Модель идеальной жидкости уравнения эйлера

Модель идеальной жидкости. уравнения движения Л. Эйлера.

Модель идеальной жидкости. уравнения движения Л. Эйлера.

Модель идеальной жидкости. уравнения движения Л. Эйлера. Идеальная или невязкая жидкость-это упрощенная модель реальной (вязкой) жидкости. Предполагается, что идеальная жидкость обладает всеми свойствами реальной жидкости, за исключением вязкости, так что уравнение Навье-Стокса можно применить, установив p = 0 **для получения уравнения движения. Тогда уравнения движения вязкого газа (5.8) и движения вязкой несжимаемой жидкости (5.9) упрощаются, принимая вид: Ря ± ри -=*% -, p. = 4T -. (5.37)） * Р ДХ(к у РДУ Л1 Р ДГ 0I » Уравнение(5.37) называется уравнением Эйлера.

Они описывают идеальное движение жидкости по сжимаемости и несжимаемости. Их векторную форму можно легко получить из соответствующих уравнений Навье-Стокса и поместить в них V = 0. (5.10) найти (5.12) П (\!П) дгаи Р = yxdX,(5.38） Иначе говоря П-(1 / р) bgab п-ди / Д1 +(в) с,(5.39） И затем П (1 / р) dgayr-egyo = Ди / Д1-эээ. (5.40 утра )） Удобную форму уравнения сжимаемой жидкости для интегрирования можно получить, приняв прямое давление.

Колмогоров Андрей Николаевич (родился в 1903 году) ученый и выдающийся советский математик. Автор фундаментальных исследований в области теории вероятностей, теории функций, топологии и математической логики. Людмила Фирмаль

• Он предложил много плодотворных идей в статистической теории турбулентности. В. Девяносто девять Четыре * Введение функций давления, определенных процессом (см.§ 4.1) и Формулой (4.5) (4.7).Уравнение (5.40) принимает вид Egayon(Φ+ ^ + sa / 2)= d / d1-их d. (5.41） Для несжимаемых жидкостей (5.42） (5.43） бгайо(Ф Р! п -) АСП / 2)= Ди / Д1-их＆ Используйте обозначение E =Φ+ k +для описания (5.41) в компактном векторном формате. -bgab E = di / d1-и XY или проекция оси Уравнения Эйлера и уравнения неразрывности для несжимаемых жидкостей образуют замкнутую систему. Для сжимаемых газов эта система должна быть добавлена по крайней мере к 1 уравнению, представляющему, например, баротропные условия или другую термодинамическую зависимость.

• Граничные условия твердой поверхности для идеальной вязкой жидкости варьируются в широких пределах. Когда идеальная жидкость движется, частицы не прилипают к твердой поверхности, и жидкость скользит вдоль стенок. Граничным условием в этом случае является непроницаемость границы, что означает, что в случае неподвижной стенки нормальная составляющая скорости жидкости исчезает на границе И » | C =0.(5.45)） Это условие означает, что вектор скорости касается граничной поверхности. То есть граничная поверхность является обтекаемой. Поэтому любую линию течения идеальной жидкости можно считать сплошной границей, не нарушая структуру течения. Если идеальное движение жидкости является потенциальным, то условие (5.45) задается как: «Н | з = d0P / DN и 0 = 0, (5.46） Где 0p-потенциал скорости.

Для плоского течения с функцией потока φ (x, y) граничные условия твердой поверхности можно описать следующим образом: 1С Ф = ФО = сот!、 Оттуда, твердая стена 1 из потока, и значение функции потока φ0. Людмила Фирмаль

• Сто Если граничная плоскость задается уравнением 5 (x, y, r)= 0, то 5-вектор, перпендикулярный этому plane. So условие(5.45)эквивалентно условию ортогональности вектора скорости стенки и / С и вектора§gas15.Поэтому скалярное произведение этих векторов в стенке равно нулю. ». Vg » 13 =и.+ |«, Н-|-«.0. (5.47） Для подвижных сплошных границ используются условия непрерывности течения и непроницаемости стенок. Это приводит к тому, что нормальная составляющая скорости n» |будет равна. С жидкостью и стенками. Если движущийся интерфейс задается уравнением 5 (x, y, 2, 0 = 0), то последнему условию можно придать другую форму. Если частица движется непрерывно, то ее координаты x(0, y (0, 2 (0)) должны всегда удовлетворять поверхности граничного уравнения, т. е. 5 [x ( * ), y(I), 2(1), Λ=0.ом8= 0.、 Граничные условия свободной поверхности идеальной и вязкой жидкости следующие.

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера. Интеграл Бернулли для установившегося вихревого и безвихревого (потенциального) движения жидкости. Частные случаи вихревого движения

Билет №5

Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера.

Идеальная жидкость — жидкость без вязкости. На самом деле любая жидкость вязкая. Модель идеальной жидкости применяется, если силы вязкости, действующие на ЖЧ, малы по сравнению с другими силами. Подставим в уравнения Навье-Стокса движения вязкой сжимаемой жидкости (газа) — . Получим:

(1)

данные уравнения называются уравнениями Эйлера и описывают движение идеальной сжимаемой и несжимаемой жидкости.

Уравнение неразрывности имеет при этом выглядит:

(2)

В векторной форме уравнения Эйлера:

или (3)

а в форме Громеки-Ламба: (4)

где — вектор-вихрь.

