Модели на основе интегральных уравнений

Численное моделирование автоколебательных систем на основе интегральных уравнений движения

На правах рукописи

НИКУЛИН Владимир Владимирович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук В.В. Зайцев

Официальные оппоненты:

доктор технических наук О.В. Горячкин;

кандидат физико-математических наук С.Ю. Медведев

Ведущая организация: ФГУП «ГНП РКЦ «ЦСКБ–Прогресс»»

Защита состоится «» _ 2008 г. в на заседании диссертационного совета Д 219.003.01 в ГОУВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» по адресу:

443010, г. Самара, ул. Льва Толстого,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУТИ Автореферат разослан «_» 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 219.003.01, доктор физико-математических наук О.В. Осипов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Основы представлений об автоколебательных системах, как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, были сформулированы академиком А.А. Андроновым в первой трети XX века. С тех пор автоколебательные системы и модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Представления об автоколебаниях широко используются в моделях химических реакций, биологических систем, механических конструкций.

Но наиболее обширный класс автоколебательных систем в технике составляют генераторы электромагнитных колебаний. В процессе развития радиофизики создавались и вводились в радиотехническую практику автогенераторы на основе различных типов активных элементов, обеспечивающих взаимодействие колебательной системы генератора с источником энергии. Задачи разработки автогенераторов стимулировали развитие теории нелинейных колебаний. Наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

Осциллятор Ван дер Поля явился одной из первых математических моделей автоколебательной системы с одной степенью свободы, получивших широкую известность среди радиофизиков. Б. Ван дер Поль предложил также приближенный аналитический метод решения нелинейного дифференциального уравнения движения автогенератора, дающий адекватное описание динамики высокодобротных и слабо нелинейных автоколебательных систем. В дальнейшем наиболее полное развитие приближенные методы анализа нелинейных колебаний получили в работах научных школ Л.И. Мандельштама, Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.Н. Митропольского и других исследователей. Были разработаны асимптотический метод Крылова–Боголюбова и метод усреднения Боголюбова–Митропольского, имеющие строгое математическое обоснование и позволяющие получать приближенные решения уравнений движения автоколебательных систем различных порядков по параметру нелинейности. Асимптотический метод Крылова–Боголюбова и метод усреднения широко используются при анализе автоколебательных систем со многими степенями свободы и распределенных автоколебательных систем. Проведено их обобщение на автоколебательные системы с запаздывающими связями.

Начиная с первых работ 20-х годов прошлого века и до настоящего времени подавляющее большинство моделей автоколебательных систем в радиофизике формулируется в дифференциальной форме – в форме нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими физической ситуации граничными условиями. Использование асимптотических методов теории нелинейных колебаний позволяет понизить порядок дифференциальной модели, сводя задачу анализа к решению системы укороченных уравнений для амплитуд и фаз автоколебаний. При этом решение укороченных уравнений, как правило, проводится численными методами.

Если автоколебательная система с конечным числом степеней свободы не относится к томсоновскому типу, т.е. является сильно нелинейной и (или) низкодобротной, то численный анализ автоколебаний проводится путем непосредственного интегрирования уравнений движения, в том числе с использованием методов интегрирования жестких и сверхжестких систем дифференциальных уравнений. Для распределенных автоколебательных систем уравнения движения – дифференциальные уравнения в частных производных – сводятся к системам ОДУ на основе модовых разложений или с использованием приближения бегущих волн.

Вместе с тем, среди автоколебательных систем можно выделить системы дискретного и дискретно-распределенного типов. В них локализованный в пространстве (дискретный) активный элемент взаимодействует либо с сосредоточенной колебательной системой, либо с распределенным резонатором. К дискретным автоколебательным системам относится большинство радиочастотных генераторов, а к дискретно-распределенным – СВЧ-генераторы на электронных лампах и полупроводниковых приборах, а также радиочастотные генераторы с линиями задержки и резонаторами на поверхностных акустических волнах. В любом из указанных автогенераторов линейная колебательная система или цепь обратной связи по отношению к точкам включения нелинейного активного элемента может быть описана импульсной характеристикой. При надлежащем выборе ее физической размерности, т.е. переменных «вход–выход» резонатора, для самосогласованной системы «активный элемент–резонатор» можно записать нелинейное интегральное уравнение движения, относящееся к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Таким образом, для автоколебательных систем с распределенными резонаторами и обратными связями удается сформировать математические модели, численная реализация которых позволяет использовать точные решения уравнений движений колебательных и волновых систем.

Следует также отметить, что на уровне физических представлений о процессах генерации автоколебаний существуют две обобщенные структурные схемы автогенератора. Одна из них – это колебательный контур с внешним отрицательным затуханием, другая – усилитель с положительной обратной связью. И если дифференциальная форма уравнений движения является адекватным описанием первой структуры, то интегральная модель полностью соответствует структуре «усилитель плюс обратная связь».

Таким образом, разработка и анализ моделей автоколебательных систем с дискретными и дискретно-распределенными параметрами, основанных на интегральных уравнениях движения, является актуальной задачей радиофизической теории колебаний, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.

Целью диссертационной работы является проведение комплекса исследований по разработке интегральных моделей нелинейных автоколебательных систем, численному анализу моделей и выявлению физических закономерностей автоколебаний, имеющих перспективу практического применения.

Методы исследования Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, теории радиотехнических сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

– в методе моделирования автоколебательных систем с сосредоточенными активными элементами, основанном на точном описании линейной диссипативной части системы импульсной характеристикой и записи нелинейного интегрального уравнения движения системы для замкнутой петли обратной связи;

– в распространении метода усреднения теории нелинейных колебаний на интегральные уравнения движения автоколебательных систем;

– в новых математических моделях автогенераторов с сосредоточенными активными элементами и распределенными резонаторами и цепями обратных связей;

– в методике и результатах численного моделирования ряда автоколебательных систем.

Положения, выносимые на защиту 1. Способы формирования интегральных уравнений движения автоколебательных систем с сосредоточенными и сосредоточенно-распределенными параметрами.

2. Алгоритмы численного решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем 3. Интегральные модели автогенераторов с резонаторами на отрезках линий передачи и объемными резонаторами.

4. Интегральные модели автогенераторов с RC-структурами.

5. Модель струнного автогенератора.

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

– использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа автоколебательных систем;

– соответствием приведенных результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

– соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая значимость работы Предложенный в диссертационной работе метод численного моделирования автоколебаний может найти применение при решении задач проектирования и поиска оптимальных режимов функционирования радиочастотных и СВЧ генераторов:

– на диодах Ганна и ЛПД с резонаторами на отрезках коаксиальных и микрополосковых линий;

– на биполярных и полевых транзисторах с микрополосковыми резонаторами;

– твердотельных СВЧ-генераторов с объемными резонаторами;

– генераторов с фазосдвигающими RC-линиями;

– генераторов с электромеханическими резонаторами.

База исследования Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.

Апробация работы Материалы диссертации докладывались на – IV, V и VI Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 2005 г.; г. Самара, 2006 г.; г. Казань, 2007 г.);

– конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 2005 г.);

– конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (г. Самара, 2005 г.);

– Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Красноярск, 2006 г.);

– Всероссийских научно-технических конференциях аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2006 г.; г. Томск, 2007 г.);

– X Международных чтениях по квантовой оптике (г. Самара, 2007 г.);

– 17-й Международной Крымской научно-технической конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (г. Севастополь, 2007);

– 10-й региональной научной школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (г. Ульяновск, 2008).

Публикации По материалам диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 6 статей (из них 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора наук) и 10 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованных источников из 105 наименований. Объем диссертации – 139 страниц. Работа содержит 54 рисунка и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, проведен обзор литературы по теме диссертации, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертационной работы посвящена разработке методики формирования интегральных моделей автоколебательных систем. В п. 1.1 описана процедура перехода от дифференциальной модели автоколебательной системы с одной степенью свободы к нелинейному интегральному уравнению движения. Для этого рассмотрена модель автоколебаний x(t ) вида где, в отличие от стандартного представления автоколебательной системы, потери в линейном колебательном контуре системы исключены из правой части уравнения и описываются вторым слагаемым в его левой части: Q – добротность резонатора с собственной частотой 0. Функция f (.) учитывает только нелинейности активного элемента (АЭ) и положительную обратную связь в системе. Показано, что нелинейный осциллятор (1) имеет интегральное уравнение движения (ИУД) где h(t ) – импульсная характеристика резонатора; X (t ) – свободные колебания в резонаторе, зависящие от начальных условий. ИУД (2) относится к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Далее показано, каким образом ИУД можно сформировать на основе структурной схемы генератора, содержащей нелинейный активный элемент (двухполюсник или трехполюсник), подключенный к линейной колебательной системе с импульсной характеристикой h(t ) в точках включения АЭ.

Метод усреднения для интегральных уравнений движения описан в п. 1.2.

Получена интегральная форма укороченного уравнения для комплексной амплитуды автоколебаний. В п. 1.3 показано, что при расчете характеристик установившихся автоколебаний в гармоническом приближении интегральное уравнение движения преобразуется в известные соотношения баланса амплитуд и фаз в кольце автогенератора.

