Модели в виде системы одновременных уравнений

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Модели в виде систем одновременных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Модели в виде систем одновременных уравнений

Проблемы построения моделей из одновременных уравнений
Авторегрессия
Рассмотрим элементарную макроэкономическую модель
В приведенной форме модель (1.1) имеет вид
(1.1)
(1.2)
Из (1.2) видно, что COV(Yt,ut)≠0

Проблемы построения моделей из одновременных уравнений
2. Проблема идентификации уравнений
Пример. Имеем элементарную модель конкурентного рынка
(2.1)
По результатам наблюдений необходимо получить оценки параметров a0, a1, b0, b1
Что доступно для наблюдений? Равновесная цена p*t и соответствующие ей уровни спроса и предложения, причем Yst=Ydt=Y*t

Проблема идентификации уравнений
pt
yt
yd
ys
E0
Графически это выглядит так
p*t
y*t
Из приведенной формы уравнений модели видно

Проблема идентификации уравнений
Вопрос. Как преодолеть эту проблему?
Вспомним, что на спрос влияет располагаемый доход
(2.2)
Что это дает?
yt
pt
p*t(x1)
p*t(x2)
y*t(x1)
y*t(x2)
E1
E2
ys
yd2
yd1

Проблема идентификации уравнений
Вывод. Введение в первое уравнение системы (2.1) дополнительной экзогенной переменной xt привело к тому, что второе уравнение стало идентифицируемо.
Правило. Для устранения проблемы идентификации необходимо:
1. Дополнить уравнения системы дополнительными предопределенными переменными
2. Дополнительные переменные включаются в уравнения смежные с неидентифицируемыми
Идентифицируемая модель конкурентного рынка
(2.3)

Проблема идентификации уравнений
Остаются вопросы:
1. Как определить, какие уравнения в модели являются неидентифицируемые

2. Как определить, какие уравнения в модели идентифицируемые

Проблема идентификации уравнений
Ответ на первый вопрос дает теорема, которая имеет название «правило порядка» и формулирует необходимое условие идентифицируемости i-го уравнения модели
Общий вид каждого уравнение модели в структурной форме можно записать как:
где: G – количество эндогенных переменных в модели
K – количество предопределенных переменных в модели
(2.4)

Проблема идентификации уравнений
Необходимое условие идентифицируемости

Теорема 1. Пусть i-ое уравнение модели (2.4) идентифицируемо. Тогда справедливо неравенство

Mi (пред)  G – Mi (энд) – 1. (2.5)

В нём:
Mi (пред) – количество предопределённых переменных модели, не включённых в i-ое уравнение; Mi (энд) – количество эндогенных переменных модели, не включённых в i-ое уравнение.

Проблема идентификации уравнений
Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является необходимым условием идентифицируемости i-го уравнения. Это значит, что, когда неравенство (2.5) несправедливо, то i-ое уравнение заведомо неидентифицируемо. Однако при выполнении неравенства (2.5) ещё нельзя сделать вывод о идентифицируемости данного уравнения.
Условие (2.5), именуемое правилом порядка, позволяет выявлять неидентифицируемые уравнения модели, но не даёт возможности отмечать её идентифицируемые уравнения.

Определение неидентифицируемых уравнений производится методом «от противного»: если условие (2.5) не выполняется для i-го уравнения, то оно неидентифицируемо

Проблема идентификации уравнений
Задача. Показать, что оба уравнения модели (2.3) не являются неидентифицируемыми
(2.3)
Здесь:
(ydt, yst,pt) – эндогенные переменные (G=3)
(1, xt, pt-1) – предопределенные переменные (K=3)
Для первого уравнения: М(пред)=1, М(энд)=1, М(пред)=G-М(энд)-1
Для второго уравнения: М(пред)=1, М(энд)=2, М(пред)>G-М(энд)-1 (1>3-2-1)

Проблема идентификации уравнений
Введем еще несколько понятий, связанных с уравнением (2.4)

— Набор переменных модели
Матрица A = (aij) является не вырожденной и будем считать, что любое уравнение (2.4) может быть решено относительно yi и приведено к нормализованному виду (ai=1)

Определение. Ограничениями называется система из Li линейных однородных алгебраических уравнений
которым априорно удовлетворяет вектор набора переменных (2.6) коэффициентов i-го уравнения
(2.7)
(2.6)

Проблема идентификации уравнений
Пример. Модель конкурентного рынка (2.3)
(2.3)
Коэффициенты её первого уравнения, такие:
a11 = 1, a12 = 0, a13 = -a1, b11 = -a0, b12 = -a2 . Следовательно, вектор этих коэффициентов
a1=(1, 0, -a1, -a0, -a2)T
заведомо удовлетворяет одному (L1 = 1) ограничению
которое можно представить в форме линейного однородного уравнения (2.7) относительно компонентов вектора (2.6) с матрицей R1 = (0, 1, 0, 0, 0)
(2.8)

Проблема идентификации уравнений
Обозначим символом Ā расширенную матрицу коэффициентов структурной формы модели
(2.8)
Теорема. (Правило ранга) i-ое уравнение модели (2.4) идентифицируемо тогда и только тогда, когда справедливо равенство
(2.9)
В нём символом rk обозначен ранг произведения матриц (2.8) и RiT

Условие (2.9) является необходимым и достаточным для идентифицируемости i-го уравнения модели

Проблема идентификации уравнений
Пример. Проиллюстрируем процедуру использования критерия (2.9) на примере уравнений модели (2.11).
Ее расширенная матрица
(2.11)
(2.10)
Отметим, что для третьего уравнения модели (2.3) условие нормализации не выполняется. Однако это уравнение является тождеством, к которому проблема идентификации не имеет отношение.

