Модель естественного роста выпуска дифференциальные уравнения

11.1. Аппарат дифференциальных уравнений в экономике. Дифференциальные уравнения первого порядка. Модель естественного роста выпуска

В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры примене­ния теории дифференциальных уравнений в непрерывных мо­делях экономики, где независимой переменной является вре­мя T. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования Экономичес­кой динамики.

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(T) количество про­дукции, реализованной на момент времени T; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(T). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т. е.

Модель естественного роста выпуска дифференциальные уравнения

Решение. При ежегодном уровне инфляции в р % коэффициент пропорциональности k будет равен р/100. Поэтому общий уровень цен согласно уравнению естественного роста можно вычислять по формуле [c.427]

Заметим, что число денежных единиц всегда выражается целым числом. Поэтому изменение денежной массы является разрывной функцией от времени, и, казалось бы, при выводе правила величины 70 нельзя применить модель, основанную на понятии производной. Но при достаточно большой денежной массе эту разрывную функцию можно с достаточной точностью приблизить дифференцируемой функцией (экспонентой). Сделанная при этом ошибка оказывается малой. Поэтому инфляционные процессы довольно точно описываются уравнением естественного роста. [c.428]

Подставив (21.4) в (21.3), получим дифференциальное уравнение естественного роста [c.429]

В соответствии с законом Мальтуса (21.1) численность населения должна расти экспоненциально, что не всегда справедливо, ибо не согласуется с реальностью. Хотя имеющий в настоящее время место демографический взрыв представляет собой серьезную опасность для человечества, дифференциальное уравнение (21.1), разумеется, слишком упрощенно изображает реальную ситуацию, и его решение далеко от истинного течения процесса. При использовании моделей естественного роста в социальных науках надо иметь в виду, что темпы роста, описываемые первоначально экспоненциальной функцией, в дальнейшем замедляются, наступает период насыщения. Экстраполяция этих показателей при условиях естественного роста часто приводит к заведомому абсурду. Например, рост числа научных работников в индустриально развитых странах в недавнем прошлом описывался экспоненциальной функцией. Экстраполяция привела бы к тому, что уже в ближайшие десятилетия численность научных работников должна была бы превзойти население страны. [c.430]

Отклонения фактического темпа роста от гарантированного объясняют, по Харроду, в основном кратковременные циклические колебания. Для интерпретации более длительных колебаний экономической конъюнктуры Харрод вводит третье уравнение — естественного темпа роста [c.23]

Эта форма уравнения обмена более точно характеризует взаимосвязь денежного потока с ценами и реальным объемом производимой продукции. Классическая количественная теория допускает предположение о независимости скорости обращения денег и реального уровня производства от количества денег в экономике, так как им свойственно стремиться к некоторому естественному уровню, зависящему только от уровня технологического развития производства и механизма проведения платежей в обществе на данном временном отрезке. При этом предположении в уравнении обмена зависимыми переменными становятся только М и Р, т.е. изменение количества денег в экономике приводит к пропорциональному увеличению цен и, наоборот, рост цен требует увеличения денежной массы. Поскольку предположение о неизменности скорости обращения и уровня реального производства допустимо только для краткосрочного периода времени, то тесная зависимость между величиной денежной массы и уровнем цен особенно резко проявляется при резких колебаниях денежной массы на небольших временных интервалах. [c.447]

Кроме того, напомним, что график предельных издержек фирмы обычно имеет положительный наклон. Уравнение (18-4), естественно, задано именно таким образом. Мы знаем, что вследствие закона убывающей предельной отдачи с увеличением объема производства предельный продукт труда уменьшается. Для данной величины И/уравнение (18-4) подразумевает, что по мере роста объема производства предельный продукт труда уменьшается и предельные издержки растут. Поэтому график предельных издержек фирмы имеет положительный наклон. [c.464]

Уравнение Харрода, выражающее условия равновесия при естественном темпе роста, имеет вид [c.410]