ные уравнения движения дискретно-распределенных автогенераторов с активными двухполюсниками и трехполюсниками. На рис. 1 приведена структурная схема одного из автогенераторов такого типа, выполненного на основе отрезков линий передачи и активного двухполюсника. ИУД для приведенной схемы имеет вид где G ( x ) – крутизна вольт-амперной характеристики двухполюсника, X (t ) – свободные колебания в линейной части схемы. Аналогичный вид имеет ИУД для автогенераторов с активными трехполюсниками.

Численным алгоритмам решения полученных в предыдущих разделах работы основных типов интегральных уравнений движения посвящен п. 1.6. За основу алгоритмов взят широко используемый для линейных уравнений метод квадратурных формул. Для решения получаемой при этом системы нелинейных уравнений использован итерационный метод Зейделя. Здесь же представлен алгоритм решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем с запаздыванием. Компьютерные программы, реализующие представленные алгоритмы, приведены в приложении.

В заключение первой главы, в п. 1.7, на примере моделирования осциллятора Ван дер Поля дано сравнение результатов, полученных в рамках интегральной и дифференциальной моделей.

Во второй главе приведены примеры анализа интегральных моделей ряда автогенераторов с распределенными колебательными системами. В п. 2. рассмотрен автогенератор с активным двухполюсником и резонатором на отрезке линии передачи. К такому типу систем относятся СВЧ-генераторы на лавинно-пролетных и инжекционно-пролетных диодах и диодах Ганна с резонаторами на отрезках коаксиальных линий или микрополосковыми резонаторами.

Отмечено, что предложенная интегральная модель автогенераторов позволяет, в частности, учитывать в расчетах частотную зависимость добротностей мод резонатора. В п. 2.2 исследован режим релаксационных автоколебаний в линии с туннельным диодом.

Здесь n,m – нормированные собственные частоты H n 0 m мод резонатора, Qn,m – добротности мод, n и m – волновые числа. Величина емкостного коэффициента пропорциональна отношению постоянной времени C = Z 0 C a ко времени пролета = l/c. Отличное от нуля значение обеспечивает сходимость интеграла Фурье при вычислении импульсной характеристики. При этом на практике интеграл вычисляется в конечных пределах с помощью быстрого преобразования Фурье и используется высокочастотная асимптотика импеданса:

1. Показано, что предложенная модель автогенератора позволяет анализировать взаимодействие мод резонатора с гармониками тока АЭ и спектральный состав автоколебаний.

Широко распространенная трехточечная схема СВЧ-генераторов (рис. 3) с емкостной связью и резонатором на отрезке линии передачи исследована в п. 2.4.

Для напряжения x(t ) получено ИУД вида (3), в котором импульсная характеристика h(t ) линейной подсистемы, определяемая обратным преобразованием Лапласа высокочастотной системной функции Здесь для отношений емкостей схемы введены обозначения k = C /(C1 + C 2 ), n = (C + C 3 ) / C 0 l, C = C1C 2 /(C1 + C 2 ). Кроме того, = l / – время распространения, Q = Rl / Z 0 – добротность резонатора. При этом потери Rl отнесены ко входу резонатора.

Интеграл обратного преобразования Лапласа импульсной характеристики (4) вычисляется путем численного интегрирования по замкнутому контуру.

Контур интегрирования состоит из отрезка прямой линии s = j при / 2 3 / 2. Варьируя значение m, можно менять число мод резонатора, учитываемых в модели. На рис. 4 показан график функции h(t ), рассчитанный для m = 20. Спектр процесса h(t ) указывает на то, что импульсная характеристика при этом формируется семью модами резонатора.

На рис. 5 результаты моделирования иллюстрирует график процесса установления автоколебаний при значении параметра глубины обратной связи kG0 Z 0 = 0.5 и n = 0.2. Показано, что величина параметра n (отношения емкости схемы, приведенной ко входу линии, к полной емкости линии) существенным образом влияет на форму колебаний и длительность переходного процесса в автогенераторе. Меньшие значения n обеспечивают лучшую связь резонатора с активным трехполюсником, вследствие чего переходной процесс укорачивается, но форма колебаний при этом значительно отличается от гармонической.

Третья глава диссертации посвящена моделированию автоколебаний в относительно низкочастотных генераторах фазосдвигающими RC-цепями и электромеханическими резонаторами. RC-генераторы традиционно находят широкое применение в радиоэлектронных устройствах, где не предъявляется высоких требований к стабильности частоты сигнала. В последнее время встроенные RC-генераторы нашли применение также в качестве источников тактовой частоты в микроконтроллерах различного назначения. Из-за отсутствия высокодобротного контура форма колебаний в RC-автогенераторах часто далека от гармонической, и ее коррекция может быть основана на результатах детального моделирования процессов в электрической схеме генератора.

В п. 3.1 представлены модели генераторов с сосредоточенными RCцепями: мостовыми и лестничными. Из числа мостовых схем рассмотрены мост Вина и двойной Т-образный мост. Лестничные структуры дифференцирующего и интегрирующего типов содержат по три и более фазосдвигающих ячеек. На основе систематизации результатов формирования моделей перечисленных где R и C – погонные сопротивление и емкость, l – длина линии. В ИУД автогенератора, записанном относительно напряжения u (t ), импульсная характеристика линии при t 0 представлена в виде ряда Примеры численного моделирования RC-генераторов приведены в п. 3.3.

Показано, что за счет эффективного подавления гармоник RC-линией форма автоколебаний u (t ) в схеме на рис. 6, в отличие от схем с дискретными RCструктурами, близка к гармонической.

Моделированию струнного генератора посвящен п. 3.4. Автогенераторы с электромеханическими резонаторами (ЭМР), выполненными на основе колеблющейся в магнитном поле металлической струны, – струнные автогенераторы – широко используются при конструировании частотных датчиков ускорений (акселерометров). Эквивалентная схема струнного автогенератора приведена на рис. 7.

ИУД автогенератора с импульсной характеристикой струнного ЭМР и передаточной характеристикой ОУ относительно нормированного напряжения на дифференциальном входе усилителя записано в виде Здесь n и Qn – собственные частоты и добротности мод резонатора; – безразмерный параметр, характеризующий линейное усиление сигнала в петле автогенератора; X (t ) – собственные (затухающие) колебания ЭМР. Проведен анализ влияния высших мод резонатора на гармонический состав автоколебаний. Показано, что расчеты в одномодовом приближении дают заниженные значения амплитуд третьей и пятой гармоник.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Приложение содержит компьютерные программы решения нелинейных ИУД автоколебательных систем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

Разработаны методики формирования интегральных уравнений движения автоколебательных систем на основе их структурных схем и дифференциальных моделей.

Установлено, что автоколебательные системы с сосредоточенными активными элементами и сосредоточенно-распределенными колебательными системами могут быть представлены однотипными математическими моделями – нелинейными интегральными уравнениями Вольтерра второго рода.

Показано, что метод интегральных уравнений движения при численном моделировании автоколебаний позволяет использовать результаты точного анализа резонансной системы методами линейной электродинамики или радиотехнической теории цепей.

Проведено обобщение метода усреднения теории нелинейных колебаний на интегральные модели автоколебательных систем. Предложен метод расчета установившихся автоколебаний.

Разработаны численные алгоритмы решения нелинейных интегральных уравнений движения и компьютерные программы моделирования автоколебательных систем.

Разработана интегральная модель автоколебательных систем с активными двухполюсниками и резонаторами на отрезках линий передачи, а также модель системы с объемным резонатором на отрезке прямоугольного волновода. Показано, что учет собственной емкости (емкости корпуса) активного двухполюсника позволяет ускорить сходимость модового разложения импульсной характеристики резонатора.

7. Представлена интегральная модель трехточечной схемы автогенератора с емкостной обратной связью и резонатором на отрезке линии передачи.

Проанализировано влияние эквивалентной емкости схемы на входе резонатора на форму автоколебаний.

8. Разработаны обобщенная интегральная модель автогенераторов с RCцепями и RC-структурами и интегральная модель автогенератора со струнным электромеханическим резонатором, позволяющие анализировать форму и спектральный состав автоколебаний.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зайцев В.В., Никулин А.В., Никулин В.В. Нелинейный резонанс в струнном ЭМР // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2005. – Вып. 5. – С. 125-130.

2. Зайцев В.В., Никулин А.В., Никулин В.В. Нелинейная модель колебаний струны в ЭМР // Физика и технические приложения волновых процессов:

тезисы докладов V Международной НТК. – Нижний Новгород, 2005. – 3. Зайцев В.В., Никулин А.В., Никулин В.В. Численное моделирование нелинейных колебаний струны в электромеханическом резонаторе // Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике в.: тезисы докладов НТК. – Самара, 2005. – С. 82-83.

4. Зайцев В.В, Никулин В.В. Модель струнного автогенератора с нелинейной струной // Проблемы фундаментальной физики в.: тезисы докладов НТК. – Самара, 2005. – С. 67.

5. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин В.В. Интегральные модели автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2006. – Т. 9. – N 1. – С. 53-57.

6. Зайцев В.В., Никулин В.В. Моделирование автоколебаний в RC-генераторе на основе интегральных уравнений движения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2006. – Т. 9. – N 2. – С. 64-68.

7. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин В.В. Интегральная модель дискретнораспределенной автоколебательной системы // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2006. – Вып. 3. – С. 88-93.

8. Зайцев В.В., Никулин В.В. Интегральная модель RC-генератора // Научная сессия ТУСУР: материалы докладов, Ч. 4. – Томск, 2006 – С. 92-95.

9. Зайцев О.В., Никулин В.В., Зайцев В.В. Модели дискретно-распределенных автогенераторов на основе интегральных уравнений Вольтерра // Современные проблемы радиоэлектроники: сборник научных трудов. – Красноярск, 2006. – С. 18-20.

10. Зайцев В.В., Никулин В.В. Интегральные модели автогенераторов с распределенными обратными связями // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов V Международной НТК. – Самара, 2006. – С. 412-413.

11. Зайцев В.В., Никулин В.В., Хлопков П.С. Интегральная модель дискретнораспределенного автогенератора с емкостной обратной связью // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2007. – Т. 10. – N 4. – С. 110-114.

12. Никулин В.В. Интегральное уравнение движения струнного автогенератора // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VI Международной НТК. – Казань, 2007. – С. 75-76.

13. Зайцев В.В., Никулин В.В., Хлопков П.С. Интегральная модель автогенератора с емкостной связью и распределенным резонатором // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии: материалы 17-й Международной НТК.

– Севастополь, 2007. – С. 107-109.

14. Зайцев В.В., Никулин В.В., Хлопков П.С. Интегральная модель трехточечного автогенератора с распределенным резонатором // Научная сессия ТУСУР: материалы докладов, Ч.4. – Томск, 2007.– С. 33-35.

15. Зайцев В.В., Никулин В.В., Хлопков П.С. Моделирование автоколебаний в дискретно-распределенной системе с объемным резонатором методом интегрального уравнения движения [Электронный ресурс] // Известия СамГУ.

Серия физико-математические науки. Раздел физика. – 2008. – Вып.1. – С.31-46.

16. Никулин В.В., Хлопков П.С. Интегральная модель взаимодействия поля объемного резонатора с активным твердотельным двухполюсником // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники: тезисы докладов 10-й региональной научной школы-семинара. – Ульяновск, 2008. – Гарнитура Times New Roman. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная.

Усл.-печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ №

«КОМАРОВА Жанна Викторовна ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ БУДУЩЕЙ МЕДИЦИНСКОЙ СЕСТРЫ ПРИ ОСВОЕНИИ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН В КОЛЛЕДЖЕ 13.00.08 – теория и методика профессионального образования АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Челябинск – 2012 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Южно-Уральский государственный университет. »

«САРАПАС Владимир Викторович Алгебраические методы синтеза алгоритмов классификации элементов временных рядов Специальность 05.13.17 – теоретические основы информатики Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Москва – 2010 Работа выполнена на кафедре теоретической информатики и дискретной математики математического факультета Московского педагогического государственного университета Научный руководитель : член-корреспондент РАН. »

«Заусаев Дмитрий Анатольевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАНКА ДАННЫХ КООРДИНАТ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Самара – 2013 Работа выполнена на кафедре Прикладная математика и информатика в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального. »

«Котова Евгения Александровна Научные подходы оптимизации сети муниципальных учреждений здравоохранения промышленных городов (на примере муниципального образования г. Ангарска). 14.02.03 – общественное здоровье и здравоохранение АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Москва – 2010 Диссертация выполнена в Федеральном государственном учреждении Центральном научно-исследовательском институте организации и информатизации здравоохранения. »

«ЧАРЫКОВА СВЕТЛАНА ВЛАДИМИРОВНА ФОРМИРОВАНИЕ КЛЮЧЕВЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ У УЧАЩИХСЯ СТАРШЕЙ ШКОЛЫ В УСЛОВИЯХ ПРОЕКТНОГО ОБУЧЕНИЯ ИНФОРМАТИКЕ И ИКТ 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (информатика, уровень общего образования) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Челябинск – 2012 1 Работа выполнена на кафедре информатики и методики преподавания информатики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения. »

«Сидоров Вадим Вениаминович ИЗОМОРФИЗМЫ РЕШЕТОК ПОДАЛГЕБР ПОЛУКОЛЕЦ НЕПРЕРЫВНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Специальность 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань 2011 Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики факультета информатики, математики и физики Вятского государственного гуманитарного университета. Научный руководитель : доктор. »

«Шалабаев Павел Сергеевич ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ НА ОСНОВЕ РЕАЛИЗАЦИИ КОНЦЕПЦИИ МОДЕРНИЗАЦИИ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами — промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Нижний Новгород – 2014 Диссертационная работа выполнена в ФГБОУ ВПО Нижегородский. »

«Быстров Александр Васильевич СПЕЦИФИКАЦИЯ И АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ СРЕДСТВ, ПОДДЕРЖИВАЮЩИХ МОДЕЛИ СЕТЕЙ ПЕТРИ 05.13.11 математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Новосибирск – 2008 Работа выполнена в Институте систем информатики им. А.П. Ершова Сибирского отделения Российской академии наук Научный. »

«Бо р д юг о в а Т а т ья н а Ни к о ла е вн а Методические подходы к формированию компетенций в области программирования на основе реализации индивидуальной траектории обучения (на примере подготовки бакалавров по направлению Педагогическое образование, профиль Информатика) 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (информатика, уровень высшего образования) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Москва – 2011 Работа. »

«Аттаева Лейла Жамаловна Повышение эффективности управления учреждением здравоохранения (социально-психологические аспекты) 14.00.33 – Общественное здоровье и здравоохранение АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Москва 2009 Работа выполнена в Федеральном государственном учреждении Центральный научно-исследовательский институт организации и информатизации здравоохранения Росздрава доктор медицинских наук, профессор Научный руководитель. »

«ПЛУЖНИКОВ Юрий Владимирович РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И СРЕДСТВ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА БИМЕТАЛЛОВ И ИЗДЕЛИЙ ИЗ НИХ 05.11.13 – Приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Тамбов Работа выполнена в Тамбовском государственном техническом университете на кафедрах Автоматизированные системы и приборы, Криминалистика и информатизация правовой деятельности. »

«СОПИН Эдуард Сергеевич МОДЕЛИ СИСТЕМ ОГРАНИЧЕННОЙ ЕМКОСТИ С ГРУППОВЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К АНАЛИЗУ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕРВЕРОВ ПРОТОКОЛА УСТАНОВЛЕНИЯ СЕССИЙ 05.13.17 – Теоретические основы информатики Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2013 Работа выполнена на кафедре систем телекоммуникаций Российского университета дружбы народов. Научный руководитель : доктор технических наук, профессор. »

«ЭПШТЕЙН НИКИТА ДМИТРИЕВИЧ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ МИГРАЦИИ НАСЕЛЕНИЯ НА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКУЮ СИТУАЦИЮ В РОССИИ Специальность 08.00.12 – Бухгалтерский учет, статистика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2013 Работа выполнена на кафедре Социально-экономической статистики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московский государственный университет. »

«Комбаров Юрий Анатольевич СЛОЖНОСТЬ И СТРОЕНИЕ МИНИМАЛЬНЫХ СХЕМ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 01.01.09 дискретная математика и математическая кибернетика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук МОСКВА 2013 Работа выполнена на кафедре дискретной математики Механикоматематического факультета Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего. »

«Слесарева Людмила Сергеевна РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ГЕОМОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ Специальность 25.00.35 – Геоинформатика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург — 2011 Работа выполнена на кафедре Морских информационных технологий ГОУ ВПО Российского государственного гидрометеорологического университета доктор технических наук, профессор Научный руководитель Истомин Евгений Петрович доктор технических. »

«ПАВЛОВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ АППАРАТ ПОВЫШЕНИЯ ДОСТОВЕРНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АРИФМЕТИКОЛОГИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ ПРОЦЕССОРОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ Специальности: 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (в наук е и промышленности), 05.13.05 – Элементы и устройства вычислительной техники и систем управления. АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Соискатель Серпухов — 2013 г. Работа. »

«НИКОНОРОВ Евгений Николаевич МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗДЕЛЕНИЯ СИГНАЛОВ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Пенза 2011 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Самарский государственный университет путей. »

«ШАПИРО Мария Яковлевна ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ ОПЦИОНОВ И ФИНАНСОВЫХ ФЬЮЧЕРСОВ Специальность 08.00.13 – математические инструментальные методы экономики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва 2007 г. 1 Диссертационная работа выполнена в отделе разработки и проектирования информационных систем и технологий Всероссийского НИИ проблем вычислительной техники и информатизации Федерального агентства по. »

«САДУЛАЕВА БИЛЯНТ СУЛТАНОВНА ФОРМИРОВАНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ БУДУЩИХ БАКАЛАВРОВ ПРОФИЛЯ ИНФОРМАТИКА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКЕ 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (информатика, уровень профессионального образования) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Челябинск – 2012 Работа выполнена на кафедре информатики и методики преподавания информатики в федеральном государственном бюджетном. »

