Модулярная функция и уравнения рамануджана

Рамануджан математик из Индии

В. ПЕРЕПЁЛКИН
Рамануджан _ математик из Индии
(Сокращённый вариант)

В МИРЕ НАУКИScientific American · Издание на русском языке
№ 4 · АПРЕЛЬ 1988 · С. 58–66

Рамануджан и число Пи;

Около 75 лет назад гениальный индийский математик придумал невероятно эффективные способы вычисления числа p. Созданные сейчас на той же основе алгоритмы для компьютеров позволяют найти миллионы десятичных знаков числа p

ДЖОНАТАН М. БОРВЕЙН, ПИТЕР Б. БОРВЕЙН

Число ; – отношение длины окружности к её диаметру – в 1987 г. было вычислено с беспрецедентной точностью: более ста миллионов десятичных знаков. Этот год ознаменовался также столетием со дня рождения Сринивасы Рамануджана – гениального индийского математика, который б;льшую часть своей недолгой и загадочной жизни был оторван от остального математического мира. Эти два события тесно связаны между собой, ибо самые недавние методы вычисления ; предвосхищены Рамануджаном, хотя для их реализации пришлось подождать, пока будут разработаны (многими специалистами, в том числе нами) эффективные алгоритмы, новейшие суперкомпьютеры и нетрадиционные методы умножения чисел.

Тяга к вычислению ; с миллионами десятичных знаков может показаться довольно бессмысленной, а само это занятие – лишь ареной для установления рекордов. Действительно, уже 39 знаков ; достаточно для вычисления окружности, опоясывающей наблюдаемую Вселенную, с погрешностью, не превышающей радиуса атома водорода. Трудно вообразить физические ситуации, которые потребовали бы большей точности. Почему же математики и вычислители не удовлетворятся, скажем, 50 знаками ;?

Этомy есть несколько причин. Во-первых, вычисление ; стало чем-то вроде эталона: по нему оценивается совершенство и надежность применяемого компьютера. Вдобавок погоня за всё более точным значением ; позволяет математикам проникнуть в таинственные и малодоступные закоулки теории чисел. Другая, более простая причина – «потому что оно всегда с нами». И в самом деле, ; является неотъемлемой частью математической культуры вот уже более двух с половиной тысячелетий.

Кроме того, всегда есть шанс, что такие вычисления прольют свет на некоторые загадки, связанные с ;. Ведь эта универсальная постоянная, несмотря на сравнительно простую природу, не так уж хорошо понята. Например, хотя и доказано, что ; – трансцендентное иррациональное число, никому ещё не удалось доказать, что десятичные знаки ; распределены случайно, т.е. каждая цифра от 0 до 9 появляется с одинаковой частотой. Возможно, хотя и в высшей степени маловероятно, что, начиная с какого-то места, все остальные знаки ; состоят только из 0 и 1 или проявляют какую-то другую закономерность. Более того,число ; внезапно появляется в самых неожиданных задачах, не имеющих никакого отношения к окружностям. Так, допустим, что из множества целых чисел наугад выбирается какое-то число. Тогда вероятность того, что оно не имеет повторяющихся (кратных) простых делителей, равна 6/;2. Как и многие другие выдающиеся математики, Рамануджан был пленён волшебной силой этого числа.

Построенные недавно алгоритмы для вычисления ; придали новый блеск математическим сокровищам, извлечённым благодаря возрождению интереса к работам Рамануджана. Однако большая часть того, что он сделал, всё ещё недоступна исследователям. Основные его работы содержатся в «Тетрадях», где он вёл личные записи, пользуясь собственной терминологией и обозначениями. Ещё огорчительнее для математиков, изучивших «Тетради» Рамануджана, то, что он обычно не записывал доказательств своих теорем. Расшифровка и редактирование «Тетрадей», предпринятые Брюсом К. Берндтом из Иллинойсского университета в Эрбана-Шампейн, только сейчас близятся к завершению.

Насколько нам известно, никто и никогда ещё не брался за работу по математическому редактированию такого объёма и такой трудности. Но усилия наверняка будут вознаграждены. Наследие Рамануджана, содержащееся в «Тетрадях», обещает не только обогатить чистую математику, но и найти применения в разных областях математической физики. Например, Родни Дж. Бакстер из Австралийского национального университета признаёт, что открытия Рамануджана помогли ему решить некоторые задачи статистической физики, относящиеся к поведению системы взаимодействующих частиц, рассматриваемых как твердые шарики в гексагональной решётке наподобие медовых сотов. А Карлос Дж. Морено из Университета г. Нью-Йорка и Фримен Дж. Дайсон из Института высших исследований отметили, что физики начинают применять результаты Рамануджана в теории суперструн.

