Монотонность в решении уравнений и неравенств

Решение уравнений с помощью монотонности функций

Решение уравнений с помощью монотонности функций позволяет быстро и просто найти корень уравнения (либо доказать, что уравнение корней не имеет).

Использование возрастания и убывания функций при решении уравнений опирается на следующие теоремы.

1) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)).

2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает (либо наоборот), то уравнение f(x)=g(x) на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней.

Доказав, что уравнение имеет на промежутке не более чем один корень, можно попытаться определить его подбором.

Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, каждый из них следует рассмотреть отдельно.

Сумма возрастающих функций — возрастающая функция. Сумма убывающих функций — убывающая функция.

Прибавление или вычитание постоянной величины не влияет на монотонность функции. Если к возрастающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим возрастающую функцию. Если к убывающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим убывающую функцию.

Таким образом, использование монотонности функций при решении уравнений схематически можно изобразить так:

то уравнение имеет единственный корень или не имеет корней.

Разумеется, количество слагаемых может быть больше двух.

Некоторые функции, возрастающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения (k>0, b≥0, n — целое):

1),y = <\log _a>x(a > 1),\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Некоторые функции, убывающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения:

1),y = — <\log _a>x(a > 1),\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Примеры решения уравнений с помощью использования монотонности функций.

Перепишем уравнение в виде

является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

На промежутке (-∞;0) функция

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x= -1.

Аналогично, на промежутке (0:∞)

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x=1.

В алгебре решение уравнений с применением возрастания и убывания функций чаше всего используется при решении иррациональных, логарифмических, показательных уравнений. Полезно взять на вооружение этот удобный и быстрый способ.

2 комментария

Добрый день. Вот это схематическое изображение монотонности очень интересно, но там не все понятно. Что вы подразумеваете под знаками равно и минус? И вот это: сумма убывающих_возрастающая? Буду благодарна комментариям

Елена, «=» — знак равенства между левой и правой частями уравнения.
Сумма убывающих функций — убывающая функция. Соответственно, одна часть уравнения — убывающая функция, а другая — возрастающая, то применима вторая теорема.
Аналогично, сумма возрастающих функций есть возрастающая функция. Если с одной стороны — возрастающая функция, с другой — убывающая, можем применить первую теорему.
Если к монотонно возрастающей функции прибавить число (или вычесть), то это никак не повлияет на её монотонность (это наглядно можно продемонстрировать графически: график функции y=f(x)±b получен из графика y=f(x) параллельным переносом на b единиц вверх или вниз вдоль оси Oy). Поэтому, если в одной части уравнения — монотонно возрастающая функция ± число, а в другой — монотонно убывающая функция, можем применить теорему два. И т.д.

Урок на тему: «Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств» (11 кл.)

Урок на тему: «Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств» (11 кл.)

Всё чаще и чаще «линия уравнений» в школьном курсе математики пересекается с «функциональной линией». В задачниках, в материалах ЕГЭ, в задачах, представленных на вступительных экзаменах в ВУЗы, предлагаются нестандартные уравнения, при решении которых необходимо использовать свойства функций. Владение данный приёмом позволяет более полно оценить уровень знаний ученика, степень его математической подготовки, математической культуры. Большое внимание использованию свойств функций при решение уравнений и неравенств уделено в учебнике под ред. Мордковича и начала анализа. 10 кл. (профильный уровень). Уже в теме «Свойства функций» показано применение монотонности функций, ограниченности при решении уравнений и неравенств (№ 8.29 – 8.35; № 8.51 – 8.52.). Неоднократное обращение авторами учебника к использованию этого приёма при решении тригонометрических уравнений и неравенств (№ 22.57;22.58; 23.35), при исследовании функции с помощью производной (№ 44.69 – 44.71; 44.75 – 44.76; 45.15; 46.39 – 46.40) подчёркивает важность усвоения данного материала учащимися. Но всё же такое «размазанное» расположение задач несколько мешает более полному усвоению приёма применения свойств функций при решении уравнений и неравенств, поэтому необходимо отвести цикл уроков для обобщения этого приёма. Это вполне можно осуществить на занятиях спецкурса по подготовки к ЕГЭ.

Основная цель изучения темы «Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств» – научить учеников применять свои умения в нестандартных ситуациях.