«СЫРЕСИН ДЕНИС ЕВГЕНЬЕВИЧ Разработка методов и алгоритмов вычисления спектров радиально-неоднородных анизотропных упругих цилиндрических волноводов Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2012 Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета) Научный руководитель . »

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений Саядян Дмитрий Левонович

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ‘, MOUSEOFF, FGCOLOR, ‘#FFFFCC’,BGCOLOR, ‘#393939’);» onMouseOut=»return nd();»> Диссертация — 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат — бесплатно , доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Саядян Дмитрий Левонович. Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений : Дис. . канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 : Ставрополь, 2004 144 c. РГБ ОД, 61:05-1/81

Содержание к диссертации

Глава I: Метод интегральных уравнений в задачах магнитостатики . 14

1.1 Основы теории магнитного поля постоянного тока 14

1.2 Теория-потенциала и метод интегральных уравнений; 22

1.3 Математические модели стационарного магнитного поля на основе линейных интегральных уравнений. 28

1.4 Математическая модель стационарного магнитного поля на основе нелинейных интегральных уравнений; 41

Глава 2. Численное решение интегральных уравнений в задачах магнитостатики . 45

2.1. Метод граничных элементов для численного решения интегральных уравнений в задачах магнитостатики . 45

2.2 Вычисление интегралов в численном решении интегральных, уравнений. 48

2.3 Выбор метода решения системы линейных алгебраических уравнений; к которой сводится интегральное уравнение . 52

2.4 Построение вычислительной схемы решения интегрального уравнения математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида. 56

2.5 Построение вычислительной схемы.решения системы интегральных уравнений математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллип соидальной оболочки 65

Глава 3. Моделирование характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным телом в форме эллипсоида . 71

3.1 Анализ погрешности приближенного решения интегрального уравнения и значений модуля напряженности результирующего поля 71

3.2 Об одном способе вычисления интегралов в численном решении интегрального уравнения, позволяющем сократить время решения 80

3.3. Исследование зависимости характеристик магнитного поля от ориентации эллипсоида относительно токовой системы 83

3.4 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от соот-ноошения полуосей эллипсоида 94

3.5 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от радиусов круговых витков токовой системы 100

Глава 4. Моделирование характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным экраном в форме эллипсоидальной оболочки 106

4.1 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значения толщины экрана 106

4.2 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значе ния магнитной проницаемости экрана . 112

4.3 Исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку 116

Введение к работе

Во всех отраслях современной техники широко используются электромагнитные явления и процессы, лежащие в основе действия большого числа различных электромагнитных приборов. и устройств; используемых на практике. К числу таких приборов и устройств могут быть отнесены: электрические машины и аппараты, электромагнитные и электронные элементы автоматики, магнитные:экраны, радиотехнические средства передачи, информации; электромедицинские приборы и устройства, устройства’, электрометаллургии-электрохимии, геологоразведки, навигации и многие другие. Без преувеличения можно сказать,.что технический прогресс существенно;зависит от быстроты и надежности их проектирования;

В-процессепроектирования возникает необходимость в решении задач моделирования- характеристик электромагнитного процесса, причем это решение из-за^ сложности форм электротехнических приборов и устройств в подавляющем большинстве случаев приходится; осуществлять при помощи численных методов.

Метод интегральных уравнений является ? одним из — эф фективных; методов решения краевых задач, возникающих в различных научно-технических: областях, таких как электродинамика; механика,, гидродинамика; теплофизика и многих других, наряду с такими методами, как методы; конечных разностей, конечных элементов; методы теории функций комплексного переменного; метод функции; Грина: Его сущность; состоит В і-сведении: исходной; краевой задачи, для дифференциальных уравнений: в частных производных к интегральным: уравнениям; и их численному решению на- ЭВМ: Широко применяется метод интегральных уравнений- и; для решения прикладных задач моделирования; стационарных электрических: и мїднфйьшпшє|нйлх значительных работ, посвященных методу интегральных уравнений применительно к задачам электро- и магнитостатики; можно назвать работу Г.А. Гринберга. [24], предложившего один из вариантов метода. Работа; вы шла в свет в 1949 году, когда о практическом использовании

5 интегральных уравнений для расчета трехмерных магнитных полей сложных магнитных систем не могло быть и речи; Интерес к методу интегральных уравнений возник после появления — в начале семидесятых годов работ О.В;Тозони; И.Д. Майергойза [42,71,72,73], в которых метод интегральных уравнений был представлен в физической интерпретации как метод вторичных источников. В этих работах было осуществлено построение и теоретическое обоснование математических моделей электрического и магнитного поля в кусочно-однородных, неоднородных, нелинейных средах на основе интегральных уравнений, а также первые попытки внедрения метода в практику электротехнических расчетов приборов и устройств. Дальнейшие исследования, связанные с расчетом; электромагнитных полей на основеинте-гральных методов, разработкой математических.моделей гистерезиса, нелинейных интегральных уравнений, построении универсальных вычислительных алгоритмов, были проведены С.Т.Толмачевым^ П.А.Курбатовым„ G.A. Арынчиным и другими [40,70]. Среди последних: работ, посвященных развитию метода вторичных источников и численных методов решения интегральных уравнений, к которым приводит этот метод, необходимо отметить следующие работы отечественных и зарубежных ученых [26,74,75,77,78].

На теоретическом уровне вопросы, связанные с: использованием метода интегральных уравнений для решения стационарных задач можно считать проработанными достаточно полно. Но инженеру, решающему конкретные задачи при проектировании электротехнических приборов и—устройств, необходима не только информация теоретического характера, но также и информация об особенностях использования, метода на практике для решения того или иного класса задач, например, информация: об объеме ресурсов ЭВМ (оперативная память, память на жестком диске; машинное время), который потребуется для решения задачи с заданными входными данными и требуемыми точностными характеристиками. Эту информацию можно получить только путем вычислительного эксперимента: Возможности вычислительной техники до последнего времени не позволяли широко применять метод инте- гральних уравнений для решения трехмерных задач, проводить вычислительный эксперимент для оценки эффективности численных методов и алгоритмов : в требуемом; масштабе. Поэтому, в имеющейся в настоящее; время-литературе : отмечается недостаток рекомендаций по практическому использованию этого метода;

Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования направлены; на то, что бы восполнить .указанные выше пробелы прим енительно к задачам;; моделирования: слабых магнитных полей; в- случаях, когда граница-ферромагнитного тела представляет собой; замкнутую гладкую поверхность, Необходимость, в-решении таких задач 1 возникает при?проектировании*различного рода; приборов и і устройств, например, устройств для приема и передачи информации; магнитопроводов малогабаритных трансформаторов, реакторов; дефектоскопов; магнитных экранов; элементов высокочувствительной аппаратуры. При этом используется математическая модель, основанная на допущении линейности; однородности и* изотропности; ферромагнетика. Здесь необходимо отметить, что использование нелинейной модели?(учитывающей нелинейную зависимость индукции от напряженности) для решения рассматриваемых задач оказывается нецелесообразным,, поскольку в этом случае необходимы; значительные затратььресурсов ЭВМ! Линейная же модель описывает поле магнитной системы с достаточной степенью:точности: Экономия ресурсов ЭВМ>за счет использования линейной модели? позволяет «отдать» эти ресурсы; на решение задач с достаточно: сложными; формами* границ ферромагнитных тел.

В частности — рассматриваются задачи* для ферромагнитного тела в форме трехосного эллипсоида, эллиптического тора и * эллипсоидальной оболочки. . Ферромагнитное тело в форме эллипсоидальной оболочки интерпретируется; как магнитный экран — устройство, предназначенное для ослабления;;внешнего; магнитного поля; с целью защиты чувствительных приборов и устройств,, помещаемых внутрь экрана; Среди г работ, посвященных расчету экранов в форме замкнутых оболочек следует выделить работы-С.М: Апполон-ского [2,3]. В этих работах полнены точные и приближенные аналитические

7 решения для экранов в форме сферической, сфероидальной и эллипсоидальной оболочки. Однако эти решения соответствуют случаям, когда внешнее магнитное поле либо является однородным, либо же неоднородным, порожденными источниками относительно несложной структуры. Кроме того, рассматриваются в основном тонкие оболочки, то естьоболочки^ толщина которых мала по сравнению с их диаметром. Аналогичная ситуация обстоит и с эллипсоидом и эллиптическим тором: хотя такие формы и рассматривались ранее, но аналитические решения получены при значительных упрощениях и соответствуют частным случаям.

Путем вычислительного эксперимента получена ценная для инженера-проектировщика информация о зависимостях погрешности приближенного решения от параметров дискретизации, а, также от физических (магнитная проницаемость) и геометрических (соотношение полуосей эллипсоида) параметров. Эта информация позволяет оценить затраты ресурсов ЭВМ, необходимые для — вычисления характеристик магнитного поля с заданной степенью точности. Кроме того, проведено сопоставление различных вычислительных схем рассматриваемого численного метода, отличающихся способом вычисления: интегралов по поверхности граничных элементов, и показано, какаяиз этих схем оказывается предпочтительной с точки зрения меньших затрат машинного времени. Практическую ценность имеют не только результаты, связанные с оценкой эффективности численных методов, но и результаты по исследованию характеристик поля магнитных систем. Например, результаты анализа зависимости напряженности поля от толщины и магнитной проницаемости эллипсоидального экрана могут быть использованы при решении задачи; выбора оптимальной толщины с целью получения, с одной стороны, необходимого экранирующего эффекта, а с другой стороны, минимальной массы экрана.