Фигура Рамануджана как математика тем более удивительна, что его формальное образование было весьма ограниченным. Он родился 22 декабря 1887 г. в небогатой семье касты браминов в местечке Эрод на юге Индии и вырос в городке Кумбаконаме, где его отец служил бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Его математический талант был замечен очень рано, и в возрасте 7 лет он получил право на стипендию для учёбы в средней школе Кумбаконама. Он поражал одноклассников тем, что помнил наизусть сложные математические формулы и много знаков числа ;.

В 12 лет Рамануджан изучил обширный труд С. Л. Лоуни «Плоская тригонометрия», включая рассмотренные там суммы и произведения бесконечных последовательностей, которым суждено было занять важное место в его последующих работах. Через три года Рамануджан достал книгу «Сборник элементарных результатов чистой математики» (Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics), содержащий свыше 6000 теорем (большей частью без доказательств) и составленный преподавателем Кембриджского университета Дж. Ш. Карром. Две эти книги и стали основой математической подготовки Рамануджана.

В 1903 г. Рамануджан был принят в местный колледж (входивший в состав Мадрасского университета. – Перев.). Однако поглощённый своими математическими изысканиями в ущерб всему остальному, он провалился на экзаменах; то же самое повторилось четыре года спустя в другом колледже в Мадрасе. После женитьбы в 1909 г. Рамануджан на время оставил своё увлечение и попробовал найти работу. К счастью, в 1910 г. по pекомендации многих сочувствующих Рамануджану индийских математиков на него обратил внимание богатый любитель и покровитель математики Р. Рамачандра Рао. Под впечатлением открытий, законспектированных Рамануджаном в его «Тетрадях», Рамачандра Рао предоставил ему ежемесячное пособие.

В 1912 г., желая всё-таки иметь работу, Рамануджан устроился бухгалтером в Трест мадрасского порта, который возглавлял английский инженер Френсис Спринг. Вместе с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айяром они уговорили Рамануджана сообщить свои результаты трём известным английским математикам. Двое из них, по-видимому, не отозвались. Третьим был Г. Г. Харди из Кембриджского университета, признанный теперь самым выдающимся английским математиком того времени.

Харди, привыкший к письмам от всякого рода «умников», получив послание Рамануджана 16 января 1913 г., сначала был склонен его проигнорировать. Однако вечером того же дня он решил вместе с коллегой и близким другом Джоном И. Литлвудом поломать голову над списком из 120 формул и теорем, которые Рамануджан приложил к своему письму. Через несколько часов они «вынесли приговор» – перед ними работа не маньяка, а гения. (По составленной Харди позднее «шкале чистого таланта» для математиков Рамануджан получил 100 баллов, Литлвуд – 30, а себе Харди поставил 25. Немецкий математик Давид Гильберт, самая влиятельная фигура в математике того времени, заслужил только 80.) Этот эпизод и то, что за ним последовало, по словам Харди, было единственным романтическим событием его жизни. Он писал, что некоторые формулы Рамануджана его совершенно ошеломили, но тем не менее «они, несомненно, верны, ибо если бы они были неверны, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать».

Харди немедленно пригласил Рамануджана приехать в Кембридж. Но серьезные возражения со стороны матери и собственные колебания задержали его отъезд до марта 1914 г. В течение следующих пяти лет Харди и Рамануджан работали совместно в Тринити-Колледже Кембриджского университета. Сочетание блестящего мастерства Харди-аналитика и фантастической интуиции Рамануджана привело к необычайно плодотворному сотрудничеству. Они опубликовали серию основополагающих работ о свойствах различных теоретико-числовых функций, открывавших путь для ответа на вопросы типа: каково наиболее вероятное число простых делителей у данного целого числа? Сколькими способами можно выразить натуральное число в виде суммы меньших натуральных чисел?

В 1917 г. Рамануджан стал действительным членом Лондонского королевского общества и профессором Кембриджского университета. Впервые индиец был удостоен того и другого звания. Слава его росла, однако здоровье резко ухудшилось. В военное время, когда в Великобритании остро ощущалась нехватка продовольствия, трудно было придерживаться вегетарианской диеты, которую он строго соблюдал. Рамануджан не раз попадал в больницу, но поток его новых результатов не иссякал. В 1919 г., когда война закончилась и путешествия за границу снова стали безопасными, он вернулся в Индию. Ставший кумиром молодых индийских интеллектуалов 32-летний Рамануджан умер 26 апреля 1920 г., как тогда думали, от туберкулёза, но, скорее, как считают теперь, от острого недостатка витаминов. [Это было в 1987 г. В 1994 г. произошёл новый поворот. Проанализировав симптомы и историю болезни Рамануджана Д. Янг поставил свой диагноз: гепатический амёбиаз; см. подробности на второй странице статьи Б. Берндта «An Overview of Ramanujan’s Notebooks». Кстати, эту весьма интересную публикацию можно рассматривать как продолжение статей В.И.Левина. – E.G.A.] До конца преданный математике Рамануджан и в последние месяцы жизни, измученный болезнью, продолжал свой труд и создал замечательную работу, записанную в его так называемой «Потерянной тетради».