Доказывая возможность ликвидации разрыва между фактическим темпом роста G и естественным темпом роста Gn, Харрод вводит новую категорию — гарантированный темп роста Gw. Гарантированным является, по мнению Харрода, темп, удовлетворяющий предпринимателей, которые готовы его поддерживать и в дальнейшем. Согласно уравнению Харрода [c.410]

Параболическая зависимость. В некоторых случаях теоретический и логический анализ показывает, что неравномерное изменение результативного признака должно иметь иной характер. Так, при недостаточном количестве осадков урожайность будет, естественно, очень низкой, а по мере увеличения их количества урожайность будет повышаться. Однако это повышение не будет беспредельным, так как для каждой культуры в данных конкретных условиях есть какое-то оптимальное количество осадков, при котором достигается наиболее высокая урожайность. По мере того как количество осадков будет приближаться к оптимальной величине, рост урожайности будет постепенно замедляться и прекратится совсем при достижении этого оптимума. Дальнейшее увеличение количества осадков может привести к тому, что они окажутся излишними и вредными, в результате чего урожайность будет снижаться. Такого рода зависимость приближенно можно выразить уравнением параболы. Аналогичный характер связи можно ожидать и в ряде других случаев, например для зависимости уровня производительности труда рабочего от его возраста. [c.329]

Усовершенствование модели состоит прежде всего в учете фактора физического износа фондов. В. С. Немчинов обратил внимание на рост фондоемкости в модели С. Г. Струмилина. По мнению В. С. Немчинова, этот рост в какой-то мере объясняется тем, что возрастание фондов в модели преувеличено. Износ и выбытие фондов, естественно, снижают темпы роста производственных фондов и уменьшают рост фондоемкости продукции в модели. Кроме того, критерием в этой модели является максимум фондов потребления, созданных за 40 лет (трудоспособный период), а не максимум приростов фонда потребления. Ограничения модели (что очень важно) заданы щ виде приростных соотношений, в виде конечно-разностных уравнений, что существенно отличает модель от обычных линейных неравенств или равенств, используемых в оптимальном планировании, и в то же вре- [c.45]

При имитационном моделировании применяется много математических схем конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания (СМО), агрегативные системы, системы, описываемые дифференциальными уравнениями и марковскими процессами, методы общей теории систем, а также специально сконструированные эвристические подходы для конкретных типов объектов моделирования. Применительно к экономическим объектам и процессам наиболее часто используются, на наш взгляд, математические схемы СМО, агрегативные системы, а также эвристические подходы. Кроме этого, отдельные элементы метода статистических испытаний или метода Монте-Карло, которые лежат в основе имитационного моделирования, применяются достаточно часто при расчете различных параметров для других типов моделей — эконометрических, моделей кривых роста и т.п. В данной главе будут рассмотрены имитационные модели СМО и агрегативные имитационные модели. Естественно, приведенные ниже математические схемы ни в коей мере не исчерпывают их перечень. Кроме того, часто при имитационном моделировании применяется сочетание различных математических подходов, поэтому дать весь перечень применяемых математических схем затруднительно, да и вряд ли целесообразно. Главное — наличие имитационного мышления при выборе тех или иных математических подходов. [c.229]

Gw x r = S, где Сг — требуемая величина капитала, необходимая для 1 % прироста национального дохода Gw — необходимый темп роста, уравнивающий обе части уравнения, делающий величину накоплений равной величине сбережений. Таким образом, динамическое равновесие обеспечивается гарантированным темпом роста, устойчивой нормой прибыли и полным использованием всех мощностей. Естественно, все это может иметь место при постоянстве S1 — норме сбережений и С — капитального коэффициента. [c.455]

Представляется целесообразным более подробно рассмотреть характер изменения запаса динамической устойчивости TO внутри одной области устойчивости. Естественно, что наибольший интерес представляет такое рассмотрение для рабочей области. Можно предполагать, что в области устойчивости должны существовать линии равного уровня TO. Исследования показали, что такие линии действительно существуют и, более того, также являются прямыми. Это свойство характерно и для других областей устойчивости. По мере приближения рабочей точки к границе абсолютной динамической устойчивости происходит плавный рост значения TO, однако, эта величина не стремится к бесконечности. Переход к области с т0 = да происходит резким скачком, аналогично переходу в область с меньшим запасом устойчивости. Для исследуемой электротехнической системы линии равного уровня в рабочей области также показаны на рис.3.6. Уравнение линии равного уровня имеет вид [c.236]