Целью работы являлась разработка математических моделей на основе метода интегральных уравнений, вычислительного алгоритма и программного комплекса для решения задач моделирования слабых стационарных маг-

8: нитных полей токовых систем с ферромагнитными телами, ограниченными гладкими замкнутыми поверхностями;

Задачи исследования состояли в следующем:

Разработать вычислительную схему решения; интегрального уравнения второго рода с поверхностным интегралом и наличием слабой особенности, а также системы из двух таких уравнений на основе метода граничных элементов,

Разработать.вычислительный алгоритм- и программный комплекс:для решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. С использованием этого комплекса: а) оценить погрешность решения при различном выборе параметров дис кретизации, геометрических параметр о в эллипсоида и магнитной проницае мости ферромагнетика; б) исследовать влияние ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в зависимости от ориентации эллипсоида относительно токовой системьг ш соотношения его полуосей; в) для токовой системы, состоящей из круговых витков с током, провести исследование зависимости характеристик поля: от радиусов круговых витков при фиксированных геометрических параметрах эллипсоида.

Решить перечисленные выше задачи для ферромагнитного тела* в форме эллиптического тора.

3; Разработать вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования;поля магнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки. Оценить экранирующие действие в. зависимости; от толщины, магнитной : проницаемости- и полуосей эллипсоидальной: оболочки;

Таким;образом, объектом исследования являются слабые стационарные поля магнитных систем с ферромагнитными телами с гладкой границей, а предметом исследовании — оценка влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле токовой системы в зависимости от геометрических и магнитных параметров этого тела:

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем: разработаны математические модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе линейных интегральных уравнений; вы-числител ь ный алгоритм и пр ограммный комплекс MagnostatS (свидетельство об официальной’ регистрации; в Российском агентстве по патентам и товарным^ знакам №2004611907) для решения практических^задач моделирования; трехмерных полей; магнитных систем; с. ферромагнитными; телами,, ограниченными: гладкими поверхностями: Впервые : с: использованием метода интегральных уравнений; решены, эти задачи для- ферромагнитных тел в форме трех, часто встречающихся: на практике, гладких поверхностей: эллипсоида; эллиптического тора и эллшгсоидальной=оболочки. Властности, исследовано влияние ферромагнитного эллипсоида; на внешнее магнитное: поле в зависимости от соотношения его полуосей и ориентации относительно токовой системы, Произведена: оценка, экранирующего действиям магнитного экрана в; форме: ЭЛЛИПСОИДаЛЬНОЙ обоЛОЧКИ В ЗаВИСИМОСТИ^ ОТ ТОЛЩИНЫ. обоЛОЧКИ, И: магнитной проницаемости ферромагнетика;

Достоверность* полученных результатов подтверждается; корректностью использованных методик исследования, основанных на: математическом аппарате теории і потенциал а, интегральных уравнений; теории:вычислительных методов; сравнением численных: и аналитических решений^ интегральных уравнений;

Практическая значимость работы состоит в том; что программный комплекс MagnostatS; а также п олученная путем > в ычислительного эксперим ента информация; о точностных характеристиках, численного метода; могут быть использованы прш проектировании электротехнических; приборов и ! устройств преимущественным:образом»для; решения задач:моделирования;слабых стационарных магнитных, полей?токовых систем?с:телами из «мягких» ферромагнетиков, ограниченными гладкими, поверхностями: Такими, электротехническими: устройствами являются,, например, магнитные экраны в форме? замкнутой» гладкой оболочки, предназначенные для настройки, проверки и защиты от влияния внешнего магнитного поля высокочувствитель-

10 ных приборов, помещаемых в эти экраны. Кроме того, на основе результатов, диссертационной работы были выработаны методические указания, которые используются в процессе обучения студентов СевКавГТУ по специальности «Прикладная математика» (акт внедрения от 22.09.04).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Первая глава посвящена построению и обоснованию математических моделей стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений, В качестве вспомогательного материала рассматриваются элементы теории магнитного поля постоянного тока; и теории; потенциала. Основное: внимание уделяется математическим моделям магнитного поля в кусочно-однородной среде:

Формулируется следующая задача.

Внешнее * магнитное поле создается заданной системой токов в і среде с магнитной проницаемостью ц₀. Требуется определить искажение этого поля; при внесении в і него ферромагнитного тела с проницаемостью ц + , ограниченного замкнутой поверхностью S.

Для решения этой задачи вводится скалярный магнитный і потенциал ф_Л, составляющей Нф магнитного поля; созданной намагниченностью; ферромагнетика. , который является решением краевой задачи для уравнений Лапласа

=0. с краевыми условиями на S

Ф + =Ф». Если решение краевой задачи согласно теории потенциала искать в виде потенциала простого слоя с плотностью а(М), то мы приходим к интегральному уравнению cosQM,n_Q) -А<0) >=2д_ош;(0, где A(Q) =

В первой главе рассматривается также математическая модель магнитного поля в кусочно-однородной среде для случая, когда граница раздела магнитных сред является многосвязной.

Во второй главе дается разработка численного метода для решения линейных интегральных уравнений математических моделей магнитного поля в кусочно-однородной среде с учетом специфики этих уравнений. Предлагается использовать разновидность метода граничных элементов, основанную на кусочно-постоянной аппроксимации; искомой функции в пределах каждого граничного элемента (метод Крылова-Боголюбова). Обсуждаются вопросы-связанные с вычислением поверхностных интегралов в численном решении интегрального уравнения и решения системы, линейных алгебраических уравнений, к которой сводится интегральное уравнение в результате дискретизации. Осуществляется построение вычислительных схем решения интегрального уравнения и системы интегральных уравнений с поверхностными интегралами на основе метода Крылова-Боголюбова для случаев,.когда граница ферромагнитного тело имеет форму трехосного эллипсоида и эллипсоидальной оболочки.

Третья глава посвящена решению задач моделирования характеристик поля магнитной системы, с ферромагнитным телом в: форме эллипсоида с использованием разработанного программного комплекса MagnostatS. Проводится анализ зависимостей погрешности приближенного решения + ферромагнетика. Решается задача, связанная с исследованием влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в зависимости от трех угловых параметров, задающих ориента- цию эллипсоида относительно токовой системы, при этом обсуждаются особенности вычислительного алгоритма решения этой; задачи. Кроме того, проводятся, исследования зависимостей характеристик магнитного поля, от соотношения полуосей, эллипсоида и радиусов круговых витков, образующих токовую систему, при фиксированных геометрических параметрах фер-ром агн итного тела.

1) расчетно-графический материал по исследованию характеристик поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме эллиптического тора.

2) особенности разработанного комплекса программ MagnostatS.

На защиту выносятся следующие основные положения::

Вычислительная схема решения линейного интегрального уравнения и-системы линейных интегральных уравнений с поверхностными интегралами математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе метода граничных элементов.

Вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования слабых стационарных магнитных полей токовых систем с ферромагнитными телами, ограниченными гладкими поверхностями на ос-

13 нове математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде,

Результаты исследования погрешности приближенного решения интегрального уравнения математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида. Выводы по исследованию зависимостей погрешности от значений параметров дискретизации, соотношения полуосей эллипсоида и магнитной проницаемости ферромагнетика.

Результаты решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. Выводы по исследованию зависимости влияния этого тела на внешнее магнитное поле от соотношения полуосей эллипсоида, его ориентации относительно токовой системы, а также от радиусов круговых витков токовой системы.

Результаты решения задач моделирования стационарного магнитного поля магнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки и выводы по исследованию зависимостей характеристик поля от толщины экрана и значения его магнитной проницаемости.

Математические модели стационарного магнитного поля на основе линейных интегральных уравнений.

Третья глава посвящена решению задач моделирования характеристик поля магнитной системы, с ферромагнитным телом в: форме эллипсоида с использованием разработанного программного комплекса MagnostatS. Проводится анализ зависимостей погрешности приближенного решения интегрального уравнения и,значений напряженности результирующего поля от геометрических параметров: эллипсоида, параметров дискретизации и; относительной магнитной проницаемости и,+ ферромагнетика. Решается задача, связанная с исследованием влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в зависимости от трех угловых параметров, задающих ориентацию эллипсоида относительно токовой системы, при этом обсуждаются особенности вычислительного алгоритма решения этой; задачи. Кроме того, проводятся, исследования зависимостей характеристик магнитного поля, от соотношения полуосей, эллипсоида и радиусов круговых витков, образующих токовую систему, при фиксированных геометрических параметрах фер-ром агн итного тела.