Результаты Рамануджана, касающиеся числа ;, связаны большей частью с его исследованиями модулярных уравнений – темы, наиболее подробно раскрытой в «Тетрадях». Грубо говоря, модулярное уравнение – это алгебраическое соотношение между функцией от некоторой переменной x, т.е. f (x), и той же функцией от переменной x, возведенной в некоторую целую степень, например f (x2), f (x3) или f (x4). Эта целая степень задает «порядок» модулярного уравнения. Простейшим модулярным уравнением является уравнение 2-го порядка
f (x) = 2;f (x;)

Конечно, не всякая функция удовлетворяет какому-нибудь модулярному уравнению. Но существует класс функций, обладающих этим свойством. Они называются модулярными функциями. Кроме того, модулярное уравнение выполняется только при определённых значениях x, а именно тех, которые являются «решениями» данного уравнения.

Рамануджан не имел себе равных в умении «откапывать» решения модулярных уравнений, удовлетворяющие также некоторым другим условиям. Такие решения называются сингулярными. Оказывается, поиски сингулярных решений в некоторых случаях приводят к числам, натуральные логарифмы которых совпадают с ; (умноженным на константу) в поразительно большом числе десятичных знаков. Виртуозно пользуясь этим общим приемом, Рамануджан построил для приближения ; много замечательных бесконечных рядов и одночленных формул. Некоторые из них приведены в его единственной формальной статье на эту тему «Модулярные уравнения и приближения к ;», опубликованной в 1914 г.

Своими попытками вычислять ; Рамануджан отдал дань древней традиции. Уже в самых ранних индо-европейских цивилизациях было известно, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, а длина окружности пропорциональна её диаметру. Правда, не совсем ясно, когда впервые было осознано, что отношение длины любой окружности к её диаметру и отношение площади любого круга к квадрату его радиуса равны одной и той же постоянной, которую принято обозначать символом ;. (Сам этот символ был введен гораздо позднее – в 1706 г. английским математиком-любителем Уильямом Джонсоном и стал широко употребляться благодаря поддержке крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера.)

Величайший математик древности Архимед из Сиракуз строго доказал равенство двух указанных отношений в своем трактате «Измерение круга». Он вычислил и приближённое значение ;, причём на основе математических принципов, а не прямых измерений длины окружности, площади круга и диаметра. Архимед вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники (т.е. многоугольники со сторонами одинаковой длины). Диаметр окружности принимался за единицу, а периметры описанного и вписанного многоугольников рассматривались как приближения соответственно сверху и снизу к длине окружности, которая в данном случае численно совпадала с ; (см. вкладку [1]).

Этот метод приближения ; не был новшеством: ещё раньше вписывать многоугольники с возрастающим числом сторон предложил Антифон, а его современник Брисон из Гераклеи дополнительно ввёл описанные многоугольники. Новшеством был выполненный Архимедом правильный расчет результата удвоения числа сторон как вписанного, так и описанного многоугольников. Тем самым он разработал процедуру, повторение которой достаточное число раз в принципе позволяет вычислить ; с любым количеством знаков. (Следует заметить, что периметр правильного многоугольника легко вычисляется с помощью простых тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса, однако во времена Архимеда, т.е. в III в. до н.э., эти функции ещё не были полностью изучены и вычисление периметров было далеко не таким легким делом, как может сейчас показаться.

Метод Архимеда приближения к ; состоял в том, что в окружность диаметра 1 вписывались и около неё описывались правильные многоугольники. Периметры вписанных многоугольников служат соответственно нижними и верхними границами для значения ;. Для нахождения периметров можно, как здесь показано, воспользоваться синусами и тангенсами, однако Архимеду пришлось изобретать эквивалентные соотношения на основе геометрических построений. С помощью 96-угольника он установил, что ; больше, чем 310/71, и меньше, чем 31/7.

Развитие анализа в основном трудами Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница позволило намного ускорить вычисление приближённых значений ;. В анализе существуют эффективные методы нахождения для функции её производной и интеграла. С помощью этих методов можно показать, что обратные тригонометрические функции представляются в виде интегралов от квадратичных функций, связанных с окружностью.

