия равновесия в обобщенных силах. Равновесие системы в потенциальном поле. Общее уравнение динамики в обобщенных силах.

Неделя 11. Решение задач

Неделя 12.

Уравнения Лагранжа 2 рода. Вывод и методика применения.

Неделя 12. Решение задач

Неделя 13.

Геометрия масс. Момент инерции тела относительно оси, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Формула для вычисления момента инерции относительно оси любого направления. Центробежные моменты инерции. Тензор инерции. Эллипсоид инерции. Главные центральные оси инерции и их свойства.

Неделя 13. Решение задач

Тестирование по результатам недель 9-13

Неделя 14.

Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной точки, его проекции на оси координат. Кинетическая энергия твердого тела с одной неподвижной точкой. Вывод динамических уравнений Эйлера. Обзор случаев интегрируемости уравнений движения с одной закрепленной точкой (случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской).

Неделя 15.

Элементы приближенной теории гироскопа. Основные понятия и допущения. Теорема Резаля. Особенности движения оси гироскопа. Закон прецессии. Гироскопический момент. Определение гироскопических реакций, правило Жуковского. Примеры применения гироскопов в технике.

Неделя 15. Решение задач

Неделя 16. Итоговое тестирование

Результаты обучения

Формируемые компетенции

Направления подготовки

Знания

В результате освоения курса «Теоретическая механика. Динамика» студент будет знать:

• системно-структурированные теоретические основы естественнонаучного базиса и опыт методических подходов к решению задач механики
• постановки классических и современных задач механики
• методологию построения математических моделей и методов применительно к задачам механики
• методы проведения экспериментов и наблюдений в механике, обобщения и обработки информации

Умения

В результате освоения курса «Теоретическая механика. Динамика» студент будет уметь:

• использовать накопленные знания и опыт в области естественно-математических наук при решения задач механики
• проводить анализ задач механики и выбор необходимых методов математического и алгоритмического моделирования для ее решения
• использовать методы физического моделирования для получения необходимых данных
• формировать математические модели процессов, протекающих в механических системах
• математически корректно ставить задачи механики

Навыки

В результате освоения курса «Теоретическая механика. Динамика» студент будет владеть:

• навыками применения фундаментальных знаний в области математических и естественных наук для решения актуальных задач механики в рамках своей профессиональной деятельности
• способами математического моделирования и алгоритмического применения математического аппарата при решении актуальных задач механики
• методикой математического описания объектов исследования и связей между ними