В четвертой главе осуществляется моделирование характеристик магнитного поля токовой системы при наличии в этой системе ферромагнитного экрана в форме эллипсоидальной оболочки на основе численного решения системы линейных интегральных, уравнений с поверхностными интегралами, реализованного в программном комплексе MagnostatS . Магнитный экран рассматривается как устройство, предназначенное для ослабления (экранирования) поля в области, расположенной внутри экрана по сравнению с магнитным полем; вне экрана. С целью оценки экранирующего действия эллипсоидального экрана проводятся исследования зависимостей напряженности поля в точках, расположенных внутри оболочки от значений ее толщины и полуосей эллипсоидов, образующих эту оболочку, а также от значения /хэ магнитной проницаемости ферромагнетика. В приложениях приводятся: 1) расчетно-графический материал по исследованию характеристик поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме эллиптического тора. 2) особенности разработанного комплекса программ MagnostatS. На защиту выносятся следующие основные положения:: 1. Вычислительная схема решения линейного интегрального уравнения и-системы линейных интегральных уравнений с поверхностными интегралами математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе метода граничных элементов. 2. Вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования слабых стационарных магнитных полей токовых систем с ферромагнитными телами, ограниченными гладкими поверхностями на основе математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде, 3. Результаты исследования погрешности приближенного решения интегрального уравнения математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида. Выводы по исследованию зависимостей погрешности от значений параметров дискретизации, соотношения полуосей эллипсоида и магнитной проницаемости ферромагнетика. 4. Результаты решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. Выводы по исследованию зависимости влияния этого тела на внешнее магнитное поле от соотношения полуосей эллипсоида, его ориентации относительно токовой системы, а также от радиусов круговых витков токовой системы. 5. Результаты решения задач моделирования стационарного магнитного поля магнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки и выводы по исследованию зависимостей характеристик поля от толщины экрана и значения его магнитной проницаемости. В качестве вспомогательного материала рассмотрим краткий обзор основных сведений из физической теории магнитного поля постоянного тока и математической теории потенциала, а затем обратимся к вопросам, связанным с построением и обоснованием математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе метода интегральных уравнений, Магнитное поле постоянного тока — это один из компонентов электромагнитного поля, не изменяющегося во времени. Оно создается неизменными во времени токами- протекающими по проводящим телам, неподвижным в пространстве; по отношению к наблюдателю. Хотя при протекании посто -янных токов имеется и второй компонент электромагнитного поля, а именно электрическое поле, но оно во времени не изменяется и потому не влияет на магнитное поле. Поэтому магнитное поле постоянного тока можно рассматривать независимо от электрического.

Выбор метода решения системы линейных алгебраических уравнений; к которой сводится интегральное уравнение

В предыдущей главе было установлено, что, использование метода; интегральных уравнений для решения задачи расчета стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде приводит к интегральным уравнениям с поверхностными интегралами вида

При этом ядра интегральных уравнений содержат слабую особенность. Рассмотрим ряд вопросов, связанных с численным решением уравнений такого вида; Метод граничных элементов представляет собой численный метод, а точнее, группу численных методов, предназначенных для. решения граничных интегральных уравнений — уравнений, содержащих: интегралы от искомых функций, вычисляемые лишь по границе рассматриваемой в данной задаче области. Однако во многих- источниках под этим названием подразумевают не просто численный метод решения интегрального уравнения, но в том числе и: механизм перехода от краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных к интегральной формулировке; Использование метода граничных элементов для решения широкого круга прикладных задач, а также многие: аспекты, связанные: с практической реализацией этого метода- подробно рассмотрены в [8;11,27]. Метод граничных элементов можно рассматривать как частный случай метода:коллокации-веточках для операторного уравнения- Avt=-f. Єуть-метода коллокации состоит в том, что приближенное решение представляется в виде линейной комбинации некоторой системы <ии >L базисных функций: Коэффициенты ап в последней формуле ищутся из условия равенства нулевому элементу невязки Ли- f операторного уравнения в заданной системе из N точек хк, к.= \,N (точек коллокации). В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений Основная идея метода граничных, элементов применительно к интегральному уравнению вида (2.1) состоит в следующем: поверхностный интеграл, входящий в уравнение заменяется конечной суммой. При этом необходимо: а) тем или иным способом аппроксимировать поверхность S элементами поверхности AS; аппроксимировать искомую плотность о»(-Р)на поверхностях AS;, в) вычислить коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений, то есть рассчитать интегралы от выбранных функций по поверхностям AS.

Поверхность S следует аппроксимировать элементами AS, которыми могут быть как плоские, так и криволинейные треугольники, прямоугольники и в общем случае многоугольники. Элементы AS образуются системой узлов, расположенных на самой поверхности. В простейшем случае, при решении трехмерных задач элемент образуется тремя, (треугольный), а при решении двумерных задач—двумя узлами. Порядок аппроксимации поверхности А=1, если элементы описываются уравнением первого порядка (плоские элементы). При =2 элементами являются поверхности, описываемые уравнениями второго порядка. При решении практических задач часто принимают к=\, то есть в качестве элементов -AS выбирают плоские фигуры. Для оценки эффективности-решения ту же задачу решают для А=2 и-сопоставляют затраты и-точность решения; Пригодную для любых задач расчета поля рекомендацию о значениях к дать трудно. Если поверхность образована совокупностью плоских поверхностей, то следует принимать =1.

При аппроксимации плотности с(/ ) на выбранной системе элементов поверхности AS эту функцию представляют полиномом порядка л: где; ф — полиномы порядками , имеющие смысл базисных; функций;: ак —коэффициенты, равные значениям искомой функции з(Р) вти точках.

Полином строят по значениям У(Р) В т точках, которые могут быть расположены как внутри элементов, так ив его вершинах ил и на его сторонах. При л=0 (полином нулевого порядка) a = const в пределах элемента. Такой полином строится по одному значению а— обычно в точке, лежащей в центре тяжести элемента. Если «=1 ( полином первого порядка ), то плотность г внутри элемента является линейной функцией. Для построения полинома первого порядка; следует определять х в трех: точках (если элементы треугольные), в четырех — если элементы прямоугольные; Такими точками считают узлы, являющимися вершинами элементов. Случаи я=0 и п=\ получили наибольшее распространение на;практике. Это объясняется простотой расчета интегралов по площади AS элементов и вычисления коэффициентов систем алгебраических уравнений:

На завершающем этапе перехода к алгебраическим уравнениям рассчитывают коэффициенты; системы, которую получают исходя из удовлетворения интегрального уравнения в совокупности.точек, называемых контрольными (в отличие от узловых — вершин элементов). Число контрольных точек, то есть число уравнений; должно быть равно полному числу узловых переменных, через которые аппроксимируется: искомая.функция внутри элементов. Контрольные точки могут совпадать, а могут и-не совпадать сузловыми точками элементов. Находят применение два метода, позволяющие перейти от интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений: первый предполагает постоянство а(Р) в пределах элемента (и=0), а второй— зависимость а(Р)от координат точек внутри элемента (л О). При л=0 (a = const) внутри элемента в качестве контрольных точек принимают точки, лежащиев центре тяжести.

Об одном способе вычисления интегралов в численном решении интегрального уравнения, позволяющем сократить время решения

На основе анализа полученных результатов можно сделать следующий вывод: с увеличением значения относительной магнитной проницаемости наблюдается рост значений погрешностей, соответствующих внутренним и внешним точкам. При этом, для внешних точек этот рост оказывается слабым

и значения погрешностей при наибольшем значении параметра д.» » оказываются приемлемыми при числе элементов дискретизации N = 800 во всех приведенных случаях. Рост же значений погрешности, соответствующих внутренним точкам, оказывается существенным, так что при наибольшем значении д+ и N = 800 погрешность принимает значения от 18 до 35%.

Приемлемые значения погрешности мы получаем лишь при большем числе элементов дискретизации.

Таким образом, выбор необходимого числа элементов, дискретизации должен осуществляться в зависимости от того требуется ли вычислять поле в точках расположенных внутри ферромагнетика, или нет, и если требуется, то нужно учесть,,каковым является значение магнитной проницаемости н.+.