Связь между тригонометрическими функциями и алгебраическими выражениями станет понятней, если рассмотреть окружность единичного радиуса с центром в начале координат на декартовой плоскости х-у. Уравнение этой окружности (её площадь численно совпадает с 😉 имеет вид х2 + y2 = 1; оно получается по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 1. Синус и косинус угла между положительной полуосью х и радиусом, проведённым в любую точку окружности, равны соответственно координатам y и x этой точки, а его тангенс равен y/x.

Однако для вычисления ; гораздо важнее тот факт, что обратную тригонометрическую функцию можно разложить в ряд, члены которого выражаются через её производные. Сам Ньютон нашёл 15 знаков ;, суммируя несколько первых членов ряда для арксинуса. Позднее он писал одному из коллег: «Мне стыдно сказать вам, до скольких знаков я выполнил эти вычисления, не занимаясь больше ничем».

В 1674 г. Лейбниц вывел формулу 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + . = ;/4 (арктангенс единицы). (Общий ряд для арктангенса был открыт в 1671 г. шотландским математиком Джеймсом Грегори, хотя аналогичные выражения, по-видимому, были получены в Индии на несколько столетий раньше.) Погрешность этого приближения, определяемая как разность между суммой n членов ряда и точным значением ;/4, приблизительно равна (n+1)-му члену. Так как знаменатель каждого следующего слагаемого возрастает лишь на два, то, чтобы получить приближение с точностью до двух знаков, приходится суммировать около 50 членов, с точностью до трех знаков – около 500 и т. д. Таким образом, этот ряд практически непригоден для нахождения более чем нескольких первых знаков ;.

Спасла положение формула Джона Мэчина: ;/4 = 4 arctg(1/5) – arctg(1/239). Поскольку ряд для арктангенса при заданном значении переменной сходится тем быстрее, чем меньше это значение, благодаря этой формуле вычисления сильно упростились. Пользуясь своей формулой и рядом для арктангенса, Мэчин в 1706 г. вычислил 100 знаков ;. Его метод оказался столь мощным, что с начала XVIII в. и до самого недавнего времени все вычисления ; с большим числом знаков были выполнены с помощью тех или иных вариантов этого метода.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВАЛЛИСА (1665)
;
;

Cриниваса Рамануджан — великий индийский математик.

Cриниваса Рамануджан и Готфри Харди

Сринива́са (Шриниваса) Рамануджа́н Айенго́р, Сринивасана — это часть родового имени, которая присваивается ребёнку по имени отца, Рамануджан — имя, Айенго́р — слово обозначающее касту брахманов.

Cриниваса Рамануджан считается одним из мировых математических гениев. Он внес значительный вклад в аналитическую теорию чисел, работал над эллиптическими функциями, непрерывными дробями и бесконечными рядами чисел.

Его труды до сих пор изучаются, а результаты исследований используются даже в областях совершенно далеких от математики – в компьютерном дизайне, полимерной химии и даже в изучении рака. Кроме того, современные ученые, в том числе и Стивен Хокинг, сделали вывод, что некоторые формулы Рамануджана объясняют поведение черных дыр.

Детство и юность

Рамануджа́н родился 22 декабря 1887 года в доме своей бабушки в Эроде, небольшой деревне примерно в 400 км к юго-западу от Мадраса (штат Тамилнаду). Когда Рамануджану был один год, его семья переехала в город Кумбаконам, около 160 км от Мадраса (Ченная).

Отец будущего математика работал клерком. Родители относились к высшей привилегированной касте Брахманов (священнослужителей), хотя и были бедны как и многие окружающие их крестьяне и торговцы. В семье Шринива́са родились еще три ребенка, но все умерли в младенчестве.
Отец Рамануджана проводил на работе большую часть дня, а мать была домохозяйкой. По некоторым данным, она была необычного ума женщиной, которая осознавала гениальность сына и гордилась всеми его успехами. Но, выросшая в строгих замкнутых религиозных убеждениях, воспитывала сына в соответствии с брахманской культурой и ритуальными традициями.

Он научился петь религиозные песни, посещать пуджи в храме, и поддерживать строгие привычки в еде. Желая счастья своему единственному ребенку, она все же не до конца понимала его стремление посвятить всю жизнь математическим формулам и вычислениям, поэтому ограничивала его и тормозила развитие возможно гениальнейшего ученого Индии.

Колонизация страны Великобританией тоже мало способствовала научному развитию страны, закрывая многие возможности перед талантливыми индийцами, что непосредственно коснулось и Рамануджана.

