Модифицированный метод ньютона система уравнений

Модифицированный метод Ньютона

Теорема 6. Пусть на [a,b] задана дважды дифференцируемая функция f(x), причем выполнены след. условия
а) f(a)f(b) 0
можно вычислить модифицированным методом Ньютона единственный корень ξ с любой степенью точности.

Доказательство: Пусть f’(x)>0, f’’(x₀)>0 (см.рис.3) Тогда в качестве x₀ берем точку x₀=b, так как f(b)f’’(b)>0. Из (3.23) следует, что x_n+1 x₁>…>x_n>a (3.24)
Покажем теперь, что эта последовательность имеет предел ξ. Пусть x_n-1> ξ. Докажем, что x_n> ξ. Для этого запишем n-ое приближение, полученное по формуле Ньютона (см. формулу (3.17)) и по модифицированной формуле Ньютона (3.23)


и найдем разность
. (3.25)
Из теории выпуклых функций известно, что если f’’(x) и сохраняет знак на [a,b], то f(x)является выпуклой. Для выпуклой функции f(x) производная f’(x) является неубывающей, то есть для . Поэтому
. (3.26)
С учетом (3.26) из (11) следует . Из теоремы 5 сходимости метода Ньютона мы получали , поэтому . Отсюда
ξ≤x_n. (3.27)

Таким образом, из (3.24) и (3.27) получили убывающую сходящуюся последовательность
x₀>x₁>…>x_n≥ξ.
Следовательно, для любого сколь угодно малого ε>0 можно указать такое n, что
|x_n-ξ|

Модифицированный метод ньютона система уравнений

нПДЙЖЙЛБГЙЙ НЕФПДБ оШАФПОБ.

нЕФПД УЕЛХЭЙИ ДМС ОЕМЙОЕКОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

НЕФПДБ оШАФПОБ ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМСФШ РТПЙЪЧПДОХА ЖХОЛГЙЙ f(x), ЮФП ОЕ ЧУЕЗДБ ХДПВОП, Б ЙОПЗДБ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕЧПЪНПЦОП. ч НЕФПДЕ УЕЛХЭЙИ РТПЙЪЧПДОБС f ‘(x (k) ) ЪБНЕОСЕФУС ОБ ДТПВШ (ФБЛ ОБЪЩЧБЕНХА ТБЪДЕМЕООХА ТБЪОПУФШ) (f(x (k) ) — f(x (k-1) )) / (x (k) — x (k-1) ).

ч ТЕЪХМШФБФЕ ЖПТНХМБ НЕФПДБ РТЙОЙНБЕФ ЧЙД:

ЗДЕ x (0) ,x (1) — ОЕЛПФПТЩЕ ОБЮБМШОЩЕ РТЙВМЙЦЕОЙС Л ЛПТОА.

зЕПНЕФТЙЮЕУЛЙК УНЩУМ НЕФПДБ УЕЛХЭЙИ ЪБЛМАЮБЕФУС Ч ЪБНЕОЕ ОБ ЙФЕТБГЙЙ У ОПНЕТПН k ЗТБЖЙЛБ ЖХОЛГЙЙ y=f(И) ОБ УЕЛХЭХА, РТПИПДСЭХА ЮЕТЕЪ ФПЮЛЙ (x (k) ,f(x (k) )) Й (x (k-1) ,f(x (k-1) )) Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, ЪБДБЧБЕНХА ХТБЧОЕОЙЕН

дБМЕЕ ОБИПДЙН ФПЮЛХ ЕЕ РЕТЕУЕЮЕОЙС У ПУША OX, ЮФП УППФЧЕФУФЧХЕФ ТЕЫЕОЙА МЙОЕКОПЗП ХТБЧОЕОЙС:

1) ч ПВЭЕН УМХЮБЕ УИПДЙНПУФШ РП НЕФПДХ оШАФПОБ РТПЙУИПДЙФ ВЩУФТЕЕ, ЮЕН РП НЕФПДХ УЕЛХЭЙИ, Й ЛТПНЕ ФПЗП ОЕ ФТЕВХЕФУС ОБИПЦДЕОЙС УТБЪХ ДЧХИ ОБЮБМШОЩИ РТЙВМЙЦЕОЙК Л ЙУЛПНПНХ ЛПТОА. оП РТЙ ЙУРПМШЪПЧБОЙЙ НЕФПДБ УЕЛХЭЙИ ОЕ ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЙЪЧПДОПК.

