Минимум и максимум системы уравнений

Экстремумы функции двух переменных

Экстремум функции двух переменных: определения, необходимые и достаточные условия, локальный характер

Понятие экстремумов функции двух переменных вводится подобно тому, как это было сделано для функции одной переменной.

Определение. Точками экстремума функции двух переменных называются точки минимума и максимума этой функции. Значения самой функции в точках экстремума называются экстремумами функции двух переменных.

Определение. Точка P(x 0 , y 0 ) называется точкой максимума функции двух переменных z = z(x, y) , если значение функции в этой точке больше, чем в точках её окрестности. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции двух переменных.

Определение. Точка P(x 0 , y 0 ) называется точкой максимума функции двух переменных z = z(x, y) , если значение функции в этой точке больше, чем в точках её окрестности. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции двух переменных.

Теорема (необходимый признак экстремума функции двух переменных). Если точка P(x 0 , y 0 ) — точка экстремума функции двух переменных z = z(x, y) , то первые частные производные функции (по «иксу» и по «игреку») в этой точке равны нулю или не существуют:

Определение. Точки, в которой первые частные производные функции двух переменных равны нулю, называются стационарными точками.

Определение. Точки, в которой первые частные производные функции двух переменных равны нулю или не существуют, называются критическими точками.

Как и в случае с функцией одной переменной, необходимое условие существования экстремума функции двух переменных не является достаточным. Встречаются немало функций, в случаях которых первая частная производная функции равна нулю или не существует, но экстремумов в соответствующих точках нет. Каждая точка экстремума является критической точкой, но не каждая критическая точка является экстремумом.

Достаточный признак существования экстремума функции двух переменных. В точке P существует экстремум функции двух переменных, если в окрестности этой точки полное приращение функции не меняет знак. Так как в критической точке первый полный дифференциал равен нулю, то приращение функции определяет второй полный дифференциал

Наилучшее понимание применения полного дифференциала придёт при изучении и практическом применении шагов 3 и 4 алгоритма нахождения экстремумов функции двух переменных, который следует вторым пунктом этого урока.

Локальный характер экстремумов функции двух переменных. Максимум функции двух переменных на каком-либо участке области определения функции не обязательно является максимумом во всей области определения, так же как и минимум на каком-либо участке не является минимумом во всей области определения. Пусть мы рассматриваем высоту волн на участке прибрежной области моря (участок меньше области). Тогда на этом участке мы можем зафиксировать (по-крайней мере, зрительно) наибольшую высоту волны. Но на другом участке, на котором ветер вызывает бОльшую высоту волн, мы фиксируем минимальную высоту волны. Это к тому, что максимум высоты волны на первом участке может оказаться меньше, чем минимум высоты волны на втором участке. Поэтому, как и в случае экстремума функции одной переменной, необходимо уточнить это понятие и говорить об экстремумах как о локальных экстремумах функции двух переменных.

Алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных и примеры решений

Наибольший интерес представляет алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных, так как он, во-первых, отличается от алгоритма нахождения экстремумов функции одной переменных, а во-вторых, по аналогии с ним можно составить алгоритм нахождения функции трёх переменных. В частности, потребуется вычислять определители.

Итак, алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных.

Дана функция двух переменных .

Шаг 1. Находим частные производные и .

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю (их равенство нулю и есть необходимый признак существования экстремума):

Решения этой системы уравнений являются точками возможного экстремума — критическими точками.

Шаг 3. Пусть является критической точкой, найденной на шаге 2. Чтобы убедиться, что в ней существует экстремум функции двух переменных, находим частные производные второго порядка

как частные производные от частных производных первого порядка, найденных на шаге 1.

Шаг 4. Присваиваем частным производным второго порядка, найденным на шаге 3, буквенные обозначения:

Находим определитель и проверяем достаточный признак существования экстремума.