Как полагалось детям брахманов, в пятилетнем возрасте Рамануджан пошел в школу в Кумбаконаме. Сначала он поражал учителей своей удивительной памятью, запоминая страницы их сложнейших санскритских учений. Но в большей степени его уникальная память проявилась, когда мальчик наизусть воспроизводил все цифры числа пи, которые запомнить были не в состояния даже многие учителя, а также проводя сложные вычисления в уме. Так начала проявляться главная страсть его жизни.

В средней школе он ставил учителей в тупик своими вопросами о «высшей истине» в математике, самостоятельно занимался изучением тригонометрии и помогал знакомому студенту из университета решать наисложнейшие задачи.

В 13 лет он начал самостоятельно открывать теоремы, которые оказывались уже открытыми до него, таким образом обнаружив, что книги, имевшиеся в его распоряжении, содержат далеко не все знания, которые накопила математическая наука к тому времени. С 14 лет его начали награждать школьными грамотами, и Рамануджан помогал школьным учителям даже проводить экзамены для определения уровня подготовки старшеклассников.

В 15 лет юный математик вывел свой собственный метод для решения Квартика — математического уравнения четвертой степени.

В 1903 году, когда ему было 16 лет, Рамануджану удалось достать практически единственную книгу по высшей математике в городе. Это был двухтомник Г.С. Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», который содержал более 6000 теорем, формул и уравнений в области теоретической и прикладной математики, аналитической геометрии, тригонометрии и алгебре.

Считается, что именно после изучения этого достаточно систематического и основательного, хотя и не полного математического труда гениальные способности Рамануджана начали проявляться с большей силой. В следующем году, Рамануджан самостоятельно разработал и исследовал числа Бернулли и вычислил постоянную Эйлера — Маскерони до 15 чисел после запятой. На школьных экзаменах Рамануджан получил самые высокие баллы в районе по арифметике, английскому, тамильскому и географии.

Первые признания

Благодаря своим признанным в школе математическим талантам Рамануджан получил бесплатное обучение в университете Мадрасса, но не смог остаться там надолго (его отчислили), т.к. его увлекала только математика, собственные исследования занимали все свободное и несвободное время, а экзамены по другим наукам он попросту провалил. В 1906 году он попытался вновь поступить в этот университет, но тяжелая болезнь заставила его вновь вернуться домой в Кумбаконам. Следующие три года он полностью посвятил своим математическим формулам, которыми исписывал свои ставшие после его смерти известными записные книжки.

Вскоре он женился, и ему пришлось искать работу. Кое-какой доход приносило репетиторство, но чтобы прокормить семью, нужна была настоящая работа. Так и не получив высшего образования, молодой математик обращался ко многим влиятельным чиновникам с просьбой о работе, но мало кто хотел помогать нищему индусу.

Так продолжалось до тех пор, пока он не познакомился с известным сановником Рамачандром Рао. Он был первый, кто понял величайший математический талант Рамануджана, и старался использовать все свое влияние, чтобы сделать его жизнь более легкой и продвинуть в научной карьере.

Вначале Рамачандр старался помогать юному математику из своих личных средств, но видя, что того не устраивает такое положение, нашел для него должность счетовода в городском почтовом отделении. Это была не денежная, но удобная для дальнейшей исследовательской деятельности работа, которая предоставляла необходимые время и условия для научного труда.

Благодаря этому в 1911 году в «Журнале Индийского математического общества» было напечатано несколько задач и собственная статья, которые сделали Рамануджана известным в научных кругах страны. А через 2 года он решился отдать результаты своих трудов на более высокий компетентный суд, выбрав для этого Кембриджский университет, который был центром математической мысли Великобритании. С этой целью он начал переписку с Годфри Харольдом Харди, еще молодым, но талантливым и продвинутым математиком.

Жизнь в Англии

Переписка заняла несколько лет, Харди распознал в молодом математике гения, возможно равного Эйнштейну. Его привлекли не столько математические знания индуса, сколько его необычный подход и стремление к еще не познанным областям науки. Позже Г.Харди добился его прибытия в Англию для дальнейшей совместной работы.

Перед поездкой Рамануджан специально готовился к европейской жизни, чтобы не быть изгоем: подстриг волосы на европейский манер, чем немало расстроил маму, учился носить европейскую одежду и есть не руками, а ложкой, ножом и вилкой. И, конечно, активно изучал английский, чтобы без препятствий общаться с профессорами и студентами.

Cриниваса Рамануджан и Готфри Харди

Харди поражал неожиданный подход Рамануджана к решению ранее не решаемых математических задач, он видел, как индийский математик интуитивно выводит формулы, которые не сразу может доказать, но сразу понимает, что они истинны.

