Решение неравенств с комплексными переменными
Рассмотрим задачи на нахождение областей в комплексной плоскости, заданных неравенствами. Чтобы решить данные неравенства с комплексными числами, вначале необходимо перейти к декартовым координатам, т.е. перейти к действительному представлению.
Чтобы представить комплексное число в действительной форме, нужно заменить комплексную переменную z действительными переменными x и y, а именно z = x + iy, где
x = Re(z), y = Im(z).
Пример 1. Найти на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству
Комплексные числа
Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных корней. В частности, уравнение
$$
z^2+1=0\nonumber
$$
не имеет корней на множестве \(\mathbb
Определение комплексного числа.
Комплексными числами называют пары \((x,y)\) вещественных (действительных) чисел \(x\) и \(y\), для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число \((x,y)\) буквой \(z\), то есть положим \(z=(x,y)\). Пусть \(z_1=(x_1,y_1)\), \(z_2=(x_2,y_2)\). Два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\) считаются равными тогда и только тогда, когда \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\), то есть
$$
\<(x_1,y_1) = (x_2,y_2)\>\Leftrightarrow \
$$
Сумма и произведение комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) обозначаются соответственно \(z_1+z_2\) и \(z_1z_2\) и определяются формулами
$$
z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),\label
$$
$$
z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).\label
$$
Из формул \eqref
$$
(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),\qquad (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),\nonumber
$$
которые показывают, что операции над комплексными числами вида \((x, 0)\) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида \((x, 0)\) отождествляют с действительным числом \(x\), то есть полагают \((x,0) = x\).
Среди комплексных чисел особую роль играет число \((0,1)\), которое называют мнимой единицей и обозначают \(i\), то есть
$$
i = (0,1).\nonumber
$$
Вычислив произведение \(i\) на \(i\) по формуле \eqref
$$
i\cdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,\nonumber
$$
то есть \(i^2 = -1\). Используя формулы \eqref
$$
i\cdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),\qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.\nonumber
$$
Следовательно, любое комплексное число \(z= (x,y)\) можно записать в виде \(x + iy\), то есть
$$
z = x + iy.\label
$$
Запись комплексного числа \(z = (x,y)\) в виде \eqref
В записи \eqref
$$
Re\ z = x,\quad Im\ z = y. \nonumber
$$
Если \(x= 0\), то есть \(z = iy\), то такое комплексное число называют чисто мнимым.
Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи \(x+iy\) числа \(x\) и \(y\) считаются действительными (вещественными).
Число \(\displaystyle\sqrt
$$
|z|=|x + iy|=\sqrt
$$
Заметим, что \(|z|\geq 0\) и \(\<|z| = 0\>\Leftrightarrow \
Комплексное число \(x-iy\) называют сопряженным комплексному числу \(z = x + iy\) и обозначают \(\overline
$$
\overline
$$
Из равенств \eqref
$$
|z| = |\overline
$$
так как \(z\overline
Свойства операций.
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:
- коммутативности, то есть
$$
z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1;\nonumber
$$ - ассоциативности, то есть
$$
(z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);\nonumber
$$ - дистрибутивности, то есть
$$
z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.\nonumber
$$
Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных чисел.
Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя \(i\) на \(-1\). Например, равенство \eqref
$$
z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=\\=x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1).\nonumber
$$
Множество комплексных чисел обозначают буквой \(\mathbb
$$
z+ 0 = z,\qquad z\cdot 1 = z.\nonumber
$$
На множестве \(\mathbb
$$
z+z_2=z_1.\label
$$
Это число называют разностью чисел \(z_1\) и \(z_2\) и обозначают \(z_1-z_2\). В частности, разность \(0 -z\) обозначают \(-z\).
Из уравнения \eqref
$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).\nonumber
$$
Деление на множестве \(\mathbb
$$
zz_2=z_1\label
$$
и обозначается \(z_1:z_2\) или \(\displaystyle \frac
Докажем, что уравнение \eqref
\(\circ\) Умножая обе части уравнения \eqref
$$
z|z_2|^2 = z_1\overline
$$
которое равносильно уравнению \eqref
Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.
Найти частное \(\displaystyle \frac
Множество точек. Изображение некоторых множеств точек на плоскости.
Представим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию х = 5 и х = -4,
В первом случае прямые параллельны оси ординат, во втором – абсцисс.
На прямой может быть расположено неограниченное количество точек. И у всего этого множества точек, координаты удовлетворяют условиям х = 5 и х = -4; у = -4 и у = 1.
На координатной прямой неравенству х 3. Проанализируем, что это за точки:
— множество точек, абсцисса которых больше или равна 3
— точки, лежащие правее прямой х = 3 и на прямой.
Алгоритм построения будет иметь вид:
— строим в координатной плоскости прямую: х = 3;
— определяем, где будут находиться точки, абсцисса которых больше 3; ответ – правее;
— множество всех точек удовлетворяющих условию х > 3 покажем при помощи штриховки;
х > 3 задает полуплоскость, находящаяся правее прямой х = 3 и все точки этой прямой. Прямую изображаем одной цельной линией, этим указываем, что все точки расположенные на прямой так же включены во множество.
Представим множество точек, удовлетворяющих условию у 1.
Постройте множество точек у > 1. По аналогии, точкам этого множества присуще свойство — у них ордината больше 1.
Следовательно, они будут находиться выше прямой у = 1. В соответствии со знаком неравенства точки прямой у = 1 не удовлетворяют условию y > 1. Графически мы это покажем, изобразив прямую у = 1 пунктиром.
Представим множество точек, соответствующих условию у > 1 так:
Представим на координатной плоскости множества точек, соответствующих условию: -2 ≤ х ≤ 2.
http://univerlib.com/mathematical_analysis/indefinite_integral/complex_numbers/
http://www.calc.ru/Mnozhestvo-Tochek-Izobrazheniye-Nekotorykh-Mnozhestv-Tochek-.html