Можно ли делить уравнение на уравнение

Можно ли делить уравнение на уравнение

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 4. Дополнительные замечания о решении уравнений.

Выше было сказано, что обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же количество. Говоря это, мы понимаем возможность этих действий в том смысле, что, производя их над данным уравнением, мы получаем новое уравнение, совместное с данным. Заметим теперь, что это указание верно только в том случае, когда множитель или делитель есть или явное количество, или хотя и неявное, но не содержит в себе той самой неизвестной буквы, которая входит в уравнение. Если дано выражение, содержащее то же неизвестное, как и в уравнении, то, вообще говоря, нельзя ни помножать уравнение на это выражение, ни делить на него. Поясним это на примерах:

Возьмем уравнение х = 2, которое очевидно имеет один только корень 2. Если мы умножим обе части его на х, то новое уравнение х 2 =2х не будет уже совместно с данным, потому что кроме прежнего корня 2, оно будет иметь еще корень 0, что обнаруживается и прямо из самаго уравнения, а также при решении полученного уравнения, если заменить его уравнением х 2 —2х=0 и написать последное в виде х(х—2)=0. Подобно этому, умножая данное уравнение х = 2 на выражение х—1, получаем новое уравнение
х 2 —2х=2х —2, совместное с уравнением (х—1)(х—2)=0 и имеющее два корня, прежний 2 и новый 1. Вообще при умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, в это уравнение вводятся посторонние корни, а именно те, которые обращают множитель в нуль.

ІІонятно, наоборот, что если мы имеем, напр., уравнение х 2 =3х , корни которого суть 0 и 3 и сократим его на х, то полученное от этого сокращеиия уравнение не будет совместно с данным, потому что оно имеет только один корень 3. Подобно этому, имея уравнение (х—2) 2 =2х—4, корни которого суть 2 и 4, и сократив обе части на х—2, мы теряем корень 2 и получаем уравнение х—2 = 2, имеющее только один корень 4. Вообще при со-кращении обеих частей уравнения на их общий множитель, содержащий неизвестное, теряются корни уравнения и именно те, которые обращают делитель в нуль.

В курсе алгебры доказывается, что уравнение можно умножать на множитель, содержащий неизвестное, только в том случае, когда этот множитель входит в знаменатель дроби, получившейся от соединения всех дробей, входящих в уравнение, в одну дробь, и после окончательного сокращения этой последней.Так, если уравнение имеет вид А+ В /_С=0, где А есть совокупность всех целых членов, а В /_С есть несократимая дробь, то, умножая на С, получим уравнение АС+В=0, совместное с данным. В противном случае, если дробь В /_С сократима, то необходимо сократить ее раньше уничтожения ее знаменателя, чтобы не внести в уравнение постороннего ему корня.

Обратно, только тогда можно разделить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, когда от этого получатся такие дроби, которые, будучи соединены все в одной части уравнения, дают в результате дробь, не сокращающуюся ни на какой множитель, содержащий неизвестное. В противном случае нужно при сокращении уравнения на делитель, заметить тот корень, который теряется при этом сокращении, и считать его в числе корней данного уравнения.

В нижеследующих задачах звездочкой обозначены те уравнения, при решении которых нужно принимать во внимаиие сделанные выше указания. Остальные задачи можно решать по обыкновенным правилам.

Деление многочленов

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся их делить.

Деление многочлена на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить на этот одночлен каждый член многочлена, затем сложить полученные частные.

Например, разделим многочлен 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 на одночлен xy . Запишем это деление в виде дроби:

Теперь делим каждый член многочлена 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 на одночлен xy. Получающиеся частные будем складывать:

Получили привычное для нас деление одночленов. Выполним это деление:

Таким образом, при делении многочлена 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 на одночлен xy получается многочлен 15xy 2 + 10y + 5y 2 .

При делении одного числа на другое, частное должно быть таким, чтобы при его перемножении с делителем, получалось делимое. Это правило сохраняется и при делении многочлена на одночлен.

В нашем примере произведение полученного многочлена 15xy 2 + 10y + 5y 2 и делителя xy должно быть равно многочлену 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 , то есть исходному делимому. Проверим так ли это:

Деление многочлена на одночлен очень похоже на сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Мы помним, что для сложения дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Например, чтобы сложить дроби , и нужно записать следующее выражение:

Если мы вычислим выражение , то получим дробь , значение которой равно 1,5.