Первое время в Кембридже Рамануджан посвятил восполнению пробелов в математике. Г.Харди удивлялся, насколько просто индус справлялся с наисложнейшими модулярными уравнениями и цепными дробями, но при этом не имел ни малейшего понятия об элементарной функции комплексного переменного и необходимости доказательств любых научных гипотез.

С доказательством собственных уравнений и функций у Рамануджана было немало проблем. Он утверждал, что уравнения и формулы, которые возникают у него в голове, во сне ему подсказывает богиня Намаккаль. А знание, представленное в виде цифровых выражений, по его мнению, не может быть неистинным.

Для решения всех этих проблем Харди и его друг и одновременно талантливый математик Джон Литлвуд проводили индивидуальные занятия с Рамануджаном, где восполняли его недостающие знания и одновременно обсуждали новые математические идеи Рамануджана.

Утверждать, что все его пребывание сводилось только к скрупулезному изучению математической науки, нельзя. Он с удовольствием общался с другими студентами из Индии, посещал музыкальные мероприятия. По воспоминаниям как Харди так и некоторых студентов, в беседе он поддерживать любые темы, начиная от политики до философии.

Осенью 1914 года это эффективное сотрудничество было нарушено – началась Первая мировая война, многие студенты и преподаватели, в том числе и Литлвуд, были мобилизованы. По мнению самого Г.Харди, одного учителя явно не хватало ученику подобного Рамануджану. Сам же английский математик остался в университете, так как медицинская комиссия не допустила его к военной службе.

Военная ситуация не только притормозила обучение Рамануджана, но и привела к некоторым бытовым трудностям: отсутствие овощей негативно сказалось на его питании и вынудило просить друзей из Индии прислать по почте масло и семена растений, чтобы была возможность выращивать самому пищу.

За годы, проведенные в английском университете, Рамануджан успешно выпустил 21 статью, пять из которых были написаны совместно с Г.Харди.

Вскоре у Рамануджана начались серьезные проблемы со здоровьем. До сих пор доподлинно не известно, от какой именно болезни страдал Ранамуджан. Некоторые исследователи называют туберкулез, другие уверены, что это был амебиоз (инфекционное заболевание, поражающее кишечник). Влажный климат Англии, недоверие к европейским врачам, сложности с вегетарианским питанием сказались на нем и привели к резкому ухудшению здоровья.

Около двух лет Рамануджан пытался выехать обратно в Индию, но отъезд постоянно откладывался или из-за трудностей морских переездов в связи с военной ситуацией или из-за ухудшения его состояния. Но все эти годы, даже находясь в больнице, Рамануджан продолжал заниматься математикой.

Осенью 1918 года он был направлен на длительное лечение в один из санаториев Уэльса. Лечение принесло некоторые плоды, и он вновь взялся за свои исследования. Результатом было признание Рамануджана европейским научным сообществом. Он стал первым индийцем, который получил должность профессора Кембриджского университета и был избран в члены Английского Королевского общества.

Возвращение домой

В 1919 врачи были уверены, что его здоровью уже ничего не угрожает, и Рамануджан решает посетить родину, чтобы наконец повидаться с семьей. Но тяжелый многомесячный переезд вернул болезнь, и домой он вернулся очень слабым и абсолютно больным. Практически год родные и друзья прилагали всевозможные усилия, чтобы он получал самую лучшую врачебную помощь. Но ученый был настолько одержим своими новыми открытиями, что не уделял должного внимания лечению и своему здоровью. Помочь ему уже было невозможно, и он умер 26 апреля 1920 года.

Его жене на тот момент было всего 21 год, детей у них не было, но она так и не вышла замуж во второй раз. Она жила достаточно бедно, пока в 60-е годы Рамануджан не стал неким героем Индии, и ей стали выплачивать пенсии и награды. Оказывается, самое известное изображение Рамануджана – это фотография из его паспорта, которую она отдала одному из математиков-поклонников трудов индийского ученого. Она прожила на 73 года дольше мужа и умерла в 1994 году.

Математика Рамануджана

Для Харди новость о смерти друга стала неожиданной. Осознавая уникальность Рамануджана, он начал работу над его научным наследством, пытаясь сохранить все его труды и открытия, которые содержались главным образом в письмах и записных книжках. Одна из этих книжек была надолго потеряна и найдена много лет спустя в 1976.

Индийскому ученому-самоучке п ринадлежит более 4000 теорем и уравнений, многие из которых он оставил недоказанными . Подводя итог их дружбе и совместным исследованиям, Г.Харди сделал вывод: «Я научился у него большему, чем он узнал от меня».