Если , то экстремума в найденной критической точке нет,

если , то экстремум в найденной критической точке есть,

если , то требуются дополнительные исследования.

Если экстремум в найденной точке есть и если , то в этой точке существует минимум функции двух переменных, если , то максимум.

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значение экстремума функции двух переменных (минимума или максимума).

Примеры начнём с более сложного, в котором составленная система уравнений имеет несколько решений, а, значит, найдено несколько критических точек.

Пример 1. Найти экстремумы функции двух переменных .

Решение. Следуем изложенному выше алгоритму.

Шаг 1. Находим частные производные:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю:

Делим первое уравнение системы на 3, а второе на 6 и получаем

Из второго уравнения выражаем , подставляем в первое уравнение и получаем

Умножаем это уравнение на и получаем

Производим замену переменной: и получаем

Решаем полученное квадратное уравнение: .

Так как и , то

Таким образом, получили четыре критических точки — точки возможного экстремума.

Шаг 4. Находим определитель :

, т. е. экстремума в найденной критической точке нет,

и , т. е. в найденной критической точке есть минимум функции двух переменных,

и , т. е. в найденной критической точке есть максимум функции двух переменных.

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значения экстремума функции двух переменных:

В следующем примере — только одна критическая точка.

Пример 2. Найти экстремумы функции двух переменных .

Шаг 1. Находим частные производные:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю:

Решаем систему уравнений:

Таким образом, получили критическую точку — точку возможного экстремума.

Шаг 3. Находим частные производные второго порядка

Шаг 4. Находим определитель , т. е. в найденной критической точке есть экстремум, причём так как , то это минимум.

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значение экстремума функции двух переменных:

Найти экстремумы функции двух переменных самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Найти экстремумы функции двух переменных

Пример 4. Найти экстремумы функции двух переменных

Экстремум функции двух переменных. Примеры исследования функций на экстремум.

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Говорят, что $(x_0,y_0)$ – точка (локального) максимума, если для всех точек $(x,y)$ некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ выполнено неравенство $f(x,y) f(x_0,y_0)$, то точку $(x_0,y_0)$ называют точкой (локального) минимума.

Точки максимума и минимума часто называют общим термином – точки экстремума.

Если $(x_0,y_0)$ – точка максимума, то значение функции $f(x_0,y_0)$ в этой точке называют максимумом функции $z=f(x,y)$. Соответственно, значение функции в точке минимума именуют минимумом функции $z=f(x,y)$. Минимумы и максимумы функции объединяют общим термином – экстремумы функции.