К задачам, поставленным перед учениками в процессе изучения данной темы, следует отнести:

— систематизация знаний перед сдачей Единого Государственного Экзамена (ведь именно в частях В и С предлагаются сложные уравнения и неравенства, решение которых можно значительно упростить, применив свойства функции);

— приобретение необходимого набора умений по решению уравнений и неравенств, тем самым лучше подготовиться к обучению в ВУЗе, где математика является профилирующим предметом;

— изучение основных типов уравнений и неравенств, в которых возможно использование свойств функции;

— повторение свойств функций, упрощающих решение уравнений и неравенств.

Вашему вниманию будет предложен урок на тему «Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств». Эта тема рассчитана на 3 часа. Будет представлен второй урок из этой темы. На первом уроке учащиеся повторили определение, свойства, достаточные условия монотонности функций. Ранее были составлены таблицы «Свойства монотонных функций» (табл. 1) и «Банк монотонных функций» (табл. 2).

К основному содержанию первого урока необходимо отнести теорему, устанавливающую связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.

Второй урок посвящён особому типу уравнений и неравенств, при решении которых используется монотонность функций. На этом уроке будет сформулирован и отработан алгоритм решения уравнений и неравенств такого типа. А также разработана техника составления подобных уравнений и неравенств. В конце урока предложена небольшая творческая работа. Домашнее задание имеет три уровня сложности. В него входят различные этапы доказательства теоремы, уравнения и неравенства, решаемые изученным методом, а также творческая работа по составлению уравнений и неравенств. На уроке предполагается использование презентации по изучаемой теме.

Третий урок должен быть посвящён систематизации и закреплению приёмов решения уравнений и неравенств, изученных на первых двух уроках. После изучения данной темы

учащиеся должны знать:

· определения возрастающей, убывающей, монотонной функций;

· теорему, устанавливающую связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения;

· теоремы о равносильностях для монотонных функций;

· обобщённый алгоритм решения уравнений с использованием монотонности функций;

· виды уравнений и неравенств, решаемых с использованием монотонности функций.

Учащиеся должны уметь:

· находить область определения функций;

· исследовать функцию на монотонность;

· применять алгоритм решения уравнений с использованием монотонности функции к соответствующим видам уравнений. Рассмотрим краткое содержание урока на тему:

«Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств»

1. Проверка домашнего задания.

2. Постановка задачи.

3. Доказательство основной теоремы.

4. Применение теоремы при решении уравнений и неравенств. Формулировка алгоритма.

5. Отработка алгоритма при решении уравнений и неравенств.

6. Формулировка алгоритма, используемого при составлении задач, решаемых изученным методом.

7. Творческая работа.

После проверки домашнего задания ученикам предлагается решить следующее уравнение:

.

Данное уравнение нельзя решить ранее изученными методами. Ученики обращают внимание на то, что если перенести в правую часть второе слагаемое, обе части будут похожи наличием скобок, корня. Если же под корнем левой части выделить полный квадрат, то части будут иметь вид функции . Как это можно использовать? Далее учитель предлагает ученикам рассмотреть теорему, которая подскажет им, как решить данное уравнение. Ученики записывают тему урока: «Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств».

На экране появляется формулировка теоремы.

Теорема. Пусть область существования функций f(x) есть М.

Тогда

А) Если монотонна на промежутке М, то

В) Если на промежутке М, то

С) Если на промежутке М, то

Учитель вместе с учениками доказывает первую часть теоремы. Доказательство записывается в тетрадь. Затем ученикам предлагается решить задания 1 и 2.

Задание 1. Пусть функция определена на интервале и возрастает на нём. Решите уравнение

.

Задание 2. Пусть функция определена на отрезке и убывает на нём. Решите неравенство

.

На экране появляется задание 3, решение которого ученики разбирают вместе с учителем.

Задание 3. Решить уравнение

Рассмотрим функцию

Тогда уравнение можно записать в виде

Исследуем функцию .

Область определения

Функция возрастает, как сумма возрастающих функций.

По теореме имеем:

Учитель предлагает сформулировать алгоритм решения подобных уравнений и неравенств. После предложенной детьми формулировки алгоритм появляется на экране.

1. Ввести функцию . Записать уравнение (неравенство) в виде

( ).

2. Исследовать функцию :

А) область определения

Б) характер монотонности.