Время, затрачиваемое на решение интегрального уравнения при числе элементов дискретизации N = 12800 в некоторых случаях достигает 30 минут (для ЭВМ с указанными выше параметрами). Очевидно, что если потребуется серия расчетов при различных геометрических параметрах ферромагнитного тела полное время решения будет достаточно большим. Одним; из факторов, влияющих на время решения задачи является то, каким образом осуществляется вычисление интегралов (2.19) В таблице 3.13 приведены значения временных характеристик при различном числе элементов дискретизации, соответствующие случаям, когда вычисление всех интегралов осуществляется одинаковым образом, путем І разбиения области интегрирования на 4 ячейки. Для каждой ячейки используется кубатурная формула, построенная прямым произведением четырехточечной квадратурной формулы Гаусса. При этом: tx — время, затрачиваемое на «вычисление коэффициентов матрицы алгебраической системы и вектора ее правой части; /2 — время, затрачиваемое на решение алгебраической системы методом простых итераций при j( (P) = f(P) с точностью є = 0,0001. tnm — полное время решения интегрального уравнения: Большую часть полного времени решения интегрального уравнения составляет время fj, затрачиваемое на вычисление матрицы коэффициентов и вектора правой части системы. Время t2, необходимое для решения системы оказывается, как минимум, в пять раз меньше времени /j. В связи с этим рассмотрим один способ вычисления коэффициентов матрицы алгебраической системы, который позволяет сократить время tx. Пусть г0 —максимальный диаметр среди диаметров граничных элементов ASpij. При вычислении интегралов / будем поступать следующим образом: если ГдМ krQ, то полагаем изменением на AS yi подынтегральной функции. Если же Гпм- вычисление ІШ будем осуществлять, используя указанную выше кубатурную формулу. В таблицах 3.14-3.16 приводятся результаты вычислительного эксперимента, содержащие значения погрешностей 5 , 5 (соответствующие тому же множеству точек Qy, /,/ = 1,5, которое было использовано в разделе 3.1 ) и времени tv при двух различных значениях параметра к , Число эле-ментовдискретизацииврассматриваемых-случаях н—т- =40. Естественно, что с уменьшением значения к время расчета /( сокращается, но при этом происходит увеличение погрешности. Как показывают представленные выше результаты, время вычисления t\ при к =5 уменьшается как минимум в пять раз по сравнению-со-временем, которое-мы имеем-без-использования указанного способа вычисления интегралов. При этом наблюдается довольно слабое увеличение значений погрешности. Таким образом, применение такого способа вычисления интегралов 1?$ позволяет в рассмотренных случаях получить существенный выигрыш во времени при незначительном увеличении погрешности. Однако с использованием этого способа в общем случае следует быть осторожным, поскольку многое зависит оттого, каковым является решение интегрального уравнения з(Р). Исследование зависимости характеристик магнитного поля от ориентации ферромагнитного эллипсоида относительно токовой системы Введем две прямоугольные системы координат: основную систему координат Oxyz и вспомогательную Ox y z . Положение вспомогательной системы координат относительно основной будем задавать при помощи трех углов 0 , ср , to (рис. 3.3). Рассмотрим магнитную систему, состоящую из следующих элементов: а) ферромагнитного тела с относительной магнитной проницаемостью [i+=180 в форме трехосного эллипсоида, с центром в начале координат и полуосями а 0,9м , 6=0,7м , с=0,4м , лежащими соответственно на координатных осях Ох ,Оу и Oz ; б) токовой системы, состоящей из четырех круговых витков с током, каждый из которых расположен в плоскости, параллельной плоскости хОу. Центр к-того витка расположен в точке (хк,ук ,zk), радиус этого витка равен Rk, величина протекающего по нему тока равна 1к, к=\ ,2,3,4 (таб. 3.17).

Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значе ния магнитной проницаемости экрана

Таким образом, осуществлено решение ряда задач моделирование характеристик магнитного поля заданной токовой системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки: 1)выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от значения толщины этого экрана. Показано, что при увеличении d экранирующее действие усиливается, но при этом скорость уменьшения модуля напряженности убывает и, начиная с некоторого значения толщины, Н практически не изменяется. 2) проведено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от значения относительной магнитной проницаемости экрана ju3. Полученные результаты показывают, что при увеличении проницаемости экранирующее действие усиливается. При этом интенсивное уменьшение модуля напряженности имеет место при небольших значениях щ, а при дальнейшем увеличении проницаемости модуль напряженности практически не меняется. 3) выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку. Показано, что при горизонтальном и вертикальном вытягивании сферического экрана, помещенного во внешнее поле токовой системы значение модуля напряженности в центре экрана возрастает. Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

Рассмотрены вопросы, связанные с построением при помощи метода ин тегральных уравнений и обоснованием математических моделей трехмерных стационарных магнитных полей в кусочно-однородных средах. Построены математические модели с использованием потенциалов простого и двойного слоя на основе интегральных уравнений второго рода со слабой особенно стью; рассмотрена модель магнитного поля для случая, когда граница разде ла магнитных сред является многосвязной. Кроме того, показано, каким об разом можно построить математические модели, если ферромагнитную среду считать неоднородной и нелинейной. 2. Проведено обсуждение особенностей использования метода граничных элементов для численного решения линейных интегральных уравнений ма тематических моделей магнитных полей в кусочно-однородных средах. Предложены, способы, вычисления поверхностных интегралов в численном решении интегрального уравнения и методы решения системы линейных ал гебраических уравнений, к которой; сводится интегральное уравнение в.ре зультате дискретизации. 3., Осуществлено построением вычислительной- схемы- решения: интегрального уравнения математической модели стационарн ого магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида на основе метода граничных элементов с кусочно-постоянной аппроксимацией искомой функции Построена вычислительная схема1 решения- системы интегральных уравнений математической модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоидальной оболочки на основе метода Крылова-Боголюбова. При этом: предложен способ построения на поверхности сетки граничных элементов; показано, каким образом при построении вычислительного алгоритма можно за счет учета центральной или вращательной симметрии ферромагнитного тела, сократить объем вычислений; предложен способ вычисления несобственных интегралов при формировании матрицы алгебраической системы к которой сводится интегральное уравнение. 4. На; основе разработанного программного комплекса MagnostatS осуще ствлено решение задач моделирования характеристик магнитного поля токо вой системы с ферромагнитным телом в форме эллипсоида. Проведен анализ погрешности приближенного решения; показано, каким образом погрешность решения интегрального уравнения и значений напряженности результирующего поля зависит от геометрических параметров эллипсоида, параметров дискретизации и: значения относительной магнитной проницаемости ц.+ ферромагнетика. Проведено исследование влияния ферромагнитного тела на поле магнитной) системы в зависимости от ориентации эллипсоида относительно этой системы. Исследованы зависимости характеристик поля от соотношения полуосей і эллипсоида. В частности показано, в каких случаях ферромагнитное тело оказывает наибольшее влияние на магнитное поле. Выполнено исследование зависимостей характеристик поля от радиусов круговых витков-токовой системы при фиксированных геометрических параметрах ферромагнитного тела. 5. С использование комплекса программ MagnostatS решены задачи моде лирования характеристик магнитного поля заданной токовой системы при наличии экрана в форме эллипсоидальной оболочки.

Выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от значения толщины этого экрана. Показано, что при увеличении экранирующее действие усиливается; но при этом; скорость,уменьшения модуля напряженности убывает и, начиная с некоторого значения толщины, величина модуля практически не изменяется..

Проведено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от- значения- относительной- магнитной-проницаемости экрана р. э. Полученные результаты показывают, что при увеличении проницаемости экранирующее действие усиливается. При этом интенсивное уменьшение модуля напряженности имеет место при небольших значениях щ а ПРИ дальнейшем увеличении проницаемости модуль напряженности практически не меняется.

Выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку. В частности показано, каким образом изменяется значение модуля напряженности в центре экрана при его горизонтальном и вертикальном вытягивании.

Тема 2 Методы прогнозирования динамики опасных факторов пожара

Модуль 1. Теоретическая часть

Тема 2. Методы прогнозирования динамики опасных факторов пожара

Современные научные методы прогнозирования ОФП основываются на математическом моделировании, т.е. на математических моделях пожара. Математическая модель пожара описывает в самом общем виде изменение параметров состояния среды в помещении в течение времени, а также изменение параметров состояния ограждающих конструкций этого помещения и различных элементов технологического оборудования.

Основные уравнения, из которых состоит математическая модель пожара, вытекают из фундаментальных законов природы – первого закона термодинамики, закона сохранения массы и закона сохранения импульса. Эти уравнения отражают и увязывают всю совокупность взаимосвязанных и взаимообусловленных процессов, присущих пожару, таких, как тепловыделение в результате горения, дымовыделение в пламенной зоне, изменение оптических свойств газовой среды, выделение и распространение токсичных газов, газообмен помещения с окружающей средой и со смежными помещениями, теплообмен и нагревание ограждающих конструкций, снижение концентрации кислорода в помещении.

Методы прогнозирования ОФП обычно различают в зависимости от вида математической модели пожара. Математические модели пожара в помещении условно делятся на три класса (три вида): интегральные, зонные, полевые (дифференциальные). Однако, по существу, методов два – интегральный и полевой.

Перечисленные модели отличаются друг от друга объемом той информации, которую они могут дать о состоянии газовой среды в помещении и взаимодействующих с нею конструкций на разных этапах (стадиях) пожара. В этом отношении наиболее детальные сведения можно получить с помощью полевой модели.

В математическом отношении три вышеназванных вида моделей пожара характеризуются разным уровнем сложности.

2.1 Методы прогнозирования динамики опасных факторов пожара

Интегральная модель пожара позволяет получить информацию, т.е. сделать прогноз, о средних значениях параметров состояния среды в помещении для любого момента развития пожара. При этом для того, чтобы сопоставлять (соотносить) средние (т.е. среднеобъемные) параметры среды с их предельными значениями в рабочей зоне, используются формулы, полученные на основе экспериментальных исследований пространственного распределения температур, концентраций продуктов горения, оптической плотности дыма и т. д.

Интегральная модель пожара в своей основе представлена системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Искомыми функциями, выступают среднеобъемные параметры состояния среды, независимым аргументом является время τ.

Интегральная модель пожара, как в своей основе, так и в деталях была разработана в середине 70-х гг. и опубликована в 1976 г. Ю.А. Кошмаровым (труды ВНИИПО, научные отчеты ВИПТШ). Спустя год после этой публикации была напечатана статья на эту тему японским исследователем Т. Танака (Takeyoshi Tanaka «A Mathematical model of a compartment fire»).

