Можно ли извлечь корень из обеих частей уравнения

Можно ли извлечь корень из обеих частей уравнения

Равносильными уравнениями называются такие уравнения, которые имеют одни и те же корни, например уравнения х 2 = 3х — 2 и x 2 +2 = 3x равносильны (оба имеют корни х = 1 и х = 2).

Процесс решения уравнений заключается в основном в замене данного уравнения другим, ему равносильным.

Основные приемы, применяемые при решении уравнения, таковы.

1. Замена одного выражения другим, тождественно ему равным. Например, уравнение (x + 1) 2 = 2x + 5
можно заменить равносильным уравнением
x 2 + 2x + 1 = 2x + 5

2. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака на обратный; например, в уравнении х 2 + 2х + 1 = 2х + 5 можно перенести все члены в левую часть, причем члены + 2х и +5 из правой части в левую перейдут со знаком минус. Уравнение х 2 + 2x + 1 — 2x – 5 =0 или, что то же, х 2 — 4 = 0, равносильно исходному.

3. Умножение или деление обеих частей равенства на одно и то же выражение. При этом нужно иметь в виду, что новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим может быть равным нулю.

Пример. Дано уравнение (х — 1) (х + 2) = 4(x — 1). Разделив обе его части на х — 1, получаем х + 2 = 4. Это уравнение имеет единственный корень х = 2. Исходное же уравнение кроме корня х = 2 имеет еще корень х = 1. При делении на х — 1 этот корень «потерялся». Наоборот, при умножении обеих частей уравнения x + 2 = 4 сверх корня х = +2 появляется новый корень х = 1.

Из этого отнюдь не следует, что не нужно умножать или делить обеих частей уравнения на выражение, могущее равняться нулю. Нужно только каждый раз, когда такое действие производится, учесть, не пропадут ли при этом какие-нибудь старые корни и не появятся ли какие-нибудь новые.

4. Можно также возводить обе части уравнения в одну и ту же степень или извлекать из обеих частей корни одной и той же степени; однако при этом также могут получаться уравнения, не равносильные исходным. Например, уравнение 2х = 6 имеет один корень х = 3; уравнение же (2x 2 ) 2 = 6 2 , т. е. 4x 2 = 36, имеет два корня:
х = 3 и х = — 3.

Перед тем как выполнить преобразование уравнения, нужно посмотреть, не могут ли при этом пропасть некоторые старые его корни или появиться новые. Особенно важно установить, не пропадают ли старые корни; появление новых не так опасно, ибо всегда можно, получив некоторый корень, подставить его, в исходное уравнение и непосредственно, проверить, удовлетворяется ли оно.

Можно ли извлечь корень из обеих частей уравнения

Ключевые слова: решение уравнения, тождественное преобразование, тождественные преобразования, посторонний корень, потеря корня.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием .

Основные тождественные преобразования:

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9x 2 + 12x + 4 = 15x + 10

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9x 2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего полу чим: 9x 2 – 3x – 6 = 0 .

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю. Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение ( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень. И наоборот, деление может привести к потере корня. Так, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x – 3 .

Можно возвести обе части уравнения в нечетную степень или извлечь и з обеих частей уравнения корень нечетной степени . Необходимо помнить, что: а) возведение в четную степень может привести к приобретению посторонних корней ; б) неправильное извлечение корня четной степени может привести к потере корней.

Уравнение 7 x = 35 имеет единственный корень x = 5 . Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение: 49 x 2 = 1225 ,
имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем. Неправильное извлечение квадратного корня из обеих
частей уравнения 49 x 2 = 1225 даёт в результате 7 x = 35,и мы теряем корень x = – 5. Правильное извлечение квадратного корня приводит к
уравнению: | 7 x | = 35, а следовательно, к двум случаям: 1) 7 x = 35, тогда x = 5 ; 2) – 7 x = 35, тогда x = – 5 .Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения.

Пример. Решите уравнение $$\sqrt-x> + \sqrt<2 - x - x^<2>> = \sqrt — 1$$

Решение. В этом примере наоборот сложно его решение. Однако поиск ОДЗ приносит несомненную пользу.
В самом деле, ОДЗ: $$\left\< \begin
x^2 — x \ge 0 \\
2 — x — x^2 \ge 0 \\
x \ge 0
\end \right.\, \Leftrightarrow \left\< \begin
x \in \left( < - \infty ;0>\right] \cup \left[ <1; + \infty >\right) \\
x \in \left[ < - 2;1>\right] \\
x \in \left[ <0; + \infty >\right)
\end \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin
x = 0 \\
x = 1
\end \right.$$

Значит, ОДЗ нашего уравнения содержит только два числа. А поскольку вне ОДЗ решений быть не может, то корнями нашего уравнения могут быть только эти два числа. Для того чтобы понять, какое из них действительно является решением, нужно полученные числа подставить в уравнение. Подстановка даёт, что x = 0 не является решением уравнения, а x = 1 − является.

Ответ. 1.

Таким образом, к понятию ОДЗ нужно относиться творчески и искать его, только если в этом возникает существенная необходимость. Так, например, в равносильном переходе $$\sqrt = g(x)\, \Leftrightarrow \left\< \begin
g(x) \ge 0, \\
f(x) = g^2 (x)
\end \right.$$

требование g ( x ) ? 0 задает ОДЗ. Однако, если искать g ( x ) очень сложно, то проще подставить найденные корни в исходное уравнение, чем выяснять, при каких x выполнено неравенство g ( x ) ? 0.

Основные методы решения уравнений

Что такое решение уравнения?

Тождественное преобразование. Основные

виды тождественных преобразований.

Посторонний корень. Потеря корня.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием . Основные тождественные преобразования следующие:

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12x + 4 = 15x + 10 .

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9 x 2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего полу чим: 9 x 2 – 3x – 6 = 0 .

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

П р и м е р . Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1.

Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение

( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3.

Последнее значение не является корнем заданного уравнения

x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень.

И наоборот, деление может привести к потере корня. Так

в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным

уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении

обеих частей уравнения на x – 3 .

В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

Это уравнение равносильно исходному:

( 3x+ 2 ) 2 = 15x + 10 . 4.

Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь и з обеих частей уравнения корень нечётной степени . Необходимо помнить, что:

а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней ;

б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

П р и м е р ы . Уравнение 7 x = 35 имеет единственный корень x = 5 .

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение

является посторонним корнем.

Неправильное извлечение квадратного корня из обеих

частей уравнения 49 x 2 = 1225 даёт в результате 7 x = 35,

и мы теряем корень x = – 5.

Правильное извлечение квадратного корня приводит к

уравнению: | 7 x | = 35, а следовательно, к двум случаям:

1) 7 x = 35, тогда x = 5 ; 2) – 7 x = 35, тогда x = – 5 .

Следовательно, при правильном извлечении квадратного

корня мы не теряем корней уравнения.

Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся

с очень важным понятием арифметического корня

Copyright © 2004 — 2012 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.