Ученый предпринял попытку определить источник удивительных знаний индийского математика, взявшись за изучение той научной литературы, которая ему была доступна в Индии. Оказалось, что о существовании многих математических теорий Рамануджан не подозревал, но вывел их абсолютно самостоятельно, пройдя в одиночку за несколько лет многовековой период математических изысканий европейских ученых.

Рамануджан не остался забытым всеми математиком. Его труды до сих пор изучаются и используются в современной науке. В память о нем и его достижениях в саду Промышленного и технологического музея Бирлы в Калькутте был поставлен бюст, а о его жизни было снято два замечательных фильма: в 2014 «Рамануджан» производства Индии и «Человек, который познал бесконечность» в 2015 производства Великобритании.

кадры из фильма «Человек, который познал бесконечность»

Математические открытия

1. «Круговой метод» Рамануджана-Харди.

Самой известной его работой, совместно с профессором Харди, является работа по разбиению натуральных чисел. То есть представление какого-либо натурального числа N в виде суммы других натуральных чисел.

Например, <3,1,1>или <3,2>— разбиения числа 5, поскольку 5 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2. Всего существует p(5) = 7 разбиений числа 5: <1,1,1,1,1>, <2,1,1,1>, <2,2,1>, <3,1,1>, <3,2>, <4,1>, <5>.

1. Тождество Рамануджана — формула, единственная в своём роде, связывающая бесконечный ряд и бесконечную цепную дробь.

Используется для решения моделей статистической механики, в том числе модели «жесткого гексагона».

1. Модулярная функция и уравнения Рамануджана.

Модулярное уравнение – это алгебраическое соотношение между функцией от некоторой переменной x, т.е. f (x), и той же функцией от переменной x, возведенной в некоторую целую степень, например f (x2), f (x3) или f (x4). Эта целая степень задает «порядок» модулярного уравнения.

Используется в квантовой теории и теории суперструн. Его функция определяет 10 пространственно-временных измерений и помогает современным исследователям изучать вопрос происхождения Вселенной.

Расширение мнимых модулярных функций позволяет физикам в вычислении и описании таких явлений как энтропия, уровень хаоса, черных дыр.

Суммирование методом Рамануджана: 1 + 2 + 3 + … + ∞ = −1/12?

«Что ты несёшь? Этого не может быть!»

В качестве эпиграфа я взял то, что сказала мне мама, узнав от меня об этой маленькой математической аномалии. И это именно аномалия. В конце концов, это противоречит основам логики. Как может сумма натуральных чисел равняться не только отрицательной величине, но ещё и отрицательной дроби? Что за дребедень?

Прежде чем начать: мне указали на то, что в данной статье слово «сумма» я использую в нетрадиционном смысле, ибо все ряды, о которых я говорю, не стремятся естественным образом к определённому числу. Так что речь идёт о другом типе сумм, а именно о суммировании методом Чезаро. Для всех, кто интересуется математикой: суммирование по Чезаро присваивает значения некоторым бесконечным суммам, которые не сходятся в обычном смысле. Согласно Википедии, «сумма Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда при n, стремящемся к бесконечности». Добавлю, что в данной статье используется понятие счётной бесконечности, то есть идёт речь о таком бесконечном множестве чисел, при котором, имея достаточно времени, можно сосчитать до любого числа множества. Это позволяет мне применять в уравнениях некоторые обычные математические свойства, такие как коммутативность (аксиома, которую я использую на протяжении всей статьи).

Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887—1920), выдающийся индийский математик.

Для тех из вас, кто незнаком с рядом, известным как суммирование методом Рамануджана (Сриниваса Рамануджан (Srinivasa Ramanujan) — выдающийся индийский математик), объясняю: такое суммирование означает, что, складывая все натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4 и так далее, вплоть до бесконечности, вы получите результат −1/12. Ага, −0,08333333333.

Вы не верите мне? Читайте дальше, и узнаете, как я доказываю это путём доказательства истинности двух одинаково безумных утверждений:

1. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 … = 1/2

2. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4

Прежде всего, расскажу о главном — о волшебном преобразовании, без которого невозможны доказательства двух данных утверждений.

Возьмём ряд A, который представляет собой бесконечное повторение 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1. Я запишу это так:

A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …

Теперь маленький трюк: вычту А из 1.

1 − A = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …)

Пока всё правильно? Настало время перейти к волшебству. Упростив правую часть уравнения, я получаю кое-что весьма странное:

1 − A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 …

Не правда ли, что-то такое уже было? Подсказываю: это A. Да, в правой части уравнения оказался ряд, с которого мы начали. Теперь я могу заменить всю правую часть на букву A, немного поупражняться в применении алгебры средней школы — и опля!