Уравнение (3.1) и его частное решение (3.6) естественно не решают задачу определения критических значений темпов инфляции, но хорошо описывают поведение кривой зависимости инфляции — экономический рост. Если известно критическое значение темпов инфляции — ркр, то уравнение кривой указанной зависимости может быть записано в виде [c.117]

Согласно уравнению (15.11) темпы инфляции не изменяются только в том случае, когда текущий уровень безработицы U равен уровню естественной безработицы f/. Если f/ниже Un, то Р+, больше Р. Если же f/выше Un, то Р+1 меньше Р. Таким образом, безработицу можно удерживать ниже естественного уровня, прибегнув к экспансионистской политике, что ведет к росту темпов инфляции. [c.498]

Мы рассмотрели пять примеров социально-экономических процессов — задачу о долге, рост населения, рост денежных вкладов в банке, инфляционные процессы, естественный рост выпуска продукции. Математической моделью всех этих процессов служит уравнение вида y (t) = ky(t). В первом случае применение дифференциального уравнения позволяет увидеть как быстро растут невыплачиваемые долги, во втором использование этого уравнения позволяет понять будущие проблемы человечества, связанные с демографическим взрывом , в третьем — почему возникают денежные реформы, из четвертого примера становится понятным правило величины 70 и инфляционные процессы, из пятого — как быстро можно добиться больших объемов выпуска продукции в условиях постоянных инвестиций в производство и ненасыщаемости рынка. [c.430]

Оно означает, что для обеспечения устойчивого темпа роста производства при полной занятости инвестируемая доля дохода Gn Сг должна быть равна его сберегаемой доле S. По существу, это модификация уравнения Кейнса /= S, где / — размер инвестиций. Разница в том, что, согласно Кейнсу, размеры инвестиций /определяются предельной эффективностью капитала (нормой прибыли) и нормой процента, а Харрод связывает эти размеры с ростом населения, техническим прогрессом и требуемым коэффициентом капитала . Размеры сбережения S и в том и в другом случае определяются психологическим фактором — склонностью людей к сбережению. Харрод подчеркивает различие между фактическим темпом роста, который он обозначает G, и естественным темпом Gn, т.е. таким, который имел бы место, если бы не было хронической безработицы, недозагрузки мощностей и экономических кризисов. [c.410]

Вторым шагом является получение из уравнений балансов связи между тем или иным показателем эффективности системы и диссипацией ст. Как правило, естественные показатели эффективности монотонно ухудшаются с ростом а и достигают своих предельных значений в обратимом процессе, что приводит к оценкам, аналогичным КПД Карно для процессов самой разной природы. [c.16]

Рассмотрим отдельно правую и левую ветвь полученной кривой. Ускорение снижения фондоотдачи, которое характеризуется правой ветвью кривой, является естественным явлением при увеличении разрыва в темпах роста основных фондов и труда (k — /). Оно должно иметь место и в том случае, если частная эффективность труда и основных фондов не будет изменяться. При данной норме вклада интенсивных факторов (X == onst) и фиксированных частных эффективностях труда и основных фондов (ах = onst, az. = onst) ускорение снижения фондоотдачи будет происходить только из-за того, что при увеличении разрыва в динамике труда и основных фондов ускорится снижение доли прямого вклада труда в производство (at/)- Так, если взять уравнение [c.43]

В общем случае, из Я [х, ф, и ] >Я [я, ф, и] не следует (Ни [х, ф, и], и —и) > 0, понижение F0 с ростом s не гарантируется (отрицательные значения s могут быть запрещены условием и (t, s) U). Однако в очень распространенной ситуации, при линейной зависимости всех функций / (х, и) от и, (Ни, и —и) > О, и метод оказывается сходящимся. В общем случае сходимости может не быть при сколь угодно хорошем начальном приближении. Конструкция (45) с точки зрения сходимости более естественна и логична ведь глобальный характер (по и ( U) уравнения принципа максимума связан с использованием конечных вариаций на множествах малой меры, и конструкция (45) в отличие от (42), это учитывает. В 6 была получена формула для приращения функционала, вызванного конечным изменением управления на множестве М, малой меры р,=шезМ, [c.154]