2) хУМПЧЙЕ ПЛПОЮБОЙС ЙФЕТБГЙК Ч НЕФПДЕ УЕЛХЭЙИ ПУФБЕФУС ФЕН ЦЕ, ЮФП Й Ч ЛМБУУЙЮЕУЛПН НЕФПДЕ оШАФПОБ: | x (k+1) — x (k) | ≤ ε.

нЕФПД ИПТД ДМС ОЕМЙОЕКОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

ч НЕФПДЕ ИПТД РТПЙЪЧПДОБС f ‘(x (k) ) НЕФПДБ оШАФПОБ ЪБНЕОСЕФУС ОБ ЕЭЕ ВПМЕЕ РТПУФХА (РП УТБЧОЕОЙА У НЕФПДПН УЕЛХЭЙИ) ТБЪДЕМЕООХА ТБЪОПУФШ (f(x (k) ) — f(x (0) )) / (x (k) — x (0) )

ч ТЕЪХМШФБФЕ ЖПТНХМБ НЕФПДБ ИПТД РТЙОЙНБЕФ ЧЙД:

РТЙЮЕН x (0) , x (1) — ОЕЛПФПТЩЕ ОБЮБМШОЩЕ РТЙВМЙЦЕОЙС Л ЛПТОА. зЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ ТБУУНБФТЙЧБЕНЩК НЕФПД ПЪОБЮБЕФ ЪБНЕОХ ОБ ЛБЦДПК ЙФЕТБГЙЙ ЗТБЖЙЛБ ЖХОЛГЙЙ y=f(И) ОБ ИПТДХ, ФП ЕУФШ ЮЕТЕЪ ФПЮЛЙ (x (0) ,f(x (0) )) Й (x (k) ,f(x (k) )) РТПЧПДЙН ИПТДХ

Й ОБИПДЙН ФПЮЛХ ЕЕ РЕТЕУЕЮЕОЙС У ПУША OX, ЮФП УППФЧЕФУФЧХЕФ ТЕЫЕОЙА МЙОЕКОПЗП ХТБЧОЕОЙС:

чЩТБЦБС ПФУАДБ x, РПМХЮБЕН:

ъбнеюбойе 2.6 лТЙФЕТЙК ПЛПОЮБОЙС ЙФЕТБГЙК Ч НЕФПДЕ ИПТД ЙНЕЕФ ЧЙД:

хРТПЭЕООЩК НЕФПД оШАФПОБ.

ьФПФ НЕФПД ЙНЕЕФ ЧЙД

ЗДЕ x (0) — ОЕЛПФПТПЕ ОБЮБМШОПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ Л ЛПТОА.

лТЙФЕТЙК ПЛПОЮБОЙС ДБООПЗП ЙФЕТБГЙПООПЗП РТПГЕУУБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

л ДПУФПЙОУФЧБН ЬФПЗП НЕФПДБ УМЕДХЕФ ПФОЕУФЙ РТПУФПФХ ЕЗП ТЕБМЙЪБГЙЙ Й ЧПЪНПЦОПУФШ ПВПВЭЕОЙС ОБ УЙУФЕНЩ ХТБЧОЕОЙК (УН. УМЕДХАЭЙК РБТБЗТБЖ), Б Л ОЕДПУФБФЛБН — ВПМЕЕ НЕДМЕООХА РП УТБЧОЕОЙА У НЕФПДПН оШАФПОБ УИПДЙНПУФШ.

нПДЙЖЙЛБГЙС НЕФПДБ оШАФПОБ ДМС УЙУФЕНЩ ДЧХИ ХТБЧОЕОЙК.

дМС ТЕЫЕОЙС УЙУФЕНЩ ЙЪ ДЧХИ ХТБЧОЕОЙК

ЙУРПМШЪХЕФУС УМЕДХАЭБС НПДЙЖЙЛБГЙС НЕФПДБ оШАФПОБ:

	(2.22)

ъбнеюбойе 2.7 1) ч ДБООПН НЕФПДЕ Ч ПФМЙЮЙЕ ПФ ЛМБУУЙЮЕУЛПЗП НЕФПДБ оШАФПОБ ПВТБФОХА НБФТЙГХ ФТЕВХЕФУС РПДУЮЙФЩЧБФШ ФПМШЛП ПДЙО ТБЪ.

2) хУМПЧЙЕ ПЛПОЮБОЙС ЙФЕТБГЙПООПЗП РТПГЕУУБ ЙНЕЕФ ЧЙД: || x (k+1) — x (k) || ≤ ε

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Krylov method iteration = 4219
Optimize root time 7.239 seconds:

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 13
Newton method time 0.496 seconds

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500