Для жидкости в баротропном состоянии — . В разделе «Гидростатика» мы ввели для баротропной жидкости функцию давления R: или . Подставим и в последнее уравнение Эйлера:

(5)

Для несжимаемой жидкости :

(6)

Как раньше обозначив , получим:

(7)

Уравнения Эйлера вместе с уравнение неразрывности (4 уравнения) содержат 5 неизвестных: В случае несжимаемой жидкости r известно и система замкнута. Для сжимаемого газа система дополняется уравнением состояния: .

Граничные условия для идеальной и вязкой жидкости различаются. В отсутствии вязкости жидкость не прилипает к стенке, а скользит вдоль нее с собственной скоростью. Условие непроницаемости стенки имеет вид:

(8)

где — проекция скорости жидкости на стенке по нормали к стенке; — проекция скорости стенки на нормаль к стенке.

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

1. Установившееся безвихревое (потенциальное) движение.

То есть: и . Уравнение Эйлера (7) при этом получит вид:

Þ (9)

(10)

полученное соотношение (10) называют интегралом Бернулли.

2. Установившееся вихревое движение.

То есть: и . Уравнение Эйлера (7) при этом получит вид:

(11)

В общем случае вектора и не параллельны. Умножим уравнение Эйлера (11) на вектор- дифференциал линии тока :

(12)

так как , а согласно свойству линии тока, то Þ .

Кроме того, ранее было установлено:

Имеем: (13)

другими словами вдоль линии тока:

(14)

получили интеграл Бернулли.

Для установившегося вихревого течения идеальной жидкости сумма остается постоянной вдоль линий тока, а для установившегося безвихревого течения идеальной жидкости сумма постоянна во всей области течения.

Частные случаи установившегося вихревого движения.

а) Изотермическое течение несжимаемой идеальной жидкости в поле силы тяжести.

Подставляя в (14) и Þ , получим:

(15)

б) Изотермическое течение идеального газа.

Согласно закону Бойля-Мариотта при постоянной температуре:

(16)

закон сохранения массы: (17)

отсюда: Þ (18)

Пусть — давление и плотность газа в некоторой точке течения.

Подставим (18) в выражение для функции давления:

(19)

Влиянием силы тяжести для газа можно пренебречь, то есть — .

Тогда интеграл Бернулли (14) примет вид:

(20)

Пусть — скорость газа в точке с . Тогда получим:

Û . (21)

в) Адиабатное течение идеального газа.

Уравнение адиабатного процесса:

Þ (22)

где k – показатель адиабаты (k=1.4 для воздуха).

Подставим (22) в выражение для функции давления:

(23)

В силу невесомости газа: .

Пусть — скорость газа в точке с . Тогда интеграл Бернулли (14) примет вид:

(24)

Вопрос

Силы, действующие в жидкости. Свойства напряжений. Тензор напряжений.

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ЖИДКОСТИ.

Силы, действующие в жидкости.

В жидкости действуют не сосредоточенные, а распределенные силы. По характеру действия они делятся на поверхностные и массовые (объемные).

Поверхностные силы — это силы, возникающие из-за непосредственного контакта ЖЧ с соседними частицами или какими-нибудь телами. К поверхностным относятся силы давления и вязкости

В гидромеханике принято считать положительными растягивающие напряжения, то есть направленные в сторону внешней к рассматриваемому объему нормали.

Массовые силы – это силы, действующие одинаково на каждую материальную точку ЖЧ – элементарного объема жидкости. Поэтому они не могут вызывать деформации ЖЧ, а только ее замедление или ускорение. Примерами массовых сил являются сила тяжести, электромагнитные силы, силы инерции.

Для количественной характеристики массовых сил используют следующую величину

(4)

которая называется плотностью распределения массовых сил в точке, куда стягивается объем Имеет размерность ускорения

Для силы тяжести:

Значение поверхностной силы в точке в общем случае зависит от выбора элементарной площадки, проходящей через данную точку, а массовые силы определены однозначно.

Свойства напряжений. Тензор напряжений.

(5)

(6)

Переходя к пределу при и учитывая, что , получим:

(7)

Отсюда следует, что напряжение на любой площадке DS_n может быть выражено через напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках.

Или в проекциях на оси:

(8)

Первый индекс указывает нормаль площадки, на которую действует напряжение, а второй индекс — ось, на которую проектируется данное напряжение. Напряжения с разноименными индексами (p_xy) – касательные, с одноименными – нормальные (p_xx).

То есть, напряжение на любой площадке DS_n можно найти, если известна матрица:

(9)

Эта матрица называется тензором напряжение (тензор второго ранга).

Записывая уравнения моментов, можно показать, что:

(10)

— это закон парности касательных напряжений.

Таким образом, напряженное состояние в точке полностью определяется шестью величинами – тремя касательными и тремя нормальными напряжениями.

Касательные силы обусловлены действием вязкости. Поэтому касательные напряжения равны нулю в идеальной (невязкой) жидкости. Касательные напряжения равны нулю также в покоящейся жидкости. Вспомните закон трения Ньютона: , вязкие напряжения возникают только при относительном сдвиге слоев. В этих случаях:

(11)

(12)

Из (10) и (12) следует:

(13)

(14)

называется гидродинамическим давлением в идеальной жидкости, и гидростатическим давлением в покоящейся жидкости. Оно всегда положительно, так как — напряжения сжатия.

1. Давление в точке – скалярная величина, равная модулю напряжения сжатия в данной точке.

2. Давление не зависит от ориентации элементарной площадки в данной точке.

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.