Момент силы уравнение движения для момента импульса

Лекция №5. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Динамика поступательного движения твердого тела.

Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.

Разобьем твердое тело на элементарные массы m_i , тогда его можно представить как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Поэтому для описания поступательного движения тела можно использовать закон изменения импульса механической системы

p = $$<\sum_^n>$$ m_i υ _i=m υ _C — импульс всех материальных точек твердого тела.

Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс

Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.

4.2. Момент импульса. Момент силы.

Момент силы. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F называется моментом силы материальнойточки относительно некоторого центра

Пусть на частицу массой m действует сила F , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент силы частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.1). Направление момента силы M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора r к силе F , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору F (рис. 4.2.1). Тогда модуль вектора момента силы равен

где d=r sin α − плечо силы относительно точки O .

Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси, есть скалярная величина, характеризующая вращательное движение действия силы и равная произведению модуля силы F , действующей на твердое тело, на плечо силы d относительно этой оси.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:

Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс m υ называется моментом импульса материальной точки относительно некоторого центра

Пусть частица массой m имеет импульс p , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент импульса частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.4). Направление момента импульса совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора к импульсу p , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору p (рис. 4.2.2). Тогда модуль вектора момента импульса равен

где d − плечо импульса относительно точки O .

Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.

Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.

Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂, . m_n движущихся со скоростями υ ₁, υ ₂, . υ _n . Пусть на каждую из этих точек действуют: равнодействующие внутренних сил F i ₁, F i ₂, . F i _n , и равнодействующие внешних сил F e ₁, F e ₂, . F e _n .

Запишем уравнения движения частиц:

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим

Преобразуем данные уравнения

Сложим эти уравнения и получим

В последнем уравнении:

Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы всегда равна нулю, т. е. $$<\sum_^n>$$ M i _i=0 , получим основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки (или иначе закон изменения момента импульса механической системы ).

4.4. Закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил $$<\sum_^n>$$ M e _i=0 , то получим

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.

4.5. Момент инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [I]=1 кг · м 2 .

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела I_z относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси:

Уравнение моментов: моменты силы, импульса и инерции

Если линейное перемещение тел описывают в классической механике с помощью законов Ньютона, то характеристики движения механических систем по круговым траекториям вычисляют с помощью специального выражения, которое называется уравнением моментов. О каких моментах идет речь и в чем заключается смысл этого уравнения? Эти и другие вопросы раскрываются в статье.

Момент силы

Всем хорошо известна ньютоновская сила, которая, действуя на тело, приводит к сообщению ему ускорения. Когда же такая сила прилагается к объекту, который закреплен на некоторой оси вращения, то эту характеристику принято называть моментом силы. Уравнение момента силы может быть записано в следующем виде:

Вам будет интересно: Эмфатические конструкции в английском языке: правила составления, особенности перевода

Рисунок, поясняющий это выражение, приведен ниже.

Здесь видно, что сила F¯ направлена к вектору L¯ под углом Φ. Сам же вектор L¯ полагается направленным от оси вращения (указана стрелкой) к точке приложения F¯.

Вам будет интересно: Что такое дендриты и дендритные шипики

Приведенная выше формула представляет собой произведение двух векторов, поэтому величина M¯ также является направленной. Куда будет повернут момент силы M¯? Это можно определить по правилу правой руки (четыре пальца направлены вдоль траектории от конца вектора L¯ к концу F¯, а отставленный палец большой показывает направление M¯).

На рисунке выше выражение для момента силы в скалярном виде примет форму:

Если внимательно всмотреться в рисунок, то можно увидеть, что L*sin(Φ) = d, тогда имеем формулу:

Величина d является важной характеристикой при вычислении момента силы, поскольку она отражает эффективность приложенной F к системе. Эту величину принято называть рычагом силы.

Физический смысл M заключается в способности силы совершить вращение системы. Эту способность может ощутить на себе каждый, если будет открывать дверь за ручку, толкая ее около петель, или же попробует открутить гайку коротким и длинным ключом.

Равновесие системы

Понятие о моменте силы оказывается очень полезным, когда рассматривают равновесие системы, на которую действуют несколько сил, и которая имеет ось или точку вращения. В таких случаях применяют формулу:

То есть система будет находиться в равновесии, если сумма всех моментов сил, приложенных к ней, нулевая. Заметим, что в этой формуле присутствует знак вектора над моментом, то есть при решении следует не забывать учитывать знак этой величины. Общепринятым правилом считается, что действующая сила, которая вращает систему против часовой стрелки, создает положительный Mi¯.