В 1939 г. Харрод публикует статью, завершающую его идейную эволюцию довоенного времени — Очерк теории динамики 1. Здесь прежде всего формулируется цель теории динамики — предложить базисные основы, мри годные для изучения изменений, аналогично основам, предложенным статической теорией для состояния покоя 2. В данной работе вводятся основные понятия динамической теории фактический, гарантированный, естественный темпы роста капитальный коэффициент путем анализа соответствующих уравнений сделан вывод о внутренней нестабильности ри шития капиталистической экономики. Следовательно, кейнсианская теория роста фактически уже была готова, но в предвоенные годы она не приникла к себе особого внимания нескончаемая депрессия 30-х гг., сопро-иожавшаяся застойными процессами, казалось, делала неактуальными разработки в области экономической динамики. Сам Кейнс отнесся к концепции Харрода прохладно, выразивсомнение в существовании равновесной линии непрерывного развития, вокруг которой, согласно Харроду, происходят колебания фактического темпа роста. [c.13]

Для уровня естественной безработицы существует еще одно название — уровень безработицы, не ускоряющий инфляцию (NAIRU). В основанных на кривой Филлипса моделях со статическими ожиданиями (уравнение (15.9) из предыдущей главы) инфляция возрастает, когда U меньше Un, и сокращается, когда U больше Un. Таким образом, Un является порогом, ниже которого инфляция начинает ускоряться. Обычно мы называем циклической безработицей разницу между ее фактическим и естественным уровнями. Другими словами, циклическая безработица — это та часть общей безработицы, которую можно уменьшать с помощью экспансионистской макроэкономической политики без риска спровоцировать бесконечный рост темпов инфляции. Конечно, государство может попытаться снизить уровень естественной безработицы, но не обычными макроэкономическими методами. Для этого требуется соответствующая структурная политика, например переобучение рабочих, стимулирование повышения мобильности людей или специальные налоговые льготы для сохранения числа рабочих мест и борьбы с безработицей. [c.542]

Модель роста, базирующаяся на работах Харрода (Harrod, 1939) и Домара (Domar, 1946), основана на нескольких ограничениях и упрощающих допущениях, которые тем не менее позволяют вывести основное уравнение — уравнение траектории равновесного роста1. Пусть -темп роста производственных возможностей общества. Поскольку принимается предпосылка об отсутствии технического прогресса, то п можно определить как темп роста рабочей силы. Следовательно, если хозяйство находится в состоянии полной занятости и если коэффициент продукт/труд (у/п)0 постоянен, то совокупный продукт должен увеличиваться темпом и, чтобы сохранялась общая занятость. Общепринятое название -естественный темп роста. [c.557]

Иначе говоря, когда безработица находится на уровне естественной нормы, темп инфляции равен ожидаемому темпу роста цен, ибо единственной силой, которая заставляет номинальную заработную плату, а следовательно, и цены расти, является в этих условиях ожидание инфляции. Таким образом, уравнение 21.21 представляет еще один способ определения естественной нормы безработицы. Это норма, при которой р = ре. И если, придерживаться позиции Фридмена и Фелпса, что ожидаемый темп инфляции функционально связан с тем темпом инфляции, который существует в настоящий момент , то равенство р и ре при UN означает, что естественная норма -это такая норма безработицы, при которой достигается долговременное равновесие. [c.702]

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЕСТЕСТВЕННОГО РОСТА С ДИНАМИЧЕСКОЙ ПАМЯТЬЮ Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тарасова В.В., Тарасов В.Е.