Юрий Антонович Кошмаров (19 сентября 1930 — 12 октября 2011 года) — один из крупнейших специалистов в мире в области теплофизики, прикладной газодинамики; автор математической интегральной модели пожара в помещениях, зданиях и сооружениях; полковник в отставке; доктор технических наук; профессор; Заслуженный деятель науки РФ; академик Национальной академии пожарной безопасности (НАПБ).

Профессор Ю.А. Кошмаров – первый в мире разработал интегральный метод термодинамического анализа пожаров в помещениях, позволяющий прогнозировать динамику и выявлять опасные факторы и причины пожара. Интегральная математическая модель пожара была полностью завершена в середине 70-х годов прошлого столетия.

Существенное развитие и дополнение получила интегральная математическая модель пожара в работах учеников Ю.А. Кошмарова – А.В. Матюшина, С.И. Зернова, В.М. Астапенко, Ю.С. Зотова, А.Н. Шевлякова, И.Д. Гуско, В.А. Козлова и др. В частности, интегральная модель пожара была дополнена дифференциальным уравнением, описывающим изменение оптической концентрации дыма в помещении при пожаре (Зотов Ю.С., 1988).

Различные программные реализации перечисленных выше моделей позволяют упростить и значительно автоматизировать процесс прогнозирования ОПФ. Например, FIM, Ситис ВИМ, КИС РТП.

Зонная модель позволяет получить информацию о размерах характерных пространственных зон, возникающих при пожаре в помещении, и средних параметров состояния среды в этих зонах. В качестве характерных пространственных зон можно выделить, например, в начальной стадии пожара припотолочную область пространства, область восходящего над очагом горения потока нагретых газов и область незадымленной холодной части пространства.

Основу зонной модели пожара в общем случае составляет совокупность нескольких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Параметры состояния среды в каждой зоне являются искомыми функциями, а независимым аргументом является время τ. Искомыми функциями являются также координаты, определяющие положение границ характерных зон.

Первая зонная модель пожара была предложена в диссертации польского инженера Е. Воланина, выполненной под руководством Ю.А. Кошмарова (1982г.). В последующие годы зонные модели получили существенное развитие в работах Е. Воланина и В.Н. Тимошенко и др.

Программы, реализующие зонную математическую модель пожара: Ситис Блок, Risk Manager (Z-Model), CFAST, BRANZFIRE.

Наиболее сложной в математическом отношении является полевая модель. Ее основу составляет система уравнений в частных производных, описывающих пространственно-временное распределение температур и скоростей газовой среды в помещении, концентраций компонентов этой среды (кислород, оксид и диоксид углерода и т.д.), давлений и плотностей. Эти уравнения включают реологический закон Стокса, закон теплопроводности Фурье, закон диффузии, закон радиационного переноса и т.п. В более общем случае к этой системе уравнений добавляется дифференциальное уравнение теплопроводности, описывающие процесс нагревания ограждающих конструкций. Искомыми функциями в этой модели являются плотность и температура среды, скорость движения газа, концентрации компонентов газовой среды, оптическая плотность дыма (натуральный показатель ослабления света в дисперсной среде) и т.д. Независимыми аргументами являются координаты и время .

Полевая (дифференциальная) модель позволяет рассчитать для любого момента развития пожара значения всех локальных параметров состояния во всех точках пространства внутри помещения.

Полевая модель пожара впервые в законченном виде (для ограниченных условий) была реализована в диссертации А.М. Рыжова, выполненной в 1982-1985 гг. под руководством проф. Ю.А. Кошмарова. Эта модель разрабатывалась в последующие годы И.Ф. Астаховой и рядом иностранных исследователей. Существенный вклад в развитие метода прогнозирования параметров пожара на основе полевой модели внесли А.М. Рыжов, В.Л. Страхов, С.В. Пузач.

Программы, реализующие полевую математическую модель пожара: FDS, Сигма ПБ, Phoenics, Sophie, Fluent. Также существуют графические редакторы для FDS: Pyrosim, Fenix+ 3, FireGuide, Urban, Fogard, Blender.

2.2 Область применения методов прогнозирования динамики опасных факторов пожара

Выбор конкретной модели расчета времени блокирования путей эвакуации следует осуществлять исходя из следующих предпосылок:

1. для зданий, содержащих развитую систему помещений малого объема простой геометрической конфигурации;

2. для помещений, где характерный размер очага пожара соизмерим с характерными размерами помещения и размеры помещения соизмеримы между собой (линейные размеры помещения отличаются не более чем в 5 раз);

3. для предварительных расчетов с целью выявления наиболее опасного сценария пожара;

зонный (зональный) метод:

1. для помещений и систем помещений простой геометрической конфигурации, линейные размеры которых соизмеримы между собой (линейные размеры помещения отличаются не более чем в 5 раз), когда размер очага пожара существенно меньше размеров помещения;

2. для рабочих зон, расположенных на разных уровнях в пределах одного помещения (наклонный зрительный зал кинотеатра, антресоли и т.д.);

1. для помещений сложной геометрической конфигурации, а также помещений с большим количеством внутренних преград (атриумы с системой галерей и примыкающих коридоров, многофункциональные центры со сложной системой вертикальных и горизонтальных связей и т.д.);

2. для помещений, в которых один из геометрических размеров гораздо больше (меньше) остальных (тоннели, закрытые автостоянки большой площади и т.д.);

3. для иных случаев, когда применимость или информативность зонных и интегральных моделей вызывает сомнение (уникальные сооружения, распространение пожара по фасаду здания, необходимость учета работы систем противопожарной защиты, способных качественно изменить картину пожара, и т.д.).

При использовании интегральной и зонной моделей для помещения, один из линейных размеров которого более чем в пять раз превышает хотя бы один из двух других линейных размеров, необходимо это помещение делить на участки, размеры которых соизмеримы между собой, и рассматривать участки как отдельные помещения, сообщающиеся проемами, площадь которых равна площади сечения на границе участков. Использование аналогичной процедуры в случае, когда два линейных размера превышают третий более чем в 5 раз, не допускается.

2.3 Опасные факторы пожара

Предельно допустимые значения ОФП

Температура окружающей среды, 70 °С

Тепловой поток, 1400 Вт·м — ²

кислорода 0,226 кг·м -3

окиси углерода 0,00116 кг·м -3

диоксида углерода 0,11 кг·м -3

хлористого водорода 23·10 –6 кг·м -3

Дальность видимости в дыму 20 м.

Следует подчеркнуть, что основные дифференциальные уравнения всех названных математических моделей пожара вытекают из неопровержимых фундаментальных законов природы. В связи с этим уместно указать, что основные дифференциальные уравнения интегральной модели пожара можно получить, например, из уравнений полевой (дифференциальной) модели путем интегрирования последних по объему помещения. Следовательно, в принципе, результаты вычислений искомых функций, с которыми оперирует та или иная модель пожара, должны были бы иметь одинаковую степень достоверности. Однако адекватность результатов расчетов реальному пожару определяется не только системой основных (базовых) уравнений каждой модели пожара. Дело в том, что в каждой модели привлекаются дополнительные функциональные зависимости для вычисления тех или иных физических величин, содержащихся в математическом описании пожара. Например, в полевой модели могут привлекаться различные дополнительные уравнения для вычисления коэффициентов турбулентного переноса энергии, импульса и компонентов газовой среды. В интегральной и зонной моделях могут использоваться различные формулы для вычисления тепловых потоков в ограждающие конструкции. Поэтому при оценке достоверности результатов прогнозирования необходимо, прежде всего, учитывать уровень научных разработок вопросов, определяющих содержание дополнительных функциональных зависимостей.

Чтобы сделать научно обоснованный прогноз, обращаются к той или иной модели пожара. Выбор модели определяется целью (задачами) прогноза. Путем решения системы дифференциальных уравнений, которые составляют основу выбранной математической модели, устанавливают конкретный характер динамики ОФП. Следует отметить, что даже при использовании интегральной модели пожара получить аналитическое решение присущей этой модели системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем случае невозможно.

В силу сказанного реализация вышеназванных методов прогнозирования возможна лишь путем численного решения системы дифференциальных уравнений, присущих выбранной модели пожара. Это численное решение можно выполнить только с помощью современных компьютеров.

1. Федеральный закон Российской Федерации от 22.07.2008 г. № 123-ФЗ «Технический регламент о требованиях пожарной безопасности» // Российская газета — Федеральный выпуск №4720 от 01.08.2008.

2. Приказ МЧС России от 30.06.2009 г. № 382 «Об утверждении методики определения расчетных величин пожарного риска в зданиях, сооружениях и строениях различных классов функциональной пожарной опасности».

3. Кошмаров Ю.А. Прогнозирование опасных факторов пожара в помещении: учебное пособие / Ю.А. Кошмаров. Академия ГПС МВД России. Москва, 2000. 118 с.

источники:

http://www.dslib.net/mat-modelirovanie/matematicheskoe-modelirovanie-stacionarnyh-magnitnyh-polej-na-osnove-metoda.html

http://propb.ru/obuchenie/lektsii-rr-02/tema-2-metody-prognozirovaniya-dinamiki-opasnykh-faktorov-pozhara-fenix-3/