Проблема идентификации уравнений
Для первого уравнения модели (2.11) :
Вычисляем значение критерия (2.9)
(2.12)
Проверяем условие (2.9): rk=G-1 1≠3-1=2, следовательно, первое уравнение модели (2.11) неидентифицируемо

Проблема идентификации уравнений
Для второго уравнения модели (2.11) имеем:
Вычисляем значение критерия (2.9)
Проверка условия (2.9): rk=G-1 2=3-1=2, следовательно, второе уравнение модели (2.11) идентифицируемо

Проблема идентификации уравнений
Замечания.
Если условие (2.9) выполняется точно:
rk(ĀRTi)=G-1,
то уравнения модели точно идентифицированы

2. Если условие (2.9) выполняется не точно:
rk(ĀRTi)>G-1,
то уравнения модели сверхидентифицированы

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 121 человек из 43 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 239 человек из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 354 человека из 64 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 158 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 01.01.2021
• 2716
• 1

• 01.01.2021
• 3710
• 12

• 01.01.2021
• 2754
• 0

• 01.01.2021
• 2895
• 0

• 01.01.2021
• 2949
• 1

• 01.01.2021
• 3548
• 1

• 01.01.2021
• 3238
• 0

• 01.01.2021
• 2968
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 07.02.2020 62
• PPTX 136.5 кбайт
• 0 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Шелухина Юлия Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 24522
• Всего материалов: 231

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Система одновременных эконометрических уравнений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общие сведения о системе одновременных эконометрических уравнений

Система одновременных экономических уравнений – это совокупность уравнений, которые позволяют исследователям установить наличие и степень связи (взаимозависимости) между эконометрическими переменными.

Выделяют две группы экономических переменных, из которых образуют эконометрические уравнения:

• эндогенные переменные, чьи значения определяют в результате функционирования изучаемой экономической системы (эндогенные переменные зависят как от экзогенных, так и от других эндогенных переменных);
• экзогенные переменные, чьи значения задаются извне (т.е. определяются вне эконометрической модели) и являются основой для определения значений эндогенных переменных (экзогенные переменные являются независимыми).

Функционирование сложных экономических систем может быть объяснено благодаря построению изолированных уравнений регрессии и измерению на их основе тесноты связи между переменными. Однако истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной не может быть описано одним отдельно взятым уравнением регрессии. В связи с этим в изучении экономических процессов важное значение приобрело структурирование связей между системой переменных.

В качестве примера системы одновременных эконометрических уравнений можно привести простейшую макроэкономическую (кейнсианскую) модель, которая состоит из двух уравнений:

В данной модели эндогенными переменными являются C (расходы на потребление) и Y (доход), а экзогенной переменной – I (инвестиции). b представляет собой коэффициент, который выражает предельную склонность к потреблению.

Характеристика структурной и приведенной форм системы уравнений

Данная система от всех других систем уравнения отличается наличием определенной структурной формы эконометрической модели. Это форма предполагает, что в правых и левых частях разных уравнений системы находятся одни и те же экономические переменные. Структурная форма системы одновременных эконометрических уравнений в случае переноса всех эндогенных переменных в левую часть может быть представлено в следующем матричном виде: YA = XB + E.

Готовые работы на аналогичную тему

Кроме структурной также выделяют приведенную (прогнозную) форму системы. По сути она есть представление системы, в котором эндогенные переменные выражены через экзогенные, то есть в каждом уравнении имеется только одна эндогенная переменная. Тогда она выглядит так: Y = XП + U.

Приведенную форму системы всегда можно получить, если задана структурная форма. Однако обратное действие не всегда возможно, а если оно и возможно, то не всегда получается однозначный результат.

Если через коэффициенты приведенной формы можно выразить коэффициенты структурного уравнения, то оно называется идентифицируемым (в противном случае оно – неидентифицируемое). Точная индентифицируемость свойственна ситуации, когда способ подобного выражения является единственным. Если же их несколько, то говорят о сверхидентифицируемости.

Чтобы имела место идентифицируемость, требуется выполнение такого необходимого условия, как непревышение количества переменных правой части уравнения над количеством всех экзогенных переменных системы. Формулировка этого условия может отличаться. Так, часто говорят: количество экзогенных переменных, которые исключены из данного уравнения, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, которые включены в уравнение, за вычетом единицы.

Также выделяют условие, достаточное для признания идентифицируемости системы. Оно заключается в том, чтобы общее число эндогенных переменных системы за вычетом единицы не превышало ранг матрицы, который составлен из коэффициентов (в других уравнениях) при переменных, отсутствующих в данном уравнении.

Методы оценки систем одновременных эконометрических уравнений

Для того, чтобы оценить представленные в структурной форме уравнения системы, нецелесообразно непосредственно применять обычный метод наименьших квадратов. Это связано с тем, что подобное применение нарушит важнейшее условие регрессионного анализа — экзогенность (предопределенность, независимость) факторов. Тогда будут получены смещённые и несостоятельные оценки параметров.

Поэтому системы одновременных эконометрических уравнений оценивают посредством применения следующих методов:

• косвенный метод наименьших квадратов – подстановка в аналитическое выражение зависимости структурных коэффициентов от их приведённых оценок, которые получают в результате применения обычного метода наименьших квадратов;
• двухшаговый метод наименьших квадратов – оценивание сначала зависимости эндогенных переменных от всех экзогенных (первый шаг), а затем – структурной формы модели, в которой эндогенные переменные заменены на их оценки, полученные на первом шаге (второй шаг);
• трехшаговый метод наименьших квадратов – предыдущий метод дополняется третьим шагом, с помощью которого оценивают ковариационную матрицу вектора случайных ошибок системы уравнений;
• методы максимального правдоподобия – использование всей информации об ограничениях на приведённую форму эконометрической модели.