Рассматривается модель естественного роста , в которой учитываются эффекты однопараметрической динамической памяти. Экономическим процессом с динамической памятью называется процесс, в котором экономические показатели и факторы в рассматриваемый момент времени, зависят не только от их значений в этот момент времени, но и от их значений в предыдущие моменты времени. В качестве математического инструмента описания экономических процессов с памятью используются дробные дифференциальные уравнения с производными нецелого порядка . Получены решения уравнения модели, учитывающей эффекты памяти с однопараметрическим угасанием. Описывается зависимость роста выпуска продукции от эффектов динамической памяти об истории изменения инвестиций и выпуска продукции.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Тарасова В.В., Тарасов В.Е.

Текст научной работы на тему «ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЕСТЕСТВЕННОГО РОСТА С ДИНАМИЧЕСКОЙ ПАМЯТЬЮ»

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЕСТЕСТВЕННОГО РОСТА С ДИНАМИЧЕСКОЙ ПАМЯТЬЮ

Тарасова В.В.1, Тарасов В.Е.2 ©

Магистрант, Высшая школа бизнеса (факультет); доктор физико-математических наук, Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Рассматривается модель естественного роста, в которой учитываются эффекты однопараметрической динамической памяти. Экономическим процессом с динамической памятью называется процесс, в котором экономические показатели и факторы в рассматриваемый момент времени, зависят не только от их значений в этот момент времени, но и от их значений в предыдущие моменты времени. В качестве математического инструмента описания экономических процессов с памятью используются дробные дифференциальные уравнения с производными нецелого порядка. Получены решения уравнения модели, учитывающей эффекты памяти с однопараметрическим угасанием. Описывается зависимость роста выпуска продукции от эффектов динамической памяти об истории изменения инвестиций и выпуска продукции.

Ключевые слова: модель естественного роста, эффекты памяти, угасающая память, дробные производные, производные нецелого порядка

Модели естественного роста является одной из простейших макроэкономических моделей [1 ,2]. Экономические модели естественного роста описываются уравнениями, в которых предельный (маржинальный) выпуск продукции (скорость роста выпуска продукции) прямо пропорционален доходу. Более реалистической считается модель естественного роста, в которой предельный выпуск продукции зависит от прибыли, а не от дохода, [2, а 88]. В данной статье будет рассматриваться обобщение именно этой более реалистической модели.

Опишем сначала простейший вариант модели естественного роста, в которой не учитываются эффекты запаздывания (временного лага) и эффекты динамической памяти. Пусть У(1) — функция, описывающая величину выпуска продукции в момент времени 1. Будем использовать приближение о ненасыщенности рынка, подразумевающее, что вся произведенная продукция продается. Будем также предполагать, что объем продаж не является большим, и, поэтому, не влияет на цену товара, то есть цену Р будем считать постоянной. Пусть 1(1) — функция, описывающая инвестиции, направляемые на расширение производства. Другими словами, 1(1) — величина чистых инвестиций, равная разности между общим объемом инвестиций и амортизационными затратами. В модели естественного роста предполагается, что предельный доход ^(Р • Y(t))/dt), и, следовательно, скорость выпуска продукции (dY(t) /dt) прямо пропорциональны величине чистых инвестиций, то есть используется уравнение акселератора

где V — положительная постоянная, называемая коэффициентом инвестиций (коэффициент акселератора) и характеризующая мощность акселератора, [1, с. 73], 1/у — предельная производительность капитала (норма акселерации), и dY(t)/dt — производная первого порядка функции У(1) по времени.

Полагая, что величина чистых инвестиций составляет фиксированную часть прибыли, которая равна разности между доходом Р-У(1) и издержками производства С(1), получаем

© Тарасова В.В., Тарасов В.Е., 2017 г.

где т — норма чистых инвестиций (0 0 и 1>т. В этом случае, уравнение (7) запишется в виде

где 10+ — левосторонний интеграл Римана-Лиувилля порядка а>0 по переменной 1. Этот интеграл определяется, [3, с. 85], [4, с. 69-70], формулой

где 0 0. Эта производная определяется [4, с. 92] формулой

где Г(а) — гамма функция, Y(n)(т) — производная целого порядка п:=[а]+1 функции У(т) по переменной т: 0 0, где 10+ — левосторонний интеграл Римана-Лиувилля (10), а D0+ -левосторонняя производная Капуто (11). Используя равенство (13), уравнение (12) можно записать в виде

где V = 1/т. В результате получаем, что уравнение мультипликатора с памятью (9) представимо в виде уравнения акселератора с памятью (14), где коэффициент этого акселератора является обратной величиной к коэффициенту мультипликатора (9). Эта взаимосвязь отражает принцип дуальности акселератора с памятью и мультипликатора с памятью, предложенный в работе [16].