3. Применив теорему, получить систему уравнений и неравенств.

4. Решить полученную систему. Записать ответ.

Ученикам предлагается, используя алгоритм, решить следующие уравнения и неравенства.

Решите уравнения и неравенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

После решения предложенных уравнений и неравенств учитель задаёт ученикам вопрос: «Как придумать уравнение или неравенство, решаемое этим методом?» Ученики формулируют алгоритм:

1. Выбрать функции и .

2. Ввести монотонную функцию .

3. Записать уравнение (неравенство) в виде

( ).

Учитель предлагает применить алгоритм к предложенным функциям:

, .

Используя таблицы 1 и 2, ученики вводят монотонную функцию

.

Она возрастает, как сумма возрастающих функций.

Составим неравенство вида :

.

Теперь решим это неравенство.

Учителем предлагается небольшая самостоятельная работа: «Составить и решить изученным методом своё уравнение или неравенство для функций , ».

Дифференцированное домашнее задание предполагает три уровня сложности.

Решите уравнения и неравенства:

1. .

2. .

3. .

Придумайте и решите уравнение и неравенство, решаемые с помощью монотонности функции, если , .

Докажите теорему, часть С.

Решите уравнения и неравенства:

1. .

2. .

3. .

Придумайте и решите уравнение и неравенство, решаемые с помощью монотонности функции.

Докажите теорему, часть А.

Решите уравнения и неравенства:

1. .

2. .

3. .

Придумайте и решите уравнение и неравенство, решаемые с помощью монотонности функции.

В процессе урока предполагается использование следующего раздаточного материала, который ученики вклеивают в справочник по математике.

Использование монотонности функций при решении

уравнений и неравенств

Теорема. Пусть область существования функций f(x) есть М.

Тогда

А) Если монотонна на этом промежутке М, то

В) Если на этом промежутке М, то

С) Если на этом промежутке М, то

Пример применения теоремы.

Рассмотрим функцию

Тогда уравнение можно записать в виде

Исследуем функцию .

Область определения

Функция возрастает, как сумма возрастающих функций.

1. Ввести функцию . Записать уравнение (неравенство) в виде

2. ( ).

3. Исследовать функцию :

i. А) область определения

ii. Б) характер монотонности.

4. Применив теорему, получить систему уравнений и неравенств.

5. Решить полученную систему. Записать ответ.

Как придумать уравнение или неравенство, решаемое этим методом?

1. Выбрать функции и .

2. Ввести монотонную функцию .

3. Записать уравнение (неравенство) в виде

( ).

Пример применения алгоритма

Пусть , .

Введём функцию .

Она возрастает, как сумма возрастающих функций.

Составим неравенство вида :

.

Свойства монотонности функций

,

Возрастающие

, если , причём равенствовыполняется на отдельных точках и ни на каком сплошном промежутке.

, если , причём равенствовыполняется на отдельных точках и ни на каком сплошном промежутке.

1. Алгебра и начала анализа. 10 кл. В 2 ч. Ч.2. задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. . – 2-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2006. – 340 с.: ил.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 11 кл. общеобразовательных учреждений / , , . – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 448 с.: ил. – ISBN -0.

Урок по алгебре и началам анализа «Применение свойства монотонности функций при решении уравнений и неравенств»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Тема: « Применение свойства монотонности функций при решении уравнений и неравенств».

Место урока: урок по алгебре и началам анализа, 11 класс.

Тип урока: комбинированный урок.

Применяемые технологии: личностно-ориентированная.

Цели: повторение .обобщение и закрепление ранее изученного по теме, введение новой информации;

воспитание самостоятельности в выборе индивидуальной образовательной траектории.

Оборудование: компьютер, слайдовый проектор, слайдовые презентации PowerPoint, карточки с тестами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тамбовское областное государственное автономное образовательное учреждение – общеобразовательная школа – интернат

Конспект урока по алгебре и началам анализа

«Применение свойства монотонности функций при решении уравнений и неравенств»

Кузнецова Оксана Евгеньевна

Тема: « Применение свойства монотонности функций при решении уравнений и неравенств».

Место урока: урок по алгебре и началам анализа, 11 класс.

Тип урока: комбинированный урок.

Применяемые технологии: личностно-ориентированная.

