Можно ли делить уравнение на sin x

Можно ли делить уравнение на sin x

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Учебное занятие «Однородные уравнения и уравнения, сводимые к однородным»

Разделы: Математика

Дидактическая цель: Создать условия для осознания и осмысления новой информации и успешного применения ранее полученных знаний.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления нового материала.

Триединая дидактическая цель:

Образовательная:

• продолжить формирование знаний по решению тригонометрических уравнений и умения применять эти знания в стандартной ситуации;
• создавать условия для выработки умений применять известные алгоритмы в стандартной ситуации.

Развивающая:

• создавать условия для развития аналитических навыков при решении однородных тригонометрических уравнений.

Воспитательная:

• создание условий для качественного выполнения работы;
• воспитание воли и упорства в достижении поставленной цели.

Технология проблемного обучения

Форма организации учебной деятельности — индивидуальная, фронтальная.

Конспект занятия

I. Математический диктант с самопроверкой (актуализация знаний)

Карточки с уравнениями на магнитах крепятся к доске. Ответы ученики пишут в тетрадях.

Уравнение

Ответ

Уравнение

Ответ

cos x = 0

x = + n, nZ

sin x = 0

x = n, nZ

tg x = —

x = — + n

tg x = — 1

x = — + n

sin x = — 1

x = — + 2n

ctg x = —

x = + n

tg x = 1

x = + n

cos x = 1

x = 2n

ctg x = —

x = + n

tg x =

x = +n

II. Изучение нового материала

A. sin x — cos x = 0 — однородное уравнение первой степени.

Заканчивая предыдущий урок, я сказала, что пока мы не умеем решать такое уравнение, но некоторые сомневались и предлагали разделить обе части уравнения на cos x. Сохранится ли равносильность? Может быть, решения уравнения cos x = 0 являются решениями данного уравнения? Нет! Почему? Как это доказать?

Если cos x = 0 , то sin x — 0 = 0 sin x = 0, что невозможно, т.к. теряет смысл тождество sin 2 x + cos 2 x = 1. Синус и косинус одного и того же аргумента не могут быть равны 0 одновременно. Следовательно, при делении на cos x получаем уравнение, равносильное данному.

sin x — cos x = 0 | : cos x

tg x — = 0; tg x = ; x = + n, n Z

(Ответ: x = + n, nZ)

Если это неубедительно, то обратимся к квадратному уравнению у 2 — у = 0; если разделим его на у, то потеряем корень 0.

Можно ли делить на sin x? Если делить на sin x, то выдвигать условие sin x 0. Будут ли значения x, при которых sin x = 0, корнями данного уравнения? Нет! Если sin x = 0, то cos x = 0 , что невозможно, т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1.

Учащиеся изучают “Материалы к уроку”.

Материалы к уроку (раздаются каждому ученику)

Тема урока: “Однородные уравнения и уравнения, сводимые к однородным”

a·sin 2 x + b·sin x·cos x + c·cos 2 x = 0,

a·sin 3 x + b·sin 2 x·cos x + c·sin x·cos 2 x + d·cos 3 x = 0 и т.д.,

где a, b, с, d — действительные числа, называют однородными относительно sin x и cos x.

2. Сумма показателей степеней при sin x и cos x у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень.

3. Делением на cos k x, где k — степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции tg x.

4. Разделим обе части уравнения на cos x. Значения x, при которых cos x = 0, не являются решениями данного уравнения, т.к. если cos х = 0, то и sin x должен обращаться в 0, а косинус и синус одного аргумента не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, при делении на cos x получаем уравнение, равносильное данному.

5. Например, sin x — cos x = 0. Если cos x = 0, то sin x — ·0 = 0 sin x = 0, что невозможно, т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = l.

B. sin 2 x + sin x cos x — 2cos 2 x = 0 — однородное II степени.

sin 2 x + sin x cos x — 2cos 2 x = 0 | : cos 2 x

cos 2 x 0, т.к. если cos x = 0, то sin 2 x + sin x ·0 — 2 ·0 = 0 sin x = 0, что невозможно (противоречит основному тригонометрическому тождеству).

tg 2 x + tg x — 2 = 0

Пусть tg x = t, тогда t 2 + t — 2 = 0.

В полученном квадратном уравнении a + b + c = 0, значит, t₁ = 1, t₂ = — 2.

tg x = 1 или tg x = — 2

x = + n, nZ; x = — arctg 2 + k, kZ

Ответ: x = + n, nZ; x = — arctg 2 + k, kZ

C. sin x cos x — 3cos 2 x + 1 = 0. Является ли уравнение однородным?

Нет, т.к. слагаемое 1 — нулевой степени. Следовательно, чтобы привести это уравнение к однородному необходимо заменить 1 на sin 2 x + cos 2 x.

sin x cos x — 3cos 2 x + sin 2 x + cos 2 x = 0

sin 2 x + sin x cos x — 2 cos 2 x = 0 | : cos 2 x

tg 2 x + tg x — 2 = 0 и т.д. (см. пример B).

D. 4 sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x = 3 — уравнение не является однородным.

4 sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x = 3(sin 2 x + cos 2 x)

4 sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x — 3 sin 2 x — 3 cos 2 x = 0

sin 2 x + sin x cos x — 2 cos 2 x = 0 | : cos 2 x однородное II степени

tg 2 x + tg x — 2 = 0 и т.д. (см. пример B).