При этом выражение мы можем вернуть в исходное состояние , и вычислить по отдельности каждую дробь, затем сложить полученные частные. Результат по прежнему будет равен 1,5

Тоже самое происходит при делении многочлена на одночлен. Одночлен берёт на себя роль общего знаменателя для всех членов многочлена. Например, при делении многочлена ax + bx + cx на многочлен x , образуется три дроби с общим знаменателем x

Вычисление каждой дроби даст в результате многочлен a + b + c

Пример 2. Разделить многочлен 8m 3 n + 24m 2 n 2 на одночлен 8m 2 n

Пример 3. Разделить многочлен 4c 2 d − 12c 4 d 3 на одночлен −4c 2 d

Деление одночлена на многочлен

Не существует тождественного преобразования, позволяющего разделить одночлен на многочлен.

Допустим, мы захотели разделить одночлен 2xy на многочлен 5x + 3y + 5 .

Результатом этого деления должен быть многочлен, перемножение которого с многочленом 5x + 3y + 5 даёт одночлен 2xy . Но не существует многочлена, перемножение которого с многочленом 5x + 3y + 5 давало бы в результате одночлен 2xy , поскольку перемножение многочленов даёт в результате многочлен, а не одночлен.

Но в учебниках можно встретить задания на нахождение значения выражения при заданных значениях переменных. В исходных выражениях таких заданий бывает выполнено деление одночлена на многочлен. В этом случае никаких преобразований выполнять не нужно. Достаточно подставить значения переменных в исходное выражение и вычислить получившееся числовое выражение.

Например, найдём значение выражения при x = 2 .

Выражение представляет собой деление одночлена на многочлен. В данном случае мы не сможем выполнить какие-либо преобразования. Единственное, что мы сможем сделать — это подставить число 2 в исходное выражение вместо переменной x и найти значение выражения:

Деление многочлена на многочлен

Если первый многочлен умножить на второй многочлен, получается третий многочлен. Например, если умножить многочлен x + 5 на многочлен x + 3 , получается многочлен x 2 + 8x + 15

Если произведение разделить на множитель, то получится множимое. Это правило распространяется не только для чисел, но и для многочленов.

Тогда согласно этому правилу, деление полученного нами многочлена x 2 + 8x + 15 на многочлен x + 3 должно давать в результате многочлен x + 5 .

Деление многочлена на многочлен выполняется уголком. Отличие будет в том, что при делении многочленов не нужно определять первое неполное делимое, как в случае деления обычных чисел.

Выполним уголком деление многочлена x 2 + 8x + 15 на многочлен x + 3 . Так мы поэтапно увидим, как получается многочлен x + 5 .

В данном случае результат нам известен заранее. Это будет многочлен x + 5 . Но чаще всего результат бывает неизвестным. Поэтому решение будем комментировать так, будто результат нам неизвестен.

Результатом деления должен быть новый многочлен. Члены этого многочлена будут появляться один за другим в процессе деления.

Сейчас наша задача найти первый член нового многочлена. Как это сделать?

Когда мы изначально перемножали многочлены x + 5 и x + 3 , мы сначала умножили первый член первого многочлена на первый член второго многочлена. Тем самым мы получили первый член третьего многочлена:

Если мы обратно разделим первый член третьего многочлена на первый член второго многочлена, то получим первый член первого многочлена. А это то, что нам нужно. Ведь мы должны прийти к многочлену x + 5 .

Этот же принцип нахождения первого члена будет выполняться и при решении других задач на деление многочленов.

Итак, чтобы найти первый член нового многочлена, нужно первый член делимого разделить на первый член делителя.