Эта маленькая прелесть — ряд Гранди, названный в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (Guido Grandi). Вот и всё, что есть интересного в этом ряде, и, хотя лично для меня он самый замечательный, с ним не связано никаких крутых историй или открытий. Однако именно он позволяет построить доказательство для многих интересных вещей, включая очень важное для квантовой механики и даже для теории струн уравнение. Но об этом чуть позже. А пока перейдём к доказательству утверждения №2: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4.

Приступим к делу так же, как и выше. Пусть мы имеем ряд B: В = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … Теперь с этим можно поиграть. Для начала вычтем B из A. По правилам математики мы получаем следующее:

A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …)

A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − 1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 …

Затем слегка перемешаем элементы, чтобы получился ещё один интересный паттерн.

A − B = (1 − 1) + (−1 + 2) + (1 − 3) + (−1 + 4) + (1 − 5) + (−1 + 6) …

A − B = 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5 …

И снова мы пришли к ряду, с которого начали, а поскольку нам уже известно, что A = 1/2, мы, используя основы алгебры, можем завершить доказательство нашего второго умопомрачительного факта.

Вуаля! У данного уравнения нет эффектного названия, ибо известно оно давно, и за долгие годы многие математики сумели выполнить его доказательство, что, однако не помешало им считать это уравнение парадоксальным. Как бы то ни было, оно будоражило умы учёных и даже помогло Эйлеру более широко подойти к решению «базельской проблемы», а также привело к исследованию важных математических функций, таких как дзета-функция Римана.

А теперь вишенка на торте, которую вы так долго ждали, — гвоздь программы. Первые шаги похожи на те, которые мы делали раньше: возьмём ряд C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …, а дальше, как вы, возможно, догадались, вычтем C из B.

B − C = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) — (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

Поскольку математика по-прежнему безупречна, поменяем некоторые числа местами, чтобы получить кое-что знакомое, но, вероятно, не то, о чём вы подумали.

В − С = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) − 1 − 2 − 3 − 4 — 5 − 6 …

В − С = (1 − 1) + (−2 − 2) + (3 − 3) + (−4 − 4) + (5 − 5) + (−6 − 6) …

B − C = 0 − 4 + 0 − 8 + 0 − 12 …

Это не то, что вы ожидали, верно? Но сейчас вы не сможете удержаться от возгласа «Вау!», ибо я готов выполнить ещё один, последний трюк, который стоит того, чтобы им восхищаться. Возможно, вы заметили, что все числа с правой стороны кратны числу −4. Следовательно, мы можем вынести этот постоянный множитель за скобки — и вновь прийти к тому, с чего начали!

В − С = −4 (1 + 2 + 3) …

А поскольку, как мы выяснили ранее, B = 1/4, получаем наш волшебный результат:

1/−12 = C, или C = −1/12.

Теперь объясню, почему этот результат важен. Во-первых, он используется в теории струн. Увы, в её первоначальной версии (в теории бозонных струн), а не в версии Стивена Хокинга (Stephen Hawking). К сожалению, теория бозонных струн несколько устарела, и сегодня учёные предпочитают суперсимметричную теорию струн, но исходная теория всё ещё используется для понимания суперструн, которые являются неотъемлемыми элементами вышеупомянутой обновлённой теории струн.

Во-вторых, суммирование по методу Рамануджана оказало большое влияние на развитие общей физики, особенно при осмыслении явления, известного как эффект Казимира. Хендрик Казимир (Hendrik Casimir) предсказал, что две незаряженные проводящие пластины, помещённые в вакуум, будут притягиваться друг к другу из-за присутствия виртуальных частиц, порождаемых квантовыми флуктуациями. Моделируя количество энергии между пластинами, Казимир использовал то самое уравнение, истинность которого мы только что доказали. Вот почему этот результат такой важный.

Итак, вы познакомились с открытым в начале 1900-х годов суммированием по методу Рамануджана, которое, хоть и прошло сто лет, всё ещё играет важную роль при решении проблем во многих областях физики и которое, если заключать пари с несведущими людьми, всё ещё может приносить победу.

P.S. Если у вас не пропал интерес к безумному уравнению Рамануджана и вы хотите узнать больше, то у меня есть для вас ссылка на беседу с двумя физиками. Они пытаются объяснить данное уравнение и показать его полезность и значимость. Это красиво, коротко и очень интересно.

Из серии рассказов на математические темы «Канторовский рай» («Cantor’s Paradise»).