Алгоритм исследования функции $z=f(x,y)$ на экстремум

Найти частные производные $\frac<\partial z><\partial x>$ и $\frac<\partial z><\partial y>$. Составить и решить систему уравнений $ \left \ < \begin& \frac<\partial z><\partial x>=0;\\ & \frac<\partial z><\partial y>=0. \end \right.$. Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными.
Найти $\frac<\partial^2z><\partial x^2>$, $\frac<\partial^2z><\partial x\partial y>$, $\frac<\partial^2z><\partial y^2>$ и вычислить значение $\Delta=\frac<\partial^2z><\partial x^2>\cdot \frac<\partial^2z><\partial y^2>-\left(\frac<\partial^2z><\partial x\partial y>\right)^2$ в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:
1. Если $\Delta > 0$ и $\frac<\partial^2z><\partial x^2>> 0$ (или $\frac<\partial^2z><\partial y^2>> 0$), то в исследуемая точка есть точкой минимума.
2. Если $\Delta > 0$ и $\frac<\partial^2z><\partial x^2>0$, то $\frac<\partial^2z><\partial x^2>\cdot \frac<\partial^2z><\partial y^2>-\left(\frac<\partial^2z><\partial x\partial y>\right)^2 > 0$. А отсюда следует, что $\frac<\partial^2z><\partial x^2>\cdot \frac<\partial^2z><\partial y^2>> \left(\frac<\partial^2z><\partial x\partial y>\right)^2 ≥ 0$. Т.е. $\frac<\partial^2z><\partial x^2>\cdot \frac<\partial^2z><\partial y^2>> 0$. Если произведение неких величин больше нуля, то эти величины одного знака. Т.е., например, если $\frac<\partial^2z><\partial x^2>> 0$, то и $\frac<\partial^2z><\partial y^2>> 0$. Короче говоря, если $\Delta > 0$ то знаки $\frac<\partial^2z><\partial x^2>$ и $\frac<\partial^2z><\partial y^2>$ совпадают.
Исследовать на экстремум функцию $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$.
Будем следовать указанному выше алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:
Сократим каждое уравнение этой системы на $2$ и перенесём числа в правые части уравнений:
Мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Мне в этой ситуации кажется наиболее удобным применение метода Крамера для решения полученной системы.
Значения $x=2$, $y=-3$ – это координаты стационарной точки $(2;-3)$. Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:
Вычислим значение $\Delta$:
Так как $\Delta > 0$ и $\frac<\partial^2 z> <\partial x^2>> 0$, то согласно алгоритму точка $(2;-3)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $(2;-3)$:
$$ z_<\min>=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\cdot (-3)+7=-90. $$
Ответ: $(2;-3)$ – точка минимума; $z_<\min>=-90$.
Исследовать на экстремум функцию $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$.
Будем следовать указанному выше алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:
Сократим первое уравнение на 3, а второе – на 6.
Если $x=0$, то второе уравнение приведёт нас к противоречию: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Отсюда вывод: $x\neq 0$. Тогда из второго уравнения имеем: $xy=2$, $y=\frac<2>$. Подставляя $y=\frac<2>$ в первое уравнение, будем иметь:
Получили биквадратное уравнение. Делаем замену $t=x^2$ (при этом имеем в виду, что $t > 0$):
Если $t=1$, то $x^2=1$. Отсюда имеем два значения $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Если $t=4$, то $x^2=4$, т.е. $x_3=2$, $x_4=-2$. Вспоминая, что $y=\frac<2>$, получим:
Итак, у нас есть четыре стационарные точки: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. На этом первый шаг алгоритма закончен.
Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:
Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(1;2)$. В этой точке имеем:
Так как $\Delta(M_1) 0$ и $\left.\frac<\partial^2 z><\partial x^2>\right|_ > 0$, то согласно алгоритму $M_3(2;1)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:
$$ z_<\min>=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$
Осталось исследовать точку $M_4(-2;-1)$. В этой точке получим:
Так как $\Delta(M_4) > 0$ и $\left.\frac<\partial^2 z><\partial x^2>\right|_ 0$ (так как оба сомножителя $36$ и $(2^2-1^2)$ положительны) и можно не находить конкретное значение $\Delta$. Правда, для типовых расчётов это замечание бесполезно, – там требуют довести вычисления до числа 🙂
Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$.
Будем следовать алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:
Сократим оба уравнения на $4$:
Добавим к второму уравнению первое и выразим $y$ через $x$:
Подставляя $y=-x$ в первое уравнение системы, будем иметь:
