Множество точек координатной плоскости удовлетворяющих уравнению

Уравнения на плоскости

Найдите множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:
1. х 2 + у 2 + 4х — 6у — 3 = 0;
2. х 3 у — 27у 4 = 0;
3. x — 2|y| = 0;
4. |х|+|y| = 2;
5. х 2 + y2 = 4|x|.
Решение:

1) Применяя метод выделения полного квадрата, получаем х 2 +у 2 +4х-6у-3=(х+ 2) 2 +(у-3) 2 -16=0 или (х+2) 2 +(у-3) 2 =42.

Это уравнение окружности радиуса 4 с центром в точке (-2: 3).
2) Так как

выполняется только при х = у = 0, то множество решений исходного уравнения — совокупность прямых y=0 и х- 3y=0.

3) Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Искомое множество решений — совокупность точек двух лучей:

4) Множество решений уравнения -граница квадрата с вершинами А(2; 0), 5(0; 2), С(-2; 0), D(0; -2):

Действительно, если х≥0, у≥0, то уравнение имеет вид х + у = 2, а множество его решений — координаты точек отрезка АВ.

Так как |-х| = |х|, |-y| = |y|, то множество решений исходного уравнения является симметричным относительно обеих координатных осей.

5) Уравнение равносильно совокупности

х 2 — 4х + 4 + у 2 = 4

х 2 + 4х + 4 + у 2 = 4.

Первое из этих уравнений, записанное в виде (х — 2) 2 + у 2 = 4, является уравнением окружности Сх радиуса 2 с центром в точке (2; 0).

Аналогично, второе уравнение, записанное в виде (х + 2) 2 + у 2 = 4 , является уравнением окружности С₂ радиуса 2 с центром в точке (-2; 0).

Множество решений исходного уравнения — совокупность точек окружностей С₁ и С₂.

Как решать задачи про координатную плоскость смотрите на других страницах сайта.

Множество точек. Изображение некоторых множеств точек на плоскости.

Представим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию х = 5 и х = -4,

В первом случае прямые параллельны оси ординат, во втором – абсцисс.

На прямой может быть расположено неограниченное количество точек. И у всего этого множества точек, координаты удовлетворяют условиям х = 5 и х = -4; у = -4 и у = 1.

На координатной прямой неравенству х 3. Проанализируем, что это за точки:

— множество точек, абсцисса которых больше или равна 3

— точки, лежащие правее прямой х = 3 и на прямой.

Алгоритм построения будет иметь вид:

— строим в координатной плоскости прямую: х = 3;

— определяем, где будут находиться точки, абсцисса которых больше 3; ответ – правее;

— множество всех точек удовлетворяющих условию х > 3 покажем при помощи штриховки;

х > 3 задает полуплоскость, находящаяся правее прямой х = 3 и все точки этой прямой. Прямую изображаем одной цельной линией, этим указываем, что все точки расположенные на прямой так же включены во множество.

Представим множество точек, удовлетворяющих условию у 1.

Постройте множество точек у > 1. По аналогии, точкам этого множества присуще свойство — у них ордината больше 1.

Следовательно, они будут находиться выше прямой у = 1. В соответствии со знаком неравенства точки прямой у = 1 не удовлетворяют условию y > 1. Графически мы это покажем, изобразив прямую у = 1 пунктиром.

Представим множество точек, соответствующих условию у > 1 так:

Представим на координатной плоскости множества точек, соответствующих условию: -2 ≤ х ≤ 2.

Множество точек координатной плоскости удовлетворяющих уравнению

Пример 15. Построим множество точек ( x , y ) (x, y) , удовлетворяющих уравнению x 2 + x y = 0 x^2 + xy = 0 .

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 = 0 x^2 + 4x + 4 + 4y^2 = 0 .

Аналогично рассматривается следующий пример, в котором также существенно выделение полного квадрата.

т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка ( 0,5 ; – 0,5 ) (0,5; – 0,5) (см. рис. 39).

Множеством точек может быть область на плоскости. Рассмотрим пример.

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

Покажем ещё пример построения множеств точек, удовлетворяющим уравнениям с модулями.

Построим множество точек, удовлетворяющих | y | = | x | |y| = |x| .