E. sin 2 x + 3sin x cos x — 8cos 2 x = — 2 — уравнение не является однородным.

sin 2 x + 3sin x cos x — 8cos 2 x + 2(sin 2 x + cos 2 x) = 0

3sin 2 x + 3sin x cos x — 6cos 2 x = 0 | : 3

sin 2 x + sin x cos x — 2 cos 2 x = 0 | : cos 2 x однородное II степени

tg 2 x + tg x — 2 = 0 и т.д. (см. пример B)

III. Устная работа

Указать прием решения уравнения:

2) 3sin 2 x — 4sin x cos x + cos 2 x = 0

3) sin 3 x cos x — 2sin 2 x cos 2 x = 3sin x cos 3 x — 6cos 4 x

4) sin 2 x + sin 2x = 0 (sin 2 x + 2sin x cos x = 0)

5) cos 2 x + sin 2x = 0 (cos 2 x + 2sin x cos x = 0)

IV. Неполные однородные уравнения

Уравнения 4) и 5) из устной работы два ученика решают одновременно на доске.

Традиционная ошибка школьников при решении неполных однородных уравнений II степени делением на одну из функций — потеря корней. Решая уравнения разложением на множители оба ученика получают две серии корней. А при решении новым способом (деление на функцию) у одного получаются две серии корней, а у другого — одна. В чём ошибка?

После обсуждения проблемы сформулировали вывод: “дели на то, чего мало”.

sin 2 x + 2sin x cos x = 0.

разложим левую часть уравнения на множители

sin x = 0 или sin x + 2cos x = 0 | : cos x (получили однородное уравнение I степени)

x = n, nZ; tg x = — 2; x = — arctg 2 + k, kZ

Ответ: x = n, nZ; x = — arctg 2 + k, kZ

Решаем данное уравнение как однородное II степени

sin 2 x + 2sin x cos x = 0 | : cos 2 x

tg 2 x + 2tg x = 0

tg x = 0 или tg x + 2 = 0

x = n, nZ; tg x = — 2; x = — arctg2 + k, kZ

cos 2 x + 2sin x cos x = 0.

I способ (решаем как однородное уравнение II степени):

cos 2 x + 2sin x cos x = 0 | : sin 2 x (“дели на то, чего мало”)

если sin x = 0, то cos 2 x + 2·0·cos x = 0 U сos x = 0,что невозможно

сtg 2 x + 2сtg x = 0

сtg x = 0 или сtg x + 2 = 0

х = + n, nZ; x = — arcctg 2 + k, kZ.

Ответ: х = + n, nZ; x = — arcctg 2 + k, kZ

II способ для проверки (решаем разложением на множители):

cos x (cos x + 2sin x ) = 0

cos x = 0 или cos x + 2sin x = 0 | : cos x

х = + n, nZ; 1 + 2tg x = 0 ; tg x = — ;

x = — arctg + k, kZ

V. Самостоятельная работа

1)sin x — cos x = 0

1)sin x + cos x = 0

2)3cos 2 x — 5sin 2 x — 2sin x cos x = 0

2)3cos 2 x = 4sin x cos x — sin 2 x

3)6sin 2 x + sin 2x — 5cos 2 x = 2

3)6sin 2 x + sin 2x — cos 2 x = 2

4)sin 2 ( + x) + 3 cos 2 ( + x) =1

4)4 cos 2 — sin x + 5sin 2 = 3

5)2sin x + cos x = 2

5)sin 4x — 3cos 4x = 8 sin 2 2x

Ответы: во всех случаях полагается n, kI Z

1)x = + n.

1)x = — + n.

2)x = — + n; x = arctg + k.

2)x = + n; x = arctg 3 + k.

3)x = + n; x = — arctg + k.

3)x = — + n; x = arctg + k.

4)x = ± + n.

4)x = + 2n; x = 2arctg + 2k.

5)x = + 2n; x = 2arctg + 2k.

5)x

VI. Домашнее задание (Колмогоров А.Н. и др., “Алгебра и начала анализа”)

VII. Рефлексия (ответы на вопросы ученики пишут на листочках и сдают их учителю)

Уравнение. Однородные тригонометрические уравнения относительно sin и cos.

Уравнение считаются однородным относительно sin и cos, когда все его члены одинаковой степени относительно sin и cos и одинакового угла.

Рассмотрим несколько примеров однородных тригонометрических уравнений:

sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0,

cos 2 х — sin х cos х = 0.

К примеру, у членов первого уравнения общая степень 1, а у членов других двух уравнений — общая степень 2

Для решения подобных уравнений требуется:

— переместить все его компоненты в левую часть;

— переместить общие множители за скобки;

— приравнять все множители и скобки к нулю;

— скобки, равные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое необходимо поделить на cos ( или sin ) в большей степени;

— найти корни образовавшегося уравнения относительно tg ( или ctg)..

Найдем корни уравнения sin х — cos х = 0.

В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin 2 х +cos 2 х = 1. Значит, в этом выражении cos х ≠ 0.

Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cos 2 х. Тогда получим tg x — 1 = 0, далее:

Сходным образом решаем и уравнение sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0.

Поделим обе части этого выражения на cos 2 х:

tg 2 х — 5 tg х + 6 = 0;

x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ .

Вычислим корни уравнения cos 2 х — sin х cos х = 0.

В этом случае тождество cos х = 0 допустимо, и следовательно, поделить обе части выражения на cos 2 х невозможно. Однако, возможно, что sin х ≠ 0. В противоположном случае из выражения получалось бы, что cosх = 0. Но тогда не осуществилось бы равенство sin 2 х +cos 2 х = 1. Итак, sin х ≠ 0. Значит обе части данного выражения возможно поделить на sin 2 х.

После проведения преобразований имеем:

Согласно этому формируются две группы корней:

Некоторые тригонометрические уравнения, не будучи однородными, просто преобразуются в однородные.

Так, когда в уравнении:

представим 0,5 как 0,5 (sin 2 х +cos 2 х), и получим однородное уравнение sin х cos x = 0,5 sin 2 х + 0,5 cos 2 х.