Из полученного уравнения имеем: $x=0$ или $x^2-2=0$. Из уравнения $x^2-2=0$ следует, что $x=-\sqrt<2>$ или $x=\sqrt<2>$. Итак, найдены три значения $x$, а именно: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt<2>$, $x_3=\sqrt<2>$. Так как $y=-x$, то $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt<2>$, $y_3=-x_3=-\sqrt<2>$.
Первый шаг решения окончен. Мы получили три стационарные точки: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt<2>,\sqrt<2>)$, $M_3(\sqrt<2>,-\sqrt<2>)$.
Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:
Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(0;0)$. В этой точке имеем:
$$\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0.$$
Так как $\Delta(M_1) = 0$, то согласно алгоритму требуется дополнительное исследование, ибо ничего определённого про наличие экстремума в рассматриваемой точке сказать нельзя. Оставим покамест эту точку в покое и перейдём в иным точкам.
Исследуем точку $M_2(-\sqrt<2>,\sqrt<2>)$. В этой точке получим:
Так как $\Delta(M_2) > 0$ и $\left.\frac<\partial^2 z><\partial x^2>\right|_ > 0$, то согласно алгоритму $M_2(-\sqrt<2>,\sqrt<2>)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_2$:
Аналогично предыдущему пункту исследуем точку $M_3(\sqrt<2>,-\sqrt<2>)$. В этой точке получим:
Так как $\Delta(M_3) > 0$ и $\left.\frac<\partial^2 z><\partial x^2>\right|_ > 0$, то согласно алгоритму $M_3(\sqrt<2>,-\sqrt<2>)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:
Настал черёд вернуться к точке $M_1(0;0)$, в которой $\Delta(M_1) = 0$. Согласно алгоритму требуется дополнительное исследование. Под этой уклончивой фразой подразумевается «делайте, что хотите» :). Общего способа разрешения таких ситуаций нет, – и это понятно. Если бы такой способ был, то он давно бы вошёл во все учебники. А покамест приходится искать особый подход к каждой точке, в которой $\Delta = 0$. Ну что же, поисследуем поведение функции в окрестности точки $M_1(0;0)$. Сразу отметим, что $z(M_1)=z(0;0)=3$. Предположим, что $M_1(0;0)$ – точка минимума. Тогда для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) > z(M_1) $, т.е. $z(M) > 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) 3$? Тогда в точке $M_1$ точно не будет максимума.
Рассмотрим точки, у которых $y=x$, т.е. точки вида $(x,x)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:
$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$
Так как в любой окрестности точки $M_1(0;0)$ имеем $2x^4 > 0$, то $2x^4+3 > 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z > 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой максимума.
Точка $M_1(0;0)$ не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Вывод: $M_1$ вообще не является точкой экстремума.
Ответ: $(-\sqrt<2>,\sqrt<2>)$, $(\sqrt<2>,-\sqrt<2>)$ – точки минимума функции $z$. В обеих точках $z_<\min>=-5$.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
5.8. Экстремум функции многих переменных
Рассмотрим вопрос анализа «в статике» с использованием положений линейной алгебры и дифференциального исчисления, а также условий, которые позволяют идентифицировать точки оптимума. Такие условия используются для проверки выбранных точек и дают возможность выяснить, являются ли точки точками минимума, максимума или седловыми точками.
Определение. Экстремумом функции двух переменных называется её максимальное или минимальное значение на заданном множестве изменения переменных.
Экстремумы и методы их нахождения имеют широкое применение в экономических исследованиях, при выборе наилучших вариантов инвестиций, производственных программ, вложения денег в покупки и т. п.
Определение. Значение функции F(M) в точке М0 называется Максимумом (минимумом), если оно является набольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках:
.
Пример 53. На рис. 37 представлен график функции двух переменных, точка М0(5, 8), в которой достигается максимум функции, окрестность точки М0(5, 8), максимальное значение функции F(X, Y), равное F(5, 8); на рис. 38 – график функции точка М0(4, 9), в которой достигается минимум функции, окрестность точки М0(4, 9), минимальное значение функции F(4, 9).
Из определения экстремума функции видно, что понятие экстремума является локальным. Другими словами, можно сказать, что приведенное определение экстремума является определением локального экстремума, функция может иметь несколько локальных максимумов или минимумов. Ясно, что при нахождении лучшего решения следует ориентироваться на наибольший из локальных максимумов, если ищется наибольшее значение функции, и на наименьший из локальных минимумов, если ищется наименьшее значение функции.