Если первый член делимого (в нашем случае это x 2 ) разделить на первый член делителя (это x), получится x. То есть первым членом нового многочлена является x. Записываем его под правым углом:

Теперь, как и при делении обычных чисел, умножаем x на делитель x + 3 . На этом этапе нужно суметь умножить одночлен на многочлен. При умножении x на x + 3 , получается x 2 + 3x . Записываем этот многочлен под делимым x 2 + 8x+ 15 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Теперь из делимого x 2 + 8x + 15 вычитаем x 2 + 3x . Подобные члены вычитаем из подобных им членов. Если из x 2 вычесть x 2 , получится 0 . Ноль не записываем. Далее если из 8x вычесть 3x , получится 5x . Записываем 5x так, чтобы этот член оказался под членами 3x и 8x

Теперь, как и при делении обычных чисел, сносим следующий член делимого. Следующий член это 15. Сносить его нужно вместе со своим знаком:

Теперь делим многочлен 5x + 15 на x + 3 . Для этого нужно найти второй член нового многочлена. Чтобы его найти, нужно первый член делимого (сейчас это член 5x ) разделить на первый член делителя (это член x ). Если 5x разделить на x , получится 5. То есть вторым членом нового многочлена является 5. Записываем его под правым углом, вместе со своим знаком (член 5 в данном случае положителен)

Теперь умножаем 5 на делитель x + 3 . При умножении 5 на x + 3 , получается 5x + 15 . Записываем этот многочлен под делимым 5x + 15

Теперь из делимого 5x + 15 вычитаем 5x + 15 . Если из 5x + 15 вычесть 5x + 15 получится 0.

На этом деление завершено.

После выполнения деления можно выполнить проверку, умножив частное на делитель. В нашем случае, если частное x + 5 умножить на делитель x + 3 , должен получаться многочлен x 2 + 8x + 15

Пример 2. Разделить многочлен x 2 − 8x + 7 на многочлен x − 7

Записываем уголком данное деление:

Находим первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим x . Записываем x под правым углом:

Умножаем x на x − 7 , получаем x 2 − 7x . Записываем этот многочлен под делимым x 2 − 8x + 7 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Вычитаем из x 2 − 8x + 7 многочлен x 2 − 7x . При вычитании x 2 из x 2 получается 0 . Ноль не записываем. А при вычитании −7x из −8x получается −x , поскольку −8x − (−7x) = −8x + 7x = −x . Записываем −x под членами −7x и −8x . Далее сносим следующий член 7

Следует быть внимательным при вычитании отрицательных членов. Часто на этом этапе допускаются ошибки. Если на первых порах вычитание в столбик даётся тяжело, то можно использовать обычное вычитание многочленов в строку, которое мы изучили ранее. Для этого нужно отдельно выписать делимое и вычесть из него многочлен, который под ним располагается. Преимущество этого метода заключается в том, что следующие члены делимого сносить не нужно — они автоматически перейдут в новое делимое. Давайте воспользуемся этим методом:

Вернёмся к нашей задаче. Разделим многочлен −x + 7 на x − 7 . Для этого нужно найти второй член частного. Чтобы его найти, нужно первый член делимого (сейчас это член −x ) разделить на первый член делителя (это член x ). Если −x разделить на x , получится −1 . Записываем −1 под правым углом вместе со своим знаком:

Умножаем −1 на x − 7 , получаем −x + 7 . Записываем этот многочлен под делимым −x + 7

Теперь из −x + 7 вычитаем −x + 7 . Если из −x + 7 вычесть −x + 7 получится 0

Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена x 2 − 8x + 7 на многочлен x − 7 равно x − 1

Выполним проверку. Умножим частное x − 1 на делитель x − 7 . У нас должен получиться многочлен x 2 − 8x + 7

Пример 3. Разделить многочлен x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 на многочлен x 2 + x 3

Найдём первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим x 4

Умножаем x 4 на делитель x 2 + x 3 и полученный результат записываем под делимым. Если x 4 умножить на x 2 + x 3 получится x 6 + x 7 . Члены этого многочлена записываем под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Теперь из делимого вычитаем многочлен x 6 + x 7 . Вычитание x 6 из x 6 даст в результате 0. Вычитание x 7 из x 7 тоже даст в результате 0. Оставшиеся члены 2x 4 и 2x 5 снесём:

Получилось новое делимое 2x 4 + 2x 5 . Это же делимое можно было получить, выписав отдельно многочлен x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 и вычтя из него многочлен x 6 + x 7

Разделим многочлен 2x 4 + 2x 5 на делитель x 2 + x 3 . Как и раньше сначала делим первый член делимого на первый член делителя, получим 2x 2 . Записываем этот член в частном:

Умножаем 2x 2 на делитель x 2 + x 3 и полученный результат записываем под делимым. Если 2x 2 умножить на x 2 + x 3 получится 2x 4 + 2x 5 . Записываем члены этого многочлена под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом. Затем выполним вычитание:

Вычитание многочлена 2x 4 + 2x 5 из многочлена 2x 4 + 2x 5 дало в результате 0, поэтому деление успешно завершилось.