Ярким примером задач рассматриваемого типа являются проблемы с равновесием рычагов Архимеда.

Момент импульса

Это еще одна важная характеристика движения по окружности. В физике ее описывают произведением количества движения на рычаг. Уравнение момента импульса имеет такой вид:

Здесь p¯ — вектор импульса, r¯ — вектор, соединяющий вращающуюся материальную точку с осью.

Поясняющий это выражение рисунок приведен ниже.

Здесь ω — угловая скорость, которая дальше появится в уравнении моментов. Заметим, что направление вектора T¯ находится по тому же правилу, что и M¯. На рисунке выше T¯ по направлению будет совпадать с вектором угловой скорости ω¯.

Физический смысл величины T¯ является таким же, как и характеристики p¯ в случае линейного движения, то есть момент импульса описывает количество вращательного движения (запасенную кинетическую энергию).

Момент инерции

Третья важная характеристика, без которой невозможно составить уравнение движения вращающегося объекта, — это момент инерции. Появляется он в физике в результате математических преобразований формулы для момента импульса материальной точки. Покажем, как это делается.

Представим величину T¯ в следующем виде:

T¯ = r¯*m*v¯, где p¯ = m*v¯

Пользуясь связью между угловой и линейной скоростями, можно переписать это выражение следующим образом:

T¯ = r¯*m*r¯*ω¯, где v¯ = r¯*ω¯

Последнее выражение запишем в виде:

Величина r2*m — это момент инерции I для точки массой m, которая совершает круговое движение вокруг оси на расстоянии от нее r. Этот частный случай позволяет ввести общее уравнение момента инерции для тела произвольной формы:

I — это аддитивная величина, смысл которой заключается в инерционности вращающейся системы. Чем больше I, тем труднее раскрутить тело, и необходимо приложить значительные усилия, чтобы его остановить.

Уравнение моментов

Мы рассмотрели три величины, название которых начинается со слова «момент». Это сделано было намеренно, поскольку все они связаны в одно выражение, получившее название уравнения 3 моментов. Выведем его.

Рассмотрим выражение для момента импульса T¯:

Найдем, как изменяется величина T¯ во времени, имеем:

Учитывая, что производная угловой скорости равна таковой для скорости линейной, деленной на r, а также раскрывая величину I, приходим к выражению:

dT¯/dt = m*r2*1/r*dv¯/dt = r*m*a¯, где a¯ = dv¯/dt — линейное ускорение.

Заметим, что произведение массы на ускорение — это не что иное, как действующая внешняя сила F¯. В итоге получаем:

Мы пришли к интересному выводу: изменение момента импульса равно моменту действующей внешней силы. Это выражение принято записывать в несколько иной форме:

M¯ = I*α¯, где α¯ = dω¯/dt — угловое ускорение.

Это равенство называется уравнением моментов. Оно позволяет рассчитать любую характеристику вращающегося тела, зная параметры системы и величину внешнего воздействия на нее.

Закон сохранения T¯

Полученный в предыдущем пункте вывод свидетельствует о том, что если внешний момент сил будет равен нулю, то момент импульса меняться не будет. В таком случае запишем выражение:

T¯ = const. или I1*ω1¯ = I2*ω2¯

Эта формула носит название закона сохранения величины T¯. То есть любые изменения внутри системы суммарный момент импульса не меняют.

Этот факт используется фигуристами и балеринами во время их выступлений. Также его применяют, если необходимо выполнить поворот вокруг своей оси искусственного спутника, движущегося в космосе.

Вращение твердого тела

Для кинематического описания процесса вращения твердого тела нужно ввести такие понятия как угловое перемещение Δ φ , угловое ускорение ε и угловая скорость ω :

ω = ∆ φ ∆ t , ( ∆ t → 0 ) , ε = ∆ φ ∆ t , ( ∆ t → 0 ) .

Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.

Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.

Рисунок 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O .

Если угловое перемещение Δ φ мало, то модуль вектора линейного перемещения ∆ s → некоторого элемента массы Δ m вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:

в котором r – модуль радиус-вектора r → .

Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства

Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:

Векторы v → и a → = a τ → направлены по касательной к окружности радиуса r .

Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.

Модуль ускорения выражается формулой:

a n = v 2 r = ω 2 r .

Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты Δ m i , обозначить расстояние до оси вращения через r i , а модули линейных скоростей через v i , то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:

E k = ∑ i ν m v i 2 2 = ∑ i ∆ m ( r i ω ) 2 2 = ω 2 2 ∑ i ∆ m i r i 2 .

Физическая величина ∑ i ∆ m i r i 2 носит название момента инерции I тела относительно оси вращения. Она зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения:

I = ∑ i ∆ m i r i 2 .

В пределе при Δ m → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в С И – килограмм—метр в квадрате ( к г · м 2 ) . Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:

В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела m v 2 2 , вместо массы m в формулу входит момент инерции I . Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости v угловую скорость ω .

Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.

В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.

Положение x C , y C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m 1 и m 2 , расположенными в плоскости X Y в точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 определяется выражениями:

x C = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 , y C = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 .

Рисунок 2. Центр масс C системы из двух частиц.

В векторной форме это соотношение принимает вид:

r C → = m 1 r 1 → + m 2 r 2 → m 1 + m 2 .

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор r C → центра масс определяется выражением

r C → = ∑ m i r i → ∑ m i .

Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для r C → необходимо заменить интегралами.

Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.

Рисунок 3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A 1 , A 2 , A 3 точки подвеса.

На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.

Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.

Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.

Теорема о движении центра масс

Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:

E k = m v C 2 2 + I C ω 2 2 ,

где m – полная масса тела, I C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью v C → и вращения с угловой скоростью ω = v C R относительно оси O , проходящей через центр масс.

В механике используется теорема о движении центра масс.

Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции I C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С . Выберем систему координат Х У с началом координат 0 . Совместим центр масс и начало координат.

Одна из осей проходит через центр масс С . Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р , которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δ m i .

По определению момента инерции:

I C = ∑ ∆ m i ( x i 2 + y i 2 ) , I P = ∑ m i ( x i — a ) 2 + y i — b 2

Выражение для I P можно переписать в виде:

I P = ∑ ∆ m i ( x i 2 + y i 2 ) + ∑ ∆ m i ( a 2 + b 2 ) — 2 a ∑ ∆ m i x i — 2 b ∑ ∆ m i y i .

Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.

Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

I P = I C + m d 2 ,

где m – полная масса тела.

Рисунок 7. Модель момента инерции.

На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 8. Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О . Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.

Δ m i – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть F i → . Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую F i τ → и радиальную F i r → . Радиальная составляющая F i r → создает центростремительное ускорение a n .

Рисунок 9. Касательная F i τ → и радиальная F i r → составляющие силы F i → действующей на элемент Δ m i твердого тела.

Касательная составляющая F i τ → вызывает тангенциальное ускорение a i τ → массы Δ m i . Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

∆ m i a i τ = F i τ sin θ или ∆ m i r i ε = F i sin θ ,

где ε = a i τ r i – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на r i , то мы получим:

∆ m i r i 2 ε = F i r i sin θ = F i l i = M i .

Здесь l i – плечо силы, F i , → M i – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

∑ ∆ m i r i 2 ε = ∑ M i .

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

∑ M = ∑ M i в н е ш н + ∑ M i в н у т р .

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M . Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.

Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω → , ε → , M → определяются как векторы, направленные по оси вращения.

Закон сохранения момента импульса

В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p → . По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.

Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.

Для обозначения момента импульса используется латинская буква L .

Поскольку ε = ∆ ω ∆ t ; ∆ t → 0 , уравнение вращательного движения можно представить в виде:

M = I ε = I ∆ ω ∆ t или M ∆ t = I ∆ ω = ∆ L .

M = ∆ L ∆ t ; ( ∆ t → 0 ) .

Мы получили это уравнение для случая, когда I = c o n s t . Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = I ω относительно данной оси сохраняется: ∆ L = 0 , если M = 0 .

L = l ω = c o n s t .

Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.

В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.

Рисунок 10. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I 1 ω 1 = ( I 1 + I 2 ) ω .

Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.

Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.

Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.

Рисунок 11. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести m g → и силы реакции N → относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = F т р R .

Уравнение вращательного движения:

I C ε = I C a R = M = F т р R ,

где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, I C – момент инерции относительно оси O , проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

m a = m g sin α — F т р .

Исключая из этих уравнений F т р , получим окончательно:

α = m g sin θ I C R 2 + m .

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара I C = 2 5 m R 2 , а у сплошного однородного цилиндра I C = 1 2 m R 2 . Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.