Определение. Наибольшая величина из локальных максимумов называется Глобальным максимумом, наименьший из локальных минимумов – Глобальным минимумом.
Задача нахождения локальных экстремумов, а тем более глобальных, для функции нескольких переменных является достаточно трудной, в общем случае для произвольного числа переменных практически неразрешимой. Для выпуклых функций разработаны специальные методы нахождения экстремумов.
Замечание. Любой локальный экстремум выпуклой функции является глобальным.
Определение. Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Такие точки называются Критическими.
Замечание. Это необходимые условия экстремума, но недостаточные, они могут выполняться и в точках, где нет экстремума.
Это определение дает схему нахождения экстремальных точек. Составляется система уравнений относительно переменных Х и У:
Решение системы представляет собой пары (х0, у0), (х1, у1) и т. д., которые называются точками «подозрительными» на экстремум, т. е., если функция имеет экстремумы, то они могут достигаться только в этих точках. Для определения, достигается ли в каждой из найденных точек максимальное (минимальное) значение или в рассматриваемой точке нет экстремума, требуется проведение дополнительных исследований.
Найдя частные производные и приравняв их к нулю, получаем систему уравнений:
Решение этой системы очевидно: Х = 0, у = 1. Поскольку Z  0 при всех Х, у, то ясно, что найденная точка (0, 1) есть точка минимума.
Решение. Найдем частные производные и приравняем их к нулю:
Точка (0, 0) является «подозрительной». Однако экстремума функция в этой точке не имеет, так как в любой окрестности этой точки она принимает значения разных знаков, а в самой точке (0, 0) значение функции равно нулю.
Рассмотрим Достаточные условия экстремума для функции двух переменных.
Пусть функция z = f(x, y) непрерывна со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой окрестности точки М(х0, у0). Пусть в этой точке выполнены необходимые условия экстремума:
В этой точке пусть вычислены частные производные второго порядка.
Тогда Достаточные условия максимума и минимума имеют вид:
2) если D 0, при этом А = 6 > 0 и, следовательно, в точке М1 – минимум.
Пример 57. Исследовать на экстремум функцию
Решение. Ищем критические точки:
Находим М0(1, 0) и М1(-1, 0). Эти точки принадлежат области определения исследуемой функции: - 1, то> 0. Здесь оказалось, что вблизи точки М разность Не сохраняет знака, вследствие чего в точке М нет экстремума.
Замечание. Для функций с числом переменных больше двух достаточные условия экстремума имеют сложный вид и требуют глубоких знаний по математическому анализу
Пример 59. Исследовать на экстремум функцию
Решение. Ищем критические точки:
Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких значениях X, Y, Z; они не существуют (обращаются в бесконечность) в точке М(0, 0, 0). Эта точка лежит внутри области определения функции W, которая представляет совокупность всех точек (X, Y, Z) пространства. Поэтому М(0, 0, 0) критическая точка.
Исследуя знак разности Вблизи точки М, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях Х, Y, Z она сохраняет положительный знак. Поэтому М есть точка минимума,
1. Дайте определение функции многих переменных.
2. Приведите примеры функций многих переменных, используемых в экономике.
3. Что называется графиком функции двух переменных? Приведите примеры.
4. Сформулируйте определение множества (линии) уровня функции двух переменных. Может ли множество уровня функции двух переменных не быть линией?
5. Опишите взаимосвязь между градиентом функции двух переменных и ее линией уровня.
6. Перечислите основные свойства градиента функции.
7. Дайте определение возрастающей (убывающей) функции многих переменных.
8. В каком случае функция является вогнутой?
9. Всегда ли локальный экстремум выпуклой функции является глобальным?
10. Дайте определение экстремума функции двух переменных.
11. Сформулируйте достаточные условия максимума и минимума функции двух переменных.

источники:
http://math1.ru/education/funct_sev_var/extr2.html
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/metody-optimizatcii-nekrasova-m-g/5-8-ekstremum-funktcii-mnogikh-peremennykh