Отметим, что уравнение акселератора (14) включает в себя стандартные уравнения акселератора и мультипликатора, как частные случаи. Для доказательства это рассмотрим уравнение (14) для а=0 и а=1. Используя свойство

[4, с. 79], для формулы (14) с а=1, получаем уравнение (1), описывающее стандартный акселератор. Используя (D0+Y)(t) =Y(t),

уравнение (14) при а=0 записывается в виде ■ (:) = V • Y(t), то есть является стандартным уравнением мультипликатора. В силу этого, акселератор с памятью, определяемый уравнением (14), обобщает понятия стандартного акселератора и мультипликатора [16].

Уравнение естественного роста со степенной памятью

Для учета эффектов угасающей степенной памяти в модели естественного роста, мы воспользуемся формулой (14), описывающей линейный акселератор с памятью [16, 17]. Подставляя выражения (3) и (14) в уравнение (2), получаем

Уравнение (15) является дробным дифференциальным уравнением с производной порядка а>0, [4]. Модель естественного роста, базирующаяся на уравнении (15), учитывает эффекты степенной памяти с параметром угасания а>0. При а=1 уравнение (15) принимает вид уравнения (6), описывающего модель естественного роста без эффектов памяти.

Получим решение уравнения (15) модели естественного роста, учитывающего эффекты динамической памяти. Известно, [4, с. 323], что дробное дифференциальное уравнение

где Д1) — вещественнозначная функция, определенная на полуоси 1>0, разрешимо и имеет общее решение вида

Y(t) = — т)0-1 ■ Еа,а[А ■ (t — т)0] ■ ^т +

где п-1 (0) ■ tk ■ Е«к+о ■ (21)

где п-1 0, решение (23)

описывает рост выпуска продукции, а если выполняется условие Y(0) — — Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ук=1Г(2-ок) ( V ) ^к + ^«(тА^ ( )

В результате выпуск продукции при t ^ от описывается формулой

™ = (Р-а) +1 • (Y(0) — (Р-а)) • ехр ((т^Р-а))1/0 • ^ + 0 (^ (28)

решение (24) описывает рост выпуска продукции, а если выполняется условие А(а, т, V, Ь, Р — а) )-1/0, (32)

которые будем называть эффективными темпами роста для модели со степенной памятью.

Для иллюстрации динамики выпуска продукции У(1), описываемой решением (23) уравнения (15) для модели естественного роста с памятью а 1, приводим Рис. 3 и 4 для Р=0.4, т=2, у=5. Графики 2 на Рис. 3 и 4 построены для отличающихся значений У(0), Y(1)(0), Ь: Рис. 3 для У(0)=12, Y(1)(0) = 0.1, Ь=4 и Рис. 4 для У(0)=16, Y(1)(0) = 10, Ь=8. Видно, что эффект памяти с параметром угасания а=1.1 (отсутствие памяти характеризуется а=1.0), приводит к более быстрому росту выпуска продукции (график 2 на Рис. 3) по сравнению со стандартным случаем (график 1 на Рис. 3), в котором эффекты памяти не учитываются. Эффект динамической памяти с параметров угасания а=1.1 (отсутствие памяти характеризуется а=1.0), приводит к росту выпуска продукции (график 2 на Рис. 4) по сравнению со спадом в стандартном случае (график 1 на Рис. 4), в котором эффекты памяти не учитываются.

Из графиков решений (23) и (24), которые представлены на Рис. 1-4 для различных значений параметра угасания памяти а, видно, что величина выпуска продукции существенно зависит от наличия или отсутствия эффекта памяти. Так при тех же условиях, учет эффекта памяти с параметром угасания 0 Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.