Цели: повторение .обобщение и закрепление ранее изученного по теме, введение новой информации;

воспитание самостоятельности в выборе индивидуальной образовательной траектории.

Оборудование: компьютер, слайдовый проектор, слайдовые презентации PowerPoint, карточки с тестами.

1. Устная работа.
2. Объявление темы урока и постановка целей урока.
3. Поиск ошибок в готовых решениях и обоснование решения графическим способом.
4. Формулировки соответствующих теорем.
5. Решение уравнений с использованием этих теорем.
6. Поиск ошибок в готовых решениях и обоснование решения функциональным способом.
7. Формулировки соответствующих теорем.
8. Решение уравнений с использованием этих теорем.
9. Тест на установление соответствия между уравнением и его количеством корней.
10. Поиск ошибок в готовых решениях и обоснование решения функциональным способом.
11. Формулировка соответствующих теорем.
12. Решение неравенств на применение соответствующих теорем.
13. Тест на установление соответствия между неравенством и равносильной системой.
14. Самоопределение каждого обучающегося в дальнейшей деятельности на уроке.
15. ( решение контрольного теста по теме урока или изучение нового материала» Метод замены множителей при решении неравенств»
16. Постановка домашнего задания.
17. Рефлексия.

Ребята! Цель большинства уроков второго полугодия 11 класса- это обобщающее повторение. Девиз нашего урока:

«Никогда не считай, что ты знаешь всё, что тебе уже больше нечему учиться».

Н.Д. Зелинский» ( сл1.)

Вспомним основные типы уравнений и неравенств (сл.2)

Нам известны следующие способы решения уравнений (сл.3)

Уточним, что функционально-графический метод решения задачи — это метод, предполагающий использование при решении свойств и графиков функций, присутствующих в задаче. (сл. 4)

Тема нашего урока: «Применение свойства монотонности функций при решении уравнений и неравенств».(сл.5)

Работаем устно. (сл.6-9)

Найдите ошибку при решении уравнений.
Ответ обоснуйте, используя графическую интерпретацию решения.(сл 10)

(Учащиеся выполняют работу в тетрадях, а затем совместно обсуждают по готовому чертежу) (сл.11)

Формулируются соответствующие теоремы. (сл.12-13)

На применение этих теорем учащиеся самостоятельно решают уравнение

с последующей совместной проверкой. (сл.14-15)

Найдите ошибку при решении уравнений.
Ответ обоснуйте, используя функциональную интерпретацию
решения.(сл.16)

(Учащиеся выполняют работу в тетрадях, а затем совместно обсуждают решение, образец оформления решения можно вывести на экран) (сл.17-18)

(Учащиеся делают выводы.(сл.19) и формулируют соответствующие теоремы (сл.20)

На применение этих теорем учащиеся самостоятельно решают уравнение (сл.21) с последующей совместной проверкой.( сл.22)

Установите соответствие между уравнением и количеством его корней. (сл.23-24).

Вспомним основные методы решения неравенств. (сл.25)

Найдите ошибку при решении неравенств.(сл.26)

(учащиеся могут работать в тетрадях или устно, можно также показать примерное оформление решения.)( сл.27-28)

Формулируются соответствующие теоремы.(сл.29)

На применение теорем учащиеся самостоятельно решают неравенство.(сл.30)

( оформление решения можно показать на слайде (сл.31))

Выберите неравенство или систему неравенств, которые равносильны исходному. (сл 32-38)

А сейчас каждый из вас должен принять решение, какую работу выбрать.

Я предлагаю на оставшуюся часть урока тест, уровень которого соответствует части В.

ЕГЭ- это первый вариант выбора. Также можно будет узнать и попытаться освоить нестандартный метод решения неравенств высокого уровня сложности. Этот метод называется методом замены множителей и основан на применении свойства монотонности функций. И это второй вариант вашего выбора.

(Учащиеся разбиваются на группы )

Вариант теста и презентация « Метод замены множителей» приводятся

После вышеуказанной работы учащиеся сдают тесты на проверку, а изучающие новый метод решения обсуждают его преимущества и недостатки.

Список использованной литературы :

1.Шарыгин И.Ф. , Голубев В.И. Факультативный курс по математике, учебное пособие для учащихся 11 класса. М.: Просвещение, 1999.

2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Нестандартные задачи по математике. М.: Просвещение, 1999.