В промежуточных вычислениях члены нового делимого располагались друг от друга, образуя большие расстояния. Это было по причине того, что при умножении частного на делитель, результаты были записаны так, чтобы подобные члены располагались друг под другом.

Эти расстояния между членами нового делимого образуются тогда, когда члены исходных многочленов расположены беспорядочно. Поэтому перед делением желательно упорядочить члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Тогда решение примет более аккуратный и понятный вид.

Решим предыдущий пример, упорядочив члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Если члены многочлена x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 упорядочить в порядке убывания степеней, то получим многочлен x 7 + x 6 + 2x 5 + 2x 4 . А если члены многочлена x 2 + x 3 упорядочить в порядке убывания степеней, то получим многочлен x 3 + x 2

Тогда деление уголком многочлена x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 на многочлен x 2 + x 3 примет следующий вид:

Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 на многочлен x 2 + x 3 равно x 4 + 2x 2

Выполним проверку. Умножим частное x 4 + 2x 2 на делитель x 2 + x 3 . У нас должен получиться многочлен x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5

При перемножении многочленов члены исходных многочленов тоже желательно упорядочивать в порядке убывания степеней. Тогда члены полученного многочлена тоже будут упорядочены в порядке убывания степеней.

Перепишем умножение (x 4 + 2x 2 )(x 2 + x 3 ) упорядочив члены многочленов в порядке убывания степеней.

Пример 4. Разделить многочлен 17x 2 − 6x 4 + 5x 3 − 23x + 7 на многочлен 7 − 3x 2 − 2x

Упорядочим члены исходных многочленов в порядке убывания степеней и выполним уголком данное деление:

Пример 5. Разделить многочлен 4a 4 − 14a 3 b − 24a 2 b 2 − 54b 4 на многочлен a 2 − 3ab − 9b 2

Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 4a 2 . Записываем 4a 2 в частном:

Умножим 4a 2 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 и полученный результат запишем под делимым:

Вычтем из делимого полученный многочлен 4a 4 − 12a 3 b − 36a 2 b 2

Теперь делим −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 54b 4 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 . Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим −2ab . Записываем −2ab в частном:

Умножим −2ab на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 и полученный результат запишем под делимым −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 54b 4

Вычтем из многочлена −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 54b 4 многочлен −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 18ab 3 . При вычитании подобных членов обнаруживаем, что члены −54b 4 и 18ab 3 не являются подобными, а значит их вычитание не даст никакого преобразования. В этом случае выполняем вычитание там где это можно, а именно вычтем −2a 3 b из −2a 3 b и 6a 2 b 2 из 12a 2 b 2 , а вычитание 18ab 3 из −54b 4 запишем в виде разности −54b 4 − (+18ab 3 ) или −54b 4 − 18ab 3

Этот же результат можно получить, если выполнить вычитание многочленов в строку с помощью скобок:

Вернёмся к нашей задаче. Разделим 6a 2 b 2 − 54b 4 − 18ab 3 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 . Делим первый член делимого на первый член делителя, получим 6b 2 . Записываем 6b 2 в частном:

Умножим 6b 2 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 и полученный результат запишем под делимым 6a 2 b 2 − 54b 4 − 18ab 3 . Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 6a 2 b 2 − 54b 4 − 18ab 3

Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена 4a 4 − 14a 3 b − 24a 2 b 2 − 54b 4 на многочлен a 2 − 3ab − 9b 2 равно 4a 2 − 2ab + 6b 2 .

Выполним проверку. Умножим частное 4a 2 − 2ab + 6b 2 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 . У нас должен получиться многочлен 4a 4 − 14a 3 b − 24a 2 b 2 − 54b 4

Деление многочлена на многочлен с остатком

Как и при делении обычных чисел, при делении многочлена на многочлен может образоваться остаток от деления.

Для начала вспомним деление обычных чисел с остатком. Например, разделим уголком 15 на 2. С остатком это деление будет выполнено так:

То есть при делении 15 на 2 получается 7 целых и 1 в остатке. Ответ записывается следующим образом:

Рациональное число читается как семь целых плюс одна вторая. Знак «плюс» по традиции не записывают. Но если при делении многочлена на многочлен образуется остаток, то этот плюс записывать нужно.

Например, если при делении многочлена a на многочлен b получится частное c , да еще останется остаток q , то ответ будет записан так:

Например, разделим многочлен 2x 3 − x 2 − 5x + 4 на многочлен x − 3

Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 2x 2 . Записываем 2x 2 в частном:

Умножим 2x 2 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым:

Вычтем из делимого полученный многочлен 2x 3 − 6x 2

Теперь делим 5x 2 − 5x + 4 на делитель x − 3 . Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 5x . Записываем 5x в частном:

Умножим 5x на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 5x 2 − 5x + 4

Вычтем из многочлена 5x 2 − 5x + 4 многочлен 5x 2 − 15x

Теперь делим 10x + 4 на делитель x − 3 . Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 10 . Записываем 10 в частном:

Умножим 10 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 10x + 4 . Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 10x + 4

Число 34, полученное в результате вычитания многочлена 10x − 30 из многочлена 10x + 4 , является остатком. Мы не сможем найти следующий член частного, который при умножении с делителем x − 3 дал бы нам в результате 34 .

Поэтому при делении многочлена 2x 3 − 2x 2 − 5x + 4 на многочлен x − 3 получается 2x 2 + 5x + 10 и 34 в остатке. Ответ записывается таким же образом, как и при делении обычных чисел. Сначала записывается целая часть (она располагается под правым углом) плюс остаток, разделенный на делитель:

Когда деление многочленов невозможно

Деление многочлена на многочлен невозможно в случае, если степень делимого окажется меньше степени делителя.

Например, нельзя разделить многочлен x 3 + x на многочлен x 4 + x 2 , поскольку делимое является многочленом третьей степени, а делитель — многочленом четвёртой степени.

Вопреки этому запрету можно попробовать разделить многочлен x 3 + x на многочлен x 4 + x 2 , и даже получить частное x − 1 , которое при перемножении с делителем будет давать делимое:

Но при делении многочлена на многочлен должен получаться именно многочлен, а частное x − 1 многочленом не является. Ведь многочлен состоит из одночленов, а одночлен в свою очередь это произведение чисел, переменных и степеней. Выражение x − 1 это дробь , которая не является произведением.

Пусть имеется прямоугольник со сторонами 4 и 2

Площадь этого прямоугольника будет равна 4 × 2 = 8 кв.ед.

Увеличим длину и ширину этого прямоугольника на x

Достроим отсутствующие стороны:

Теперь прямоугольник имеет длину x + 4 и ширину x + 2 . Площадь этого прямоугольника будет равна произведению (x + 4)(x + 2) и выражаться многочленом x 2 + 6x + 8

При этом мы можем выполнить обратную операцию, а именно разделить площадь x 2 + 6x + 8 на ширину x + 2 и получить длину x + 4 .

Степень многочлена x 2 + 6x + 8 равна сумме степеней многочленов-сомножителей x + 4 и x + 2 , а значит ни одна из степеней многочленов-сомножителей не может превосходить степень многочлена-произведения. Следовательно, чтобы обратное деление было возможным, степень делителя должна быть меньше степени делимого.

Можно ли делить уравнение на уравнение

Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени ? Оказы вается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

Решите уравнение: `x^3 +4x^2 — 2x-3=0`.

Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:

`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`

Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравне ния? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

Если несократимая дробь `p//q` (`p` — целое, `q` — натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами , то сво бодный член делится на `p` , а старший коэффициент делится на `q`.

Пусть несократимая дробь `p//q` — корень многочлена (8). Это означает, что

`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ . «+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.

Умножим обе части на `q^n`, получаем:

`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + . + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.

Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)

б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)

а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` — корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:

Поэтому `p` может принимать значения:

Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.

2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.

б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in<+-1;+-2;+-5;+-10>`; `qin<1;2;3;6>`.Возможные варианты для `x_0`:

Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем

Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` — корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:

Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.

К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.

Разложите на множители:

а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:

в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:

В итоге